20204年高考仿真卷二（新結(jié)構(gòu)）答案

第18頁/共20頁2024年高考仿真模擬數(shù)試題（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.從小到大排列的數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由百分位數(shù)的估計方法直接求解即可.【詳解】，該組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為.故選：D.2.若橢圓上一點(diǎn)到C兩個焦點(diǎn)的距離之和為，則（）A.1 B.3 C.6 D.1或3【答案】B【解析】【分析】討論焦點(diǎn)的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得．故選：B.3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，在利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，①，②聯(lián)立①②可得，，因此，.故選：B．4.同一個宿舍的8名同學(xué)被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）A.32種 B.128種 C.64種 D.256種【答案】C【解析】【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去兩類，利用分類計數(shù)原理求解.【詳解】若甲、乙都去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法；若甲、乙都不去，剩下的5人每個人都可以選擇去或不去，有種去法．故一共有種去法．故選：C.5.在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于①中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵傻闷矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，，且平面，所以平面，所以①正確；對于②中，由平面，且平面，可得，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，所以②正確；對于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對于④，中，因?yàn)槠矫?，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榕c不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯誤.故選：C.6.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，則，設(shè)，即，依題意，求t的范圍即求直線與圓有公共點(diǎn)時在y軸上截距的范圍，即圓心到的距離，解得，所以的取值范圍為，故選：D.7.若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡解析式，得函數(shù)最大最小值與周期，利用條件轉(zhuǎn)化為與最值的關(guān)系，再由最值與周期的關(guān)系可得.【詳解】，的周期為，且令，則，則，由的值域?yàn)?，故，則，故，由知，，或.即為函數(shù)的最大與最小值，或最小與最大值，當(dāng)對應(yīng)圖象上相鄰兩最值點(diǎn)時，的值最小，故.故選：B.8.如圖，已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得，結(jié)合勾股定理運(yùn)算求解.【詳解】延長與雙曲線交于點(diǎn)，因?yàn)?，根?jù)對稱性可知，設(shè)，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；2．焦點(diǎn)三角形的作用在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)復(fù)數(shù)（且），則下列結(jié)論正確的是（）A.可能是實(shí)數(shù) B.恒成立C若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的類型的概念求解即可.【詳解】對于A：若是實(shí)數(shù)，則，與已知矛盾，故A錯誤；對于B：由A項(xiàng)知，所以，，故B正確；對于C：若，則，因?yàn)?，所以，故C正確；對于D：，則，因?yàn)椋?，所以，故D正確．故選：BCD．10.在中，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】由化簡得到，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：由，因?yàn)?，所以，所以，所以，不一定?，A錯；因?yàn)椋?，∴，從而有，所以B正確，又，所以也不一定等于1，C錯；而，D正確；故選：BD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且，則（）A.B.為奇函數(shù)C.D.【答案】AD【解析】【分析】采用賦值法為突破口，分析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).【詳解】對A：令，，則，因?yàn)?，所以，故A正確；對B：令得：，結(jié)合可得，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；對C：令可得：，因?yàn)椋?，進(jìn)一步可得：，又，，所以：，所以，故C錯誤；對D：令可得：;用代替，得：，結(jié)合C的結(jié)果，可得：，故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：如何賦值是解決問題的關(guān)鍵.AB相對簡單，對C，令得到后進(jìn)一步可得到數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可求結(jié)果，對D，用和用代替，是解決問題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據(jù)端點(diǎn)得到兩個等式和一個不等式，求出的取值范圍，最后都表示成的形式即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋远魏瘮?shù)的對稱軸為直線，且需滿足，即，解得，所以，所以，所以.故答案：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：一元二次不等式的解決關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，求出對稱軸和端點(diǎn)的值，繼而用同一個變量來表示求解.13.已知直三棱柱，則三棱柱的體積的最大值為__________；此時棱柱的高為__________.【答案】①.②.##【解析】【分析】利用直三棱柱的特征、體積公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性及最值計算即可.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)，由題意則，則，令，則時，，時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，此時.故答案為：；.14.已知正實(shí)數(shù)滿足，，則當(dāng)取得最小值時，__________．【答案】【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為與兩點(diǎn)間距離的平方，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與圓心的距離，結(jié)合基本不等式求得最小值，進(jìn)而分析求解即可.【詳解】可將轉(zhuǎn)化為與兩點(diǎn)間距離的平方，由，得，而表示以為圓心，1為半徑的圓，為圓上一點(diǎn)，則與圓心的距離為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時與圓心的距離最小，即與兩點(diǎn)間距離的平方最小，即取得最小值.當(dāng)時，，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最小值的求解問題，進(jìn)而求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若曲線在處切線與軸平行，求；（2）若在處取得極大值，求的取值范圍.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）先對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分類討論的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)情況，從而得到其極值情況，由此得解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)榍€在處切線與軸平行，所以，解得，又，所以.【小問2詳解】的定義域?yàn)?，，①?dāng)時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值，滿足題意；②當(dāng)時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值，滿足題意；③當(dāng)時，（i）當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，無極值，不滿足題意；（ii）當(dāng)時，，令，得，令，得或.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在處取得極小值，不滿足題意；（iii）當(dāng)時，，令，得，令，得或.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在處取得極大值，滿足題意；綜上所述，的取值范圍為.16.盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現(xiàn)從盒子中一次摸一個球．不放回．（1）若盒子中有8個球，其中有3個紅球，從中任意摸兩次．記摸出的紅球個數(shù)為．求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）若盒中有4個紅球和4個白球，盒中在2個紅球和2個白球．現(xiàn)甲、乙、丙三人依次從號盒中摸出一個球并放入號盒，然后丁從號盒中任取一球．已知丁取到紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）【解析】【分析】（1）列出的所有可能的值，求出對應(yīng)的概率，可得分布列，并求期望.（2）用條件概率公式求解.【小問1詳解】可取0，1，2.且：，，.所以的分布列為：012則：.小問2詳解】設(shè)事件“丁取到紅球”，事件“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.當(dāng)甲、乙、丙三人取得1個白球，則丁取到紅球的概率為；當(dāng)甲、乙、丙三人取得2個白球，則丁取到紅球的概率為；當(dāng)甲、乙、丙三人取得3個白球，則丁取到紅球的概率為；當(dāng)甲、乙、丙三人取得3個紅球，則丁取到紅球的概率為；則所求概率為：.17.在梯形中，，，，P為的中點(diǎn)，線段與交于O點(diǎn)（如圖1）.將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.（1）求二面角的余弦值；（2）線段上是否存在點(diǎn)Q，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】17.18.存在，【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解；（2）設(shè)，表示出，利用向量的夾角公式代入列式，即可得解.【小問1詳解】因?yàn)樵谔菪沃?，，，，為的中點(diǎn)，所以，，，所以是正三角形，四邊形為菱形，可得，，而平面平面，平面平面，平面，，平面，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，，，所以二面角的余弦值為.【小問2詳解】線段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為.設(shè)，因?yàn)?，，所以，設(shè)與平面所成角為，則，即，，解得，所以線段上存在點(diǎn)，且，使得與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線，頂點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)．（1）如圖1所示，已知|，求線段中點(diǎn)到軸的距離；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值；（3）如圖2所示，設(shè)為拋物線上的一點(diǎn)，過作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，過作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，且，，設(shè)線段MN與線段的交點(diǎn)為，求直線斜率的取值范圍．【答案】（1）3（2）4（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)求解即可；（2）由題意可知四邊形的面積等于，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，將拋物線方程與直線，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)用表示，進(jìn)而可得到直線的方程，證明直線過定點(diǎn)即可求解.【小問1詳解】因?yàn)檫^焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，設(shè)，，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，所以線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為線段中點(diǎn)到軸的距離為.【小問2詳解】由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，可知是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，，所以，當(dāng)時，四邊形的面積取最小值為4．【小問3詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知直線的斜率存在，且不為，則直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，解得，直線的方程為與拋物線聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，解得，顯然直線斜率不為零，當(dāng)直線斜率存在時，直線的方程為，整理得：，將，代入得：，所以直線過定點(diǎn)，即點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，當(dāng)時，，當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，且根據(jù)題意，所以，解得，所以直線的方程為過點(diǎn)，綜上所述，直線斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點(diǎn)、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.已知無窮數(shù)列滿足，其中表示x，y中最大的數(shù)，表示x，y中最小的數(shù).（1）當(dāng)，時，寫出的所有可能值；（2）若數(shù)列中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列中的項(xiàng)；（3）若，是否存在正實(shí)數(shù)M，使得對任意的正整數(shù)n，都有？如果存在，寫出一個滿足條件的M；如果不存在，說明理由.【答案】（1）（2）證明見解析（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)定義知，討論、及大小求所有可能值；（2）由，假設(shè)存在使，進(jìn)而有，可得，即可證結(jié)