四川省涼山州2023-2024學年高二上學期期末檢測數學試卷（解析版）

PAGEPAGE1四川省涼山州2023-2024學年高二上學期期末檢測數學試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）1.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直線方程可化為：，故直線的一個方向向量為：，因為，所以D對.故選：D2.“牛角栱”是涼山彝族民房檐枋裝飾藝術中的重要特色之一，如圖，已知牛角栱外側弧線部分為拋物線的一部分，寬度，高度根據圖中的坐標系，則這條拋物線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設拋物線方程為：，由題意可得，將代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故選：D.3.等差數列中，，，則的值為（）A.18 B.20 C.22 D.24〖答案〗C〖解析〗等差數列中，，，而，所以.故選：C4.經過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知：，解得：，交點.直線的斜率為，所求直線斜率為.所求直線為：，即.故選：B.5.我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如．在不大于10的素數中，選兩個不同的數，和為偶數的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不大于10的素數有2，3，5，7，從中任取兩個數的試驗的樣本空間，共6個樣本點，其中和為偶數的樣本點有，其3個，所以和為偶數的概率為.故選：D6.已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，，則直線與所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗連結交于，連結，則為的中點，如圖，由底面為正方形，，得，即，又，則，有，即，在中，由余弦定理得，則為正三角形，由，得是直線與所成的角，即，，所以直線與所成角的正弦值為.故選：A7.過點的直線與圓交于，兩點，則當弦長最短時的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓的圓心，半徑，記為點，，即點在圓內，則當時，弦長最短，此時，所以的面積.故選：A8.空間四邊形中，點在上，且，為中點，則等于（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，在空間四邊形中，，為中點，∴,∴,故選：C.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.下列結論正確的是（）A.若向量，，，則，，共面B.已知平面，不重合，平面和平面的一個法向量均為，則C.若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，則D.若向量，，則在上投影向量為〖答案〗AB〖解析〗對A觀察可知，，所以共面，A正確；對B，平面和平面的一個法向量相等，則,B正確；對C，，所以或，C錯誤；對D，因為，，所以，所以在上的投影向量為，D錯誤；故選:AB.10.已知正方體的棱長為1，則下列說法正確的是（）A.直線與所成的角為B.點與平面的距離為C.平面與平面所成的角為D.直線與平面所成的角為〖答案〗BD〖解析〗以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，A選項，則，故，故，故直線與所成的角為，A錯誤；B選項，設平面法向量為，，令得，，故，故點到平面的距離為，B正確；C選項，設平面的法向量為，，令，則，故，平面的法向量為，故，故平面與平面所成的角不為，C錯誤；D選項，因為⊥平面，平面，所以⊥，因為四邊形為正方形，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，故平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角大小為，顯然，故直線與平面所成的角為，D正確.故選：BD11.已知等比數列的公比為，，，數列的前項和為，則（）A. B.C.數列是等比數列 D.〖答案〗BC〖解析〗由等比數列的公比為，，，可得，即，故A錯誤；，故B正確；又，所以，即是一個以為首項，2為公比的等比數列，故C正確；驗證當時的結果，此時，則，所以，，，得，所以，故D錯誤，故選：BC.12.我們把離心率為的雙曲線叫做理想雙曲線，若雙曲線是理想雙曲線，左右頂點分別為，，虛軸?點為，，右焦點為，離心率為，則（）A.當時，B.當時，則到漸近線的距離為C.D.外接圓的面積為〖答案〗AC〖解析〗雙曲線是理想雙曲線，則，設，則有，對于A，當時，，解得，A正確；對于B，點，雙曲線的漸近線，則到漸近線的距離為，而，則，B錯誤；對于C，由對稱性，不妨令點，即有，于是，，即，C正確；對于D，，則，即，因此線段是的外接圓的直徑，該圓半徑為，該圓面積，由于，不確定，因此的外接圓面積不確定，D錯誤.故選：AC二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．）13.過點且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程為_______________.〖答案〗或〖解析〗當直線過原點時，設直線方程為，則，直線方程為，即，當直線不經過原點時，直線的斜率為，直線方程為，整理可得：.故〖答案〗為或．14.已知點，，，則點到直線的距離為______．〖答案〗〖解析〗由點，，，得，所以點到直線的距離.故〖答案〗為：15.記為等差數列的前項和，公差不為0，若，則______．〖答案〗1〖解析〗在等差數列中，由，得，整理得，所以故〖答案〗為：116.過拋物線的焦點作圓的兩條切線，切點分別為，，若為等邊三角形，則的值為______．〖答案〗4〖解析〗圓的圓心，半徑，由切圓于點，得，且平分，而為等邊三角形，即，于是，，則點，又拋物線的焦點，所以，即.故〖答案〗為：4三、解答題（本大題共6小題、共計70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算過程）17.已知直線．（1）求證：直線經過一個定點；（2）若直線交軸的正半軸于點，交軸的正半軸于點，為坐標原點，設的面積為，求的最小值及此時直線的方程．解：（1）直線，化為，當時，對任意實數，恒有，所以直線過定點.（2）依題意，顯然，直線交軸于點，交軸于點，而點分別在軸的正半軸上，即，于是，則的面積為，當且僅當，即時取等號，所以當時，，直線的方程的方程為.18.為參加涼山州第八屆“學憲法講憲法”演講比賽，某校組織選拔活動，通過兩輪比賽最終決定參加州級比賽人選，已知甲同學晉級第二輪的概率為，乙同學晉級第二輪的概率為．若甲、乙能進入第二輪，在第二輪比賽中甲、兩人能勝出的概率均為．假設甲、乙第一輪是否晉級和在第二輪中能否勝出互不影響．（1）若甲、乙有且只有一人能晉級第二輪的概率為，求的值；（2）在（1）的條件下，求甲、乙兩人中有且只有一人能參加州級比賽的概率．解：（1）設事件表示“甲在初賽中晉級”，事件表示“乙在初賽中晉級”，由題意可知，，解得.（2）設事件為“甲?乙兩人中有且只有一人能參加市級比賽”，為“甲能參加市級比賽”，為“乙能參加市級比賽”，則，，所以.19.三棱柱中，為中點，點在線段上，．設，，（1）試用，，表示向量；（2）若，，求的長．解：（1）三棱柱中，為中點，點在線段上，，則，，因此.（2），，則，同理得，所以.20.已知數列中，滿足.（1）證明：數列為等比數列；（2）求數列的前項和.解：（1），于是因為，即數列是以為首項，2為公比等比數列．因為，所以（2）由（1）知，所以21.如圖為直三棱柱，，，設為的中點．（1）證明；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在直三棱柱中，平面，平面，則，又，且，平面，因此平面，又平面，所以.（2）由（1）知，直線兩兩垂直，令，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，則，，，設平面的一個法向量，則，取，得，設平面的一個法向量，則，取，得，則，令二面角的大小為，因此，所以二面角的正弦值為.22.已知橢圓的離心率是，點在上．（1）求橢圓的標準方程；（2）過直線上一點作橢圓的切線