第2章 軸向拉壓

2024/2/261第二章

軸向拉伸與壓縮2024/2/262§2-1引言§2-2軸力與軸力圖§2-3拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理§2-4材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能§2-5應(yīng)力集中概念§2-6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件§2-7胡克定律與拉壓桿的變形§2-8簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題第二章軸向拉伸與壓縮2024/2/263§2-1引言2024/2/264§2-1引言2024/2/265§2-1引言2024/2/266§2-1引言2024/2/267外力特征：外力或其合力的作用線通過(guò)橫截面的形心，并且沿桿件軸線。變形特征：軸向伸長(zhǎng)或縮短，軸線仍為直線。軸向拉壓：以軸向伸長(zhǎng)或縮短為主要特征的變形形式。拉壓桿：以軸線拉壓為主要變形的桿件。桿的受力簡(jiǎn)圖為FF拉伸FF壓縮§2-1引言特點(diǎn)：2024/2/268§2-1引言√2024/2/269桿件在外力作用下，橫截面上將產(chǎn)生軸力、剪力、扭矩、彎矩等內(nèi)力分量。在很多情形下，內(nèi)力分量沿桿件的長(zhǎng)度方向的分布不是均勻的。研究強(qiáng)度問(wèn)題，需要知道哪些橫截面可能最先發(fā)生失效，這些橫截面稱為危險(xiǎn)面。內(nèi)力分量最大的橫截面就是首先需要考慮的危險(xiǎn)面。研究剛度問(wèn)題雖然沒有危險(xiǎn)面的問(wèn)題，但是也必須知道內(nèi)力分量沿桿件長(zhǎng)度方向是怎樣變化的。§2-2軸力與軸力圖2024/2/2610為了確定內(nèi)力分量最大的橫截面，必須知道內(nèi)力分量沿著桿件的長(zhǎng)度方向是怎樣分布的。桿件的內(nèi)力圖就是表示內(nèi)力分量變化的圖形。主要有軸力圖、扭矩圖、剪力圖與彎矩圖，重點(diǎn)是剪力圖與彎矩圖。2024/2/2611確定外力作用下桿件橫截面上的內(nèi)力分量，重要的是正確應(yīng)用平衡的概念和平衡的方法。這一點(diǎn)與工程靜力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同。主要區(qū)別在于，在靜力分析中只涉及整個(gè)系統(tǒng)或單個(gè)構(gòu)件的平衡，而在確定時(shí)，不僅要涉及單個(gè)構(gòu)件以及構(gòu)件系統(tǒng)的平衡，而且還要涉及構(gòu)件的局部的平衡。因此，需要將平衡的概念加以擴(kuò)展和延伸。2024/2/2612整體平衡與局部平衡的概念

彈性桿件在外力作用下若保持平衡，則從其上截取的任意部分也必須保持平衡。前者稱為整體平衡或總體平衡(overallequilibrium)；后者稱為局部平衡(localequilibrium)。整體是指構(gòu)件所代表的某一構(gòu)件。局部是指可以是用一截面將桿截成的兩部分中的任一部分，也可以是無(wú)限接近的兩個(gè)截面所截出的一微段，還可以是圍繞某一點(diǎn)截取的微元或微元的局部等。這種整體平衡與局部平衡的關(guān)系，不僅適用于彈性桿件，而是適用于所有彈性體，因而可以稱為彈性體平衡原理(elasticbodyequilibriumbody)。2024/2/2613桿件橫截面上的內(nèi)力與外力的相依關(guān)系所謂外力突變，是指有集力、集中力偶作用的情形；分布載荷間斷或分布載荷集度發(fā)生突變的情形。所謂內(nèi)力變化規(guī)律是指表示內(nèi)力變化的函數(shù)或變化的圖線。這表明，如果在兩個(gè)外力作用點(diǎn)之間的桿件上沒有其他外力作用，則這一段桿件所有橫截面上的內(nèi)力可以用同一個(gè)數(shù)學(xué)方程或者同一圖線描述。補(bǔ)充知識(shí)：——

如何確定控制面2024/2/2614控制面(controlcross-section)

在一段桿上，內(nèi)力按一種函數(shù)規(guī)律變化，這一段桿的兩個(gè)端截面稱為控制面。控制面也就是函數(shù)定義域的兩個(gè)端截面。據(jù)此，下列截面均可能為控制面：集中力(外力和約束力)作用點(diǎn)兩側(cè)截面。集中力偶作用點(diǎn)兩側(cè)截面。集度相同的均布載荷起點(diǎn)和終點(diǎn)處截面。2024/2/2615桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則

剪力FQ(FQy或FQz)：使截開部分桿件產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為正；逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為負(fù)。

軸力FN：無(wú)論作用在哪一側(cè)截面上，使桿件受拉者為正；受壓者為負(fù)。m只適用于假想截開的截面，不能用于整個(gè)桿件的內(nèi)力判斷。2024/2/2616

彎矩M(My或Mz)：作用在左側(cè)面上使截開部分逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；或者作用在右側(cè)截面上使截開部分順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為正；反之為負(fù)。

扭矩Mx：扭矩矢量方向與截面外法線方向一致者為正，反之為負(fù)?？捎糜沂謳椭鷣?lái)判斷！mm2024/2/2617這個(gè)規(guī)則只適用于假想截開的截面(或者說(shuō)它只規(guī)定了這個(gè)截面上的內(nèi)力正負(fù)而已)，不能用于整個(gè)桿件的內(nèi)力判斷。在對(duì)桿件某個(gè)部分列平衡方程的時(shí)候，內(nèi)力的正負(fù)只與所建立的參考坐標(biāo)系方向有關(guān)，而與上述規(guī)則無(wú)關(guān)。桿件內(nèi)力分量的正負(fù)號(hào)規(guī)則注意事項(xiàng)mF1F2F3F1F2F2024/2/2618截面法確定指定橫截面上的內(nèi)力分量應(yīng)用截面法確定某一個(gè)指定橫截面上的內(nèi)力分量。首先，需要用假想橫截面從指定橫截面處將桿件截為兩部分；然后考察其中任意一部分的受力(受力分析)；由平衡條件和平衡方程，即可得到該截面上的內(nèi)力分量。2024/2/2619FF1、軸力：橫截面上的內(nèi)力2、截面法求軸力mmFFN切:假想沿m-m橫截面將桿切開。留:留下左半段或右半段。代:將拋掉部分對(duì)留下部分的作用用內(nèi)力代替。平:對(duì)留下部分寫平衡方程求出內(nèi)力即軸力的值。FFN§2-2軸力與軸力圖2024/2/26203、軸力正負(fù)號(hào)：拉為正、壓為負(fù)4、軸力圖：軸力沿桿件軸線的變化

由于外力的作用線與桿件的軸線重合，內(nèi)力的作用線也與桿件的軸線重合。所以稱為軸力。FFmmFFNFFN§2-2軸力與軸力圖2024/2/2621已知F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。11例題2-1FN1F1解：1、計(jì)算各段的軸力。F1F3F2F4ABCDAB段BC段2233FN3F4FN2F1F2CD段2、繪制軸力圖。§2-2軸力與軸力圖2024/2/2622§2-2軸力與軸力圖×2024/2/26231.橫截面上的應(yīng)力

桿件的強(qiáng)度不僅與軸力有關(guān)，還與橫截面面積有關(guān)。必須用應(yīng)力來(lái)比較和判斷桿件的強(qiáng)度。§2-3拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理平面假設(shè)變形后，橫截面仍保持平面，且仍與桿軸垂直，只是相鄰橫截面間沿桿軸相對(duì)平移。

在很多情形下，桿件在軸力作用下產(chǎn)生均勻的伸長(zhǎng)或縮短變形，因此根據(jù)材料均勻性的假定，桿件橫截面上的應(yīng)力均勻分布。這時(shí)橫截面上的正應(yīng)力為2024/2/26242.斜截面上的應(yīng)力由平面假設(shè)可知，桿內(nèi)各縱向纖維的變形相同，因此斜截面m-m和m’-m’上應(yīng)力pα沿截面均勻分布?？疾鞐U左段的平衡，得到：2024/2/2625小結(jié)：在拉壓桿的任意斜截面上，不僅存在正應(yīng)力，而且存在切應(yīng)力，其大小隨截面方位角變化。當(dāng)α=0時(shí)，正應(yīng)力最大，其值為：當(dāng)α=45o時(shí)，切應(yīng)力最大，其值為：FNFN試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果2.斜截面上的應(yīng)力2024/2/26262.斜截面上的應(yīng)力2024/2/2627§2-3拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理圣維南原理當(dāng)作用在桿端的軸向外力沿橫截面非均勻分布時(shí)，外力作用點(diǎn)附近的應(yīng)力也非均勻分布。圣維南指出：作用在桿端的外力只影響桿端附近的應(yīng)力分布，影響區(qū)的軸向范圍大約是離桿端1~2倍桿的橫向尺寸。2024/2/2628——橫截面上的應(yīng)力§2-3拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理√2024/2/2629例題2-2

圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。FABC解：1、計(jì)算各桿件的軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象45°12FBF45°§2-3拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理2024/2/26302、計(jì)算各桿件的應(yīng)力。FABC45°12FBF45°§2-3拉壓桿的應(yīng)力與圣維南原理2024/2/26312024/2/2632§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能力學(xué)性質(zhì)：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的力學(xué)性能。一試件和實(shí)驗(yàn)條件常溫、靜載2024/2/2633§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2634二低碳鋼的拉伸§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2635明顯的四個(gè)階段1、彈性階段ob比例極限彈性極限2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）屈服極限3、強(qiáng)化階段ce（恢復(fù)抵抗變形的能力）強(qiáng)度極限4、局部徑縮階段ef§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2636兩個(gè)塑性指標(biāo):斷后伸長(zhǎng)率斷面收縮率為塑性材料為脆性材料低碳鋼的為塑性材料§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2637三卸載定律及冷作硬化1、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載2、過(guò)彈性范圍卸載、再加載

即材料在卸載過(guò)程中應(yīng)力和應(yīng)變是線性關(guān)系，這就是卸載定律。

材料的比例極限變大，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。§2-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2638四其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能對(duì)于沒有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限σ0.2來(lái)表示?！?-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2639

對(duì)于脆性材料（鑄鐵），拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線為微彎的曲線，沒有屈服和徑縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長(zhǎng)率約為0.5%。為典型的脆性材料。σbt—拉伸強(qiáng)度極限（約為140MPa）。它是衡量脆性材料（鑄鐵）拉伸的唯一強(qiáng)度指標(biāo)?！?-4材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2640一試件和實(shí)驗(yàn)條件常溫、靜載§2-4材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2641二塑性材料（低碳鋼）的壓縮屈服極限比例極限彈性極限

拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。E---彈性摸量§2-4材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2642三脆性材料（鑄鐵）的壓縮脆性材料的抗拉與抗壓性質(zhì)不完全相同！壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限遠(yuǎn)大于拉伸時(shí)的強(qiáng)度極限脆性材料宜用作承壓桿件。

§2-4材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能2024/2/2643§2-4材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能√2024/2/2644§2-5應(yīng)力集中概念應(yīng)力集中因子：1.應(yīng)力集中2024/2/2645

常見的油孔、溝槽等均有構(gòu)件尺寸突變，突變處將產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。即稱為理論應(yīng)力集中因數(shù)1、形狀尺寸的影響：尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應(yīng)力集中的程度越嚴(yán)重。2、材料的影響：應(yīng)力集中對(duì)塑性材料的影響不大；應(yīng)力集中對(duì)脆性材料的影響嚴(yán)重，應(yīng)特別注意?！?-5應(yīng)力集中概念2024/2/26462.應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響2024/2/26471.安全系數(shù)和許用應(yīng)力工作應(yīng)力極限應(yīng)力塑性材料脆性材料塑性材料的許用應(yīng)力脆性材料的許用應(yīng)力n—安全系數(shù)—許用應(yīng)力?！?-6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件與構(gòu)件的幾何尺寸、受載方式、服役環(huán)境有關(guān)！只與材料自身屬性有關(guān)，與工作方式無(wú)關(guān)。沒有安全裕度，不能保證足夠安全！2024/2/2648二、強(qiáng)度條件根據(jù)強(qiáng)度條件，可以解決三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題1、強(qiáng)度校核：2、設(shè)計(jì)截面：3、確定許可載荷：§2-6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件桿件內(nèi)的最大工作(服役)應(yīng)力≤桿件自身材料的許用應(yīng)力2024/2/2649§2-6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件2024/2/2650解：1、研究節(jié)點(diǎn)A的平衡，計(jì)算軸力。

由于結(jié)構(gòu)幾何和受力的對(duì)稱性，兩斜桿的軸力相等，根據(jù)平衡方程F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200。〔σ〕=120MPa。試校核斜桿的強(qiáng)度。FF得2、強(qiáng)度校核由于斜桿由兩個(gè)矩形桿構(gòu)成，故A=2bh，工作應(yīng)力為斜桿強(qiáng)度足夠F§2-6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件例題22024/2/2651D=350mm，p=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直徑。每個(gè)螺栓承受軸力為總壓力的1/6解：油缸蓋受到的力根據(jù)強(qiáng)度條件即螺栓的軸力為得即螺栓的直徑為§2-6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件例題32024/2/2652

AC為50×50×5的等邊角鋼，AB為10號(hào)槽鋼，〔σ〕=120MPa。求F。解：1、計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）用截面法取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象2、根據(jù)斜桿的強(qiáng)度，求許可載荷AFα查表得斜桿AC的面積為A1=2×4.8cm2例題4§2-6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件2024/2/26533、根據(jù)水平桿的強(qiáng)度，求許可載荷AFα查表得水平桿AB的面積為A2=2×12.74cm24、許可載荷§2-6許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件2024/2/2654一縱向變形二橫向變形鋼材的E約為200GPa，μ約為0.25—0.33E為彈性摸量,EA為抗拉剛度泊松比橫向應(yīng)變§2-7胡克定律與拉壓桿的變形2024/2/2655§2-7胡克定律與拉壓桿的變形√2024/2/2656§2-7胡克定律與拉壓桿的變形√2024/2/26572024/2/2658例題

AB長(zhǎng)2m,面積為200mm2。AC面積為250mm2。E=200GPa。F=10kN。試求節(jié)點(diǎn)A的位移。解：1、計(jì)算軸力。（設(shè)斜桿為1桿，水平桿為2桿）取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象2、根據(jù)胡克定律計(jì)算桿的變形。AF300斜桿伸長(zhǎng)水平桿縮短§2-7胡克定律與拉壓桿的變形2024/2/26593、節(jié)點(diǎn)A的位移（以切代?。〢F300§2-7胡克定律與拉壓桿的變形在小變形條件下，近似地用“切線”代替“圓弧”，確定變形后的位置點(diǎn)。類似于在小角度下，sinθ

≈

θ。在小變形條件下，可按照結(jié)構(gòu)原有幾何形狀與尺寸計(jì)算約束反力與內(nèi)力，并可采用上述以切線代替圓弧的方法確定位移。因此，利用小變形這個(gè)概念，可以使問(wèn)題分析大為簡(jiǎn)化。2024/2/2660§2-8拉、壓超靜定問(wèn)題

約束反力（軸力）可由靜力平衡方程求得靜定結(jié)構(gòu)：2024/2/2661

約束反力不能由平衡方程求得超靜定結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度均得到提高超靜定度（次）數(shù)：

約束反力多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)獨(dú)立平衡方程數(shù)：平面任意力系：

3個(gè)平衡方程平面共點(diǎn)力系：

2個(gè)平衡方程平面平行力系：2個(gè)平衡方程共線力系：1個(gè)平衡方程§2-8拉、壓超靜定問(wèn)題2024/2/26621、列出獨(dú)立的平衡方程超靜定結(jié)構(gòu)的求解方法：2、變形幾何關(guān)系3、物理關(guān)系4、補(bǔ)充方程5、求解方程組得例題§2-8拉、壓超靜定問(wèn)題2024/2/2663例題變形協(xié)調(diào)關(guān)系:物理關(guān)系:平衡方程:解：（1）補(bǔ)充方程:（2）

木制短柱的4個(gè)角用4個(gè)40mm×40mm×4mm的等邊角鋼加固，已知角鋼的許用應(yīng)力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的許用應(yīng)力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求許可載荷F。250250§2-8拉、壓超靜定問(wèn)題2024/2/2664代入數(shù)據(jù)，得根據(jù)角鋼許用應(yīng)力，確定F根據(jù)木柱許用應(yīng)力，確定F許可載荷250250查表知40mm×40mm×4mm等邊角鋼故§2-8拉、壓超靜定問(wèn)題2024/2/26653桿材料相同，AB桿面積為200mm2，AC桿面積為300mm2，AD桿面積為400mm2，若F=30kN，試計(jì)算各桿的應(yīng)力。列出平衡方程：即：

列出變形幾何關(guān)系

，則AB、AD桿長(zhǎng)為解：設(shè)AC桿桿長(zhǎng)為FF例題§2-8拉、壓超靜定問(wèn)題2024/2/2666

即：

列出變形幾何關(guān)系

FF將A點(diǎn)的位移分量向各桿投影.得變形關(guān)系為

代入物理關(guān)系整理得§2-8拉、壓超靜定問(wèn)題2024/2/2667

FF聯(lián)立①②③，解得：（壓）（拉）（拉）§2-8拉、壓超靜定問(wèn)題2024/2/2668螺栓連接鉚釘連接銷軸連接§2-9連接件的強(qiáng)度計(jì)算耳片2024/2/2669平鍵連接榫連接焊接連接§2-9連接件的強(qiáng)度計(jì)算2024/2/2670§2-9連接件的強(qiáng)度計(jì)算實(shí)用計(jì)算法一方面對(duì)連接件的受力與應(yīng)力分布進(jìn)行某些簡(jiǎn)化，從而計(jì)算出各部分的“名義”應(yīng)力。同時(shí)，對(duì)同類連接件進(jìn)行破壞試驗(yàn)，并采用同樣的計(jì)算方法，由破壞載荷確定材料的極限應(yīng)力。2024/2/2671剪切受力特點(diǎn)：作用在構(gòu)件兩側(cè)面上的外力合力大小相等、方向相反且作用線很近。變形特點(diǎn)：位于兩力之間的截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。1.剪切的實(shí)用計(jì)算FF得切應(yīng)力計(jì)算公式：切應(yīng)力強(qiáng)度條件：?jiǎn)为?dú)由實(shí)驗(yàn)方法確定假設(shè)切應(yīng)力在剪切面（m-m截面）上是均勻分布的§2-9連接件的強(qiáng)度計(jì)算2024/2/26722.擠壓的實(shí)用計(jì)算

假設(shè)應(yīng)力在擠壓面上是均勻分布的得實(shí)用擠壓應(yīng)力公式擠壓強(qiáng)度條件：常由實(shí)驗(yàn)方法確定*注意擠壓面面積的計(jì)算F