機電一體化系統(tǒng)設計-機電一體化系統(tǒng)建模

機電一體化系統(tǒng)建模本章內容CONTENTS

機電一體化系統(tǒng)建模方法1

機械系統(tǒng)模型2

電路系統(tǒng)模型3

液壓與氣壓系統(tǒng)模型4

機電一體化系統(tǒng)建模實例53

6.1機電一體化系統(tǒng)建模方法

6.1.1建?；静襟E

數學模型是用數學符號、數學公式、程序、圖形等對實際問題本質屬性的抽象而又簡潔的描述，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略等。機電一體化系統(tǒng)的建?；静襟E包括：模型準備、模型假設、建立模型、模型求解、模型分析等。4

6.1.1建?；静襟E

圖6-1機電一體化系統(tǒng)的建模步驟5

6.1.1建?；静襟E（1）建模準備

在建立數學模型前，首先要了解機電一體化系統(tǒng)對象，包括它的應用背景，環(huán)境、工作要求、需要解決的問題；掌握機電一化對象的各種信息，有哪些影響因素；掌握它的輸入與輸出，有那些可知的變量。用數學語言來描述所研究的問題，并且要求符合數學理論，符合數學習慣，要清晰準確。6

6.1.1建?；静襟E（2）模型假設

由于機電一體化系統(tǒng)的實際運行過程比較復雜，很難建立與實際情況完全一致的數學模型。在實際應用中，通常對機電一體系統(tǒng)的結構參數進行簡化，忽略一些次要因素等，這樣使數學模型變得簡單。（3）建立模型

在假設的基礎上，選擇適當的數學工具來描述輸入與輸出之間的數學關系，建立相應的數學表達式。機電一體化系統(tǒng)的建模要運用到運動學、動力學、電路、力學、流體力學等基本定律，借助于數學工具描述輸入與輸出之間的相互關系。7

6.1.1建?；静襟E（4）模型求解利用獲取的數據資料，對模型的所有參數進行計算或近似計算。對于簡單的數學模型可以直接求解，對復雜實際問題而言，有可能采用解析法求解，但更多的是采用數值法求解。（5）模型分析

對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結果進行數學上的分析。通過分析對模型的求解結果精確性、可行性、可實施性進行了解。

8

6.1.1建?；静襟E（6）模型檢驗

將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。（7）模型應用

建立機電一體化系統(tǒng)模型的目的是為了更好的應用它，通過數學模型求解，獲得到可信的數據，據此對機電一體化系統(tǒng)的性能進行分析、改進、優(yōu)化，獲得更好的性能。9

6.1.2建?；痉椒▓D6-2機電一體化系統(tǒng)的建模方法10

6.1.2建模基本方法1.機理分析法機理是指事物發(fā)生變化的原因或道理。機理分析法是根據客觀事物的特性，分析其內部的機理，分清因果關系，找出反映內部機理的規(guī)律，在適當抽象的條件下，利用合適的數學工具得到描述事物屬性的建模方法。機理分析法建模常用基礎方法有常微分方程、偏微分方程、邏輯方法、比例方法、代數方法等。機理分析法又分為封閉矢量法、D-H法、拉格朗日法、凱恩方程、動力學普遍方程等方法。11

6.1.2建模基本方法2.試驗測試法

試驗測試法是指如果不能得到事物的特征機理，采用某種方法測試或實驗得到一些輸入與輸出之間的試測結果數據，即求解問題的部分數據，再利用數理統(tǒng)計知識對數據進行處理，從而得到控制對象數學模型的建模方法。測試法建模又稱為系統(tǒng)辨識，分為經典系統(tǒng)辨識和現代系統(tǒng)辨識兩大類。12

6.2.1運動學模型1.平面運動機構

封閉矢量法是機械原理中用于分析平面運動機構的一種方法，它可以分析機構的運動，確定機構中其他構件上某些點的位移、速度、加速度和角位移、角速度、角加速度等運動規(guī)律。

圖6-3所示為平面四連桿機構，四個連桿分別定義為矢量

、

、

、

，因此四連桿機構的閉環(huán)矢量方程為

（6-1）

6.2機械系統(tǒng)模型13

6.2.1運動學模型圖6-3平面四連桿機構14

6.2.1運動學模型

建立矢量投影方程，將式（6-1）式中矢量分別沿x、y方向分解，

分別代表四根桿的長度，

分別代表為桿

與X軸夾角，得到閉環(huán)矢量方程的分量表達式為

對式（6-2）求一階和二階導數，得速度與加速度方程，分別用矩陣形式表示為（6-2）（6-3）15

6.2.1運動學模型

（6-4）圖6-4為四桿機構運動學仿真的流程框圖。圖6-4閉環(huán)矢量法求解16

6.2.1運動學模型2.機器人運動學模型

工業(yè)機器人是典型的機電一體化系統(tǒng)，其結構一般為多關節(jié)結構，機器人運動是研究末端執(zhí)行器或夾持器的空間運動與各個關節(jié)運動之間的關系。它包括正運動和逆運動求解，正運動求解是已知關節(jié)運動求手的運動，逆運動求解是已知手的運動求關節(jié)運動。機器人運動學的一般模型為（6-5）17

6.2.1運動學模型2.機器人運動學模型

工業(yè)機器人正運動問題求解常用D-H法。首先要在機器人的每個連桿上都固定一個坐標系，再用4×4的齊次變換矩陣來描述相鄰兩連桿的空間關系，通過依次變換最終推導出末端執(zhí)行器相對于基坐標系的位姿，從而建立機器人的運動學方程。D-H矩陣由4個矩陣構成，即旋轉矩陣R、位置矩陣P、透視矩陣O、比例變換I。D-H法建立運動方程步驟包括建立坐標系、確定參數、建立相鄰桿件的位姿矩陣和建立方程四步。18

6.2.1運動學模型

圖6-5所示為三自由度平面關節(jié)機器人，由桿R1、R2、R3及手組成，桿的長度為r1，r2，r3，要求采用D-H法建立機器人的運動方程。（a）結構示意圖

（b）第一種坐標系

（c）第二種坐標系圖6-5三自由度平面關節(jié)機器人19

6.2.1運動學模型采用D-H法建立運動方程，首先建立坐標系，將機器人手部在空間的位姿用齊次坐標變換矩陣描述出來，然后建立機器人的運動學方程。具體步驟如下：（1）建立坐標系機座坐標系建立原則為：y軸垂直，x軸水平，方向指向手部所在平面。桿件坐標系{i}的建立原則為：z軸與關節(jié)軸線重合，x軸與兩關節(jié)軸線的距離連續(xù)重合，方向指向下一個桿件。20

6.2.1運動學模型

桿件坐標系有兩種方法，第一種方法是z軸與i+1關節(jié)軸線重合，如圖6-5（b）所示；第二種方法是z軸與i關節(jié)軸線重合，如圖6-5（c）所示。在本例中按第一種坐標系建立，桿件坐標系｛3｝與手部坐標系｛h｝重合。（2）確定關節(jié)參數對于該機器人確定的參數有：相鄰坐標系x軸之間的距離，相鄰坐標系x軸之間的夾角，相鄰坐標系z軸之間的距離，相鄰坐標系z軸之間的夾角。

21

6.2.1運動學模型

（3）建立相鄰桿位姿矩陣

根據各個桿件之間的關系，建立位姿矩陣，具體步驟如下:表6-1關節(jié)參數22

6.2.1運動學模型

（6-6）（6-7）（6-8）23

6.2.1運動學模型將式（6-6）、式（6-7）、式（6-8）組合到一起得到機器人的運動方程為式中：（6-9）

24

6.2.1運動學模型公式（6-9）用矩陣形式表示為（6-10）

25

6.2.2動力學模型

動力學是理論力學的一個分支，它主要研究作用于物體的力與物體運動的關系，研究對象是運動速度遠小于光速的宏觀物體。動力學的研究以牛頓運動定律為基礎，基本內容包括質點動力學、質點系動力學、剛體動力學，達朗伯原理等。1.基本原理與方法(1)牛頓第二定律

（6-11）26

6.2.2動力學模型（2）動力學普遍方程

（6-13）（6-12）（6-14）（6-15）27

6.2.2動力學模型（3）牛頓-歐拉方程

歐拉方程是歐拉運動定律的定量描述，該方程是建立在角動量定理的基礎上的描述剛體的旋轉運動時剛體所受外力矩

與角加速度

的關系式，可簡寫成式中：

為剛體的角速度，

為剛體的角加速度；

為剛體上的作用力矩；

為剛體相對于原點通過質心C并與剛體固連的剛體坐標系的慣性張量。

（6-16）28

6.2.2動力學模型（4）拉格朗日方程拉格朗日方程是拉格朗日力學的主要方程，可以用來描述物體的運動，它是動力學普遍方程在廣義坐標下的具體表現形式。拉格朗日方程表示為式中：為拉格朗日函數；為廣義坐標；為廣義力；。

（6-17）29

6.2.2動力學模型2.機械轉動系統(tǒng)

(1)轉動負載基本類型如圖6-6所示，

為輸入力矩；

為輸入、輸出轉角；

為轉動慣量；

為粘性阻尼系數；

為彈簧扭轉剛度。（a）慣性負載

（b）阻尼負載

（c）彈性負載圖6-6機械轉動負載基本類型30

6.2.2動力學模型慣性負載數學模型為阻尼負載數學模型為彈性負載數學模型為（6-18）（6-19）（6-20）

6.2.2動力學模型（2）絲杠螺母傳動

圖6-7為絲杠螺母傳動系統(tǒng)，絲杠的輸入轉矩為

，轉角為

，絲杠轉速為

，工作臺重為

，粘性阻尼系數為

，絲杠的轉動慣量為

，下面建立它的數學模型。

圖6-7絲杠螺母傳動機構32

6.2.2動力學模型通過計算得到工作臺折算到絲杠上的等效轉動慣量為

工作臺直線運動阻尼折算到絲杠上的等效阻尼為彈性負載數學模型為對上式拉普拉斯變換，整理得到的傳遞函數為（6-21）（6-22）（6-23）（6-24）

6.2.2動力學模型（3）齒輪傳動

圖6-8為一齒輪傳動系統(tǒng)，已知輸入轉矩為

，轉角為

，、

、

、

分別為聯聯軸器、齒輪

、齒輪

、

負載的轉動慣量，

為齒輪傳動比，

、

為I軸與II軸扭轉剛度，建立它的數學模型。（a）傳動簡圖

（b）等效圖圖6-8齒輪傳動3334

6.2.2動力學模型對于齒輪，為它的輸出轉矩，對于齒輪，為它的輸入轉矩。根據傳動關系，傳動系統(tǒng)的運動方程為

工作臺直線運動阻尼折算到絲杠上的等效阻尼為（6-25）（6-26）35

6.2.2動力學模型軸II折算到I軸的等效剛度系數為則系統(tǒng)的運動方程為對式（6-28）進行拉普拉斯換，得到系統(tǒng)的傳遞函數為（6-27）（6-29）（6-28）36

6.2.2動力學模型根據式（6-29）畫出傳動系統(tǒng)的方框圖為系統(tǒng)傳遞函數為圖6-9齒輪傳動系統(tǒng)方框圖（6-30）

6.2.2動力學模型（4）同步齒形帶傳動

圖6-10為打印機中的步進電動機驅動系統(tǒng)簡化模型，采用同步齒形帶驅動，

、

分別為同步齒形帶的彈性和阻尼系數，

為步進電動機輸出轉矩，

和

分別表示步進電動機轉子和負載的轉動慣量，

和

分別表示輸入軸和輸出軸角位移。37圖6-10打印機同步齒形帶傳動簡圖38

6.2.2動力學模型輸入軸的動力方程為輸出軸的動力方程為對式（6-31）和式（6-32）拉普拉斯變換，則有（6-31）（6-32）（6-33）39

6.2.2動力學模型根據式（6-33）可以畫出系統(tǒng)方框圖，如圖6-11所示。對系統(tǒng)方框圖進行化簡，得到系統(tǒng)的傳遞函數為（6-34）圖6-11同步齒輪形的系統(tǒng)方框圖

6.2.2動力學模型3.機械移動系統(tǒng)

（1）負載基本類型

機械移動負載類型也分為質量負載、阻尼負載、彈性負載幾種形式，分別建立

它們的運動微分學方程。40（a）質量負載

（b）阻尼負載

（c）彈性負載圖6-12機械移動負載基本類型41

6.2.2動力學模型慣性負載數學模型為阻尼負載為數學模型為阻尼負載為數學模型為（6-35）（6-36）（6-37）

6.2.2動力學模型（2）組合形式圖6-13所示為組合機床動力頭銑削端面時的加工示意圖。將動力頭簡化一個彈性系系統(tǒng)，為動力滑臺的剛度，F為銑削的切削力；液壓缸簡化成一個阻尼系統(tǒng)，粘性阻尼系數為C，建立它的數學模型。42

圖6-13動力滑臺結構圖

圖6-14動力滑臺簡化模型43

6.2.2動力學模型根據牛頓第二定律，建立滑臺的運動方程為對上式進行拉普拉斯變換，有系統(tǒng)的傳遞函數為（6-38）（6-39）（6-40）

6.2.2動力學模型圖6-15所示為汽車的支撐系統(tǒng)簡化模型，為汽車質量，為車輪質量，為汽車減振阻尼系數，為減振器彈性剛度，為輪胎彈性剛度，求輸出、隨F變化的關系，建立它的數學模型。44圖6-15汽車支撐系統(tǒng)的簡化力學模型45

6.2.2動力學模型根據支撐系統(tǒng)的力學模型，分別對、建立運動微分方程為

對式（6-41）兩式拉普拉斯變換，則有（6-41）（6-42）46

6.2.2動力學模型根據式（6-42）畫出系統(tǒng)框圖，如圖6-16所示。對方框圖進行簡化，可得系統(tǒng)的傳遞函數為

圖6-16汽車支撐系統(tǒng)方框圖（6-43）（6-44）

6.2.2動力學模型

圖6-17所示為一兩關節(jié)機械手，

和

為兩關節(jié)的驅動力矩，

和

分別為連桿的質量（以連桿末端的點質量表示），

和

分別為兩桿的長度，

和

分別為兩桿的夾角，建立該機械手動力學數學模型。采用拉格朗日法建立該機械手的動力學模型。選擇機械手的關節(jié)轉角、作為廣義坐標；選擇桿的力矩為、廣義力。47圖6-17兩關節(jié)機械手

圖6-18廣義坐標系48

6.2.2動力學模型桿1的動能和勢能為

根據桿1桿2的關系，求得桿2質心坐標為質心分速度（方程兩邊同時對時間t求導數）（6-45）（6-46）（6-47）49

6.2.2動力學模型求得質心速度為

桿2的動能為桿2的勢能

為寫出拉格朗日函數為（6-48）（6-49）（6-50）（6-51）50

6.2.2動力學模型拉格朗日方程為

對拉格朗日函數進行求導，求得、、、，代入式（6-52），求出機器人運動微分方程為（6-52）（6-53）（6-54）51

6.2.2動力學模型將式（6-53）、（6-54）改寫成以下形式

（6-52）52

6.3電路系統(tǒng)模型

6.3.1基本定理

在電路系統(tǒng)中建立數學模型通常運用基爾霍夫定律建立系統(tǒng)微分方程，再進行拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)的傳遞函數。

基爾霍夫第一定律又稱基爾霍夫電流定律，簡記為KCL，是電流的連續(xù)性在集總參數電路上的體現，其物理背景是電荷守恒公理?；鶢柣舴螂娏鞫墒谴_定電路中任意節(jié)點處各支路電流之間關系的定律，因此又稱為節(jié)點電流定律，定義為

（6-56）53

6.3電路系統(tǒng)模型

6.3.1基本定理

基爾霍夫第二定律又稱基爾霍夫電壓定律，簡記為KVL，是電場為位場時電位的單值性在集總參數電路上的體現，其物理背景是能量守恒?；鶢柣舴螂妷憾墒谴_定電路中任意回路內各電壓之間關系的定律，因此又稱為回路電壓定律。表示為式中：為第支回路的電流；為j和k回路之間的電感；為第j條回路的電動勢；為總電阻；為總電容；為第j條回路的電荷。

（6-56）541.RC電路圖6-19為RC有源網絡，由一個電阻和一個電容組成，輸入電壓為，輸出電壓為，建立它的數學模型。由于輸入電壓將消耗在電阻和電容上，有

（6-58）

6.3.2基本電路55將上式進行拉普拉斯變換，得根據式（6-59）畫出RC網絡的方框圖，如圖6-20所示。圖6-20（a）與圖6-20（b）分別對應式（6-59）中的兩個微分方程，圖6-20（c）為RC網絡方框圖。

（6-58）

6.3.2基本電路（a）

（b）

（c）圖6-20RC網絡方框圖56對式（6-59）進行整理或從方框圖6-20（c）整理，得到傳遞函數為圖6-21（a）為RC無源網絡，利用復阻抗概念得到如下關系：

（6-60）

6.3.2基本電路（6-61）57由以上關系可得到系統(tǒng)方框圖，如圖6-21（b）所示。a）RC無源網絡

（b）方框圖圖6-21RC無源網絡圖6-21（a）為RC無源網絡，利用復阻抗概念得到如下關系：

6.3.2基本電路（6-62）582.RLC串聯電路圖6-22（a）為RLC串聯電路，輸出電壓與輸入電壓關系為對式（6-63）進行拉普拉斯變換，有對式（6-64）進行整理，得到RLC串聯電路的傳遞函數為

（6-65）

6.3.2基本電路（6-63）（6-64）59根據式（6-65），畫出系統(tǒng)方框圖如圖6-22（b）所示。

6.3.2基本電路

（a）RLC網絡

（b）系統(tǒng)方框圖

圖6-22RLC串聯網絡603.比例-積分調節(jié)器圖6-23所示為比例-積分調節(jié)器電路圖，運算放大器工作時，輸入電壓，電流，所以，輸入電路與輸出電路復數阻抗和分別為對輸入與輸出信號進行拉普拉斯變換，則有因此，放大器傳遞函數為

6.3.2基本電路

（6-66）（6-67）（6-68）式中:，。61根據式（6-65），畫出系統(tǒng)方框圖如圖6-22（b）所示。

6.3.2基本電路（a）調節(jié)器電路

（b）方框圖圖6-23比例-積分調節(jié)器624.比例-微分調節(jié)器圖6-24所示為比例微分調節(jié)器電路圖，根據復阻抗比，求出系統(tǒng)的傳遞函數為

6.3.2基本電路（6-69）圖6-24比例-積分調節(jié)器635.濾波器圖6-25所示為一種有源帶通濾波器，各支路電流分別為、、、，按復數阻抗比關系，可得到如下方程組：在式（6-70）中消去和，經整理得到傳遞函數為

6.3.2基本電路（6-70）64

6.3.2基本電路（6-71）圖6-25有源帶通濾波器651.直流伺服電動機圖6-26所示為電樞控制式直流電動機的等效電路圖，該系統(tǒng)由一個電動機和一套由轉動慣量及旋轉阻尼組成。電動機電樞電阻和電感不可忽略，考慮串聯在電回路中。機械系統(tǒng)中轉動慣量與阻尼具有相同的運動速度，按并聯處理。

6.3.3伺服電動機圖6-26電樞控制式直流電動機的等效電路66

設電動機系統(tǒng)的輸入電壓為

，輸出為電動機轉子轉角為

，

為通過電樞繞阻電流，

為電動機感應電動勢，

為電動機轉矩。在電動機的電樞中，根據基爾霍夫電壓定律，則有設電動機的力矩常數為，由前面直流電動機的特性可知，電動機輸出力矩與電樞輸入電流成正比，有

6.3.3伺服電動機（6-73）（6-72）67

設電動機的反電動勢常數為

，則電動機感應電動勢與電動機的磁通常量成正比，則感應電動勢為

電動機負載有電動機轉子本身的轉動慣量以阻尼負載，設電動機負載折算到電動機軸粘性阻尼系數為，電動機轉子轉動慣量為，根據牛頓第二定律，電動機轉子的運動微分方程為將式（6-73）代入式（6-75），有6.3.3伺服電動機（6-75）（6-74）（6-76）68將式（6-74）、（6-75）代入式（6-72），則有

對式（6-77）進行拉普拉斯變換，電動機的傳遞函數為6.3.3伺服電動機（6-75）（6-74）692.交流伺服電動機交流電動機的形式較多，有同步與異步之分，異步電動機又分為繞線式和籠型，同步電動機又分為永磁式和勵磁式。不同類型的交流電動機動的數學模型不相同，但是各類交流電動機的轉子運動方程都是一樣的，即

式中:為轉子角速度

，

為轉子角位移，

為電動機的極對數，

為轉動部分的轉動慣量，

為機械阻尼系數。6.3.3伺服電動機（6-79）70圖6-27所示是一臺凸極式三相同步電動機的定、轉子繞組分布示意圖，定子三相繞組分別用A、B、C表示，轉子上有勵磁繞組f，定子A相繞組軸線與轉子d軸方向夾角為，轉子以角速度逆時針旋轉。6.3.3伺服電動機圖6-27凸極式三相同步電動機示意圖71三相同步電動機各繞組的電壓平衡方程為式中：為定子各相繞組的磁鏈；-轉子勵磁繞組的磁鏈；-定子每相繞組的電阻；-勵磁繞組的電阻。6.3.3伺服電動機（6-79）72對于定子三相繞組和轉子勵磁繞組，磁鏈方程為式中，定子各相繞組的自感和定子各相繞組間的互感

均為轉子角位移θ的函數，即6.3.3伺服電動機（6-80）73式中：和分別為定子繞組自感和互感的恒值分量；和分別為定子繞組自感和互感二倍頻分量的幅值。6.3.3伺服電動機（6-81）74為轉子勵磁繞組的自感，當不計齒槽效應時，定子鐵心內圓為光滑圓柱，故無論轉子轉到什么位置，轉子磁動勢所遇磁阻不變，因而的大小與轉子位置無關，為常值。是勵磁繞組與定子繞組間的互感，按氣隙磁場為正弦分布的假定，則有上式中，為勵磁繞組軸線與定子相繞組軸線重合時的互感。6.3.3伺服電動機（6-82）75可見，三相同步電動機的電壓方程（6-80）也是一組變系數的微分方程，該方程可以簡化為上式中，

分別為電壓向量、電流向量和磁鏈向量。分別為電阻矩陣和電感矩陣，分別為6.3.3伺服電動機（6-85）（6-84）76電動機的電磁轉矩為式中，電感矩陣的偏導數中，僅，其余元素仍為轉子角位移θ的函數。

將式（6-79）與式（6-87）聯立方程，消去中

，則得到電動機角位移與電動機繞組電流之間的方程為6.3.3伺服電動機（6-87）（6-86）（6-88）776.4液壓與氣壓系統(tǒng)模型6.4.1閥控液壓缸

閥控液壓缸是指用調節(jié)滑閥輸出流量的大小和方向來控制液壓缸的運動速度和方向的液壓傳動系統(tǒng)，具有響應快、控制精度高的優(yōu)點。閥控液壓缸由滑閥和液壓缸組成，按閥和缸的結構形式不同分為對稱與非對稱性缸、對稱與非對稱性閥。786.4.1閥控液壓缸在此介紹其中一種類型，即對稱閥-非對稱缸的數學模型，系統(tǒng)組成如圖6-28所示。圖6-28閥控液壓缸原理圖796.4.1閥控液壓缸由滑閥的基本公式可知，液壓缸兩腔的流量連續(xù)性方程分別為式中，為流量系數；為滑閥窗口孔寬度；為滑閥進口壓力；為液壓缸無桿腔進口壓力；為液壓缸有桿腔出口壓力；為滑閥出口壓力；為液壓油密度。穩(wěn)態(tài)時，，，，由式（6-89）可以得到（6-89）806.4.1閥控液壓缸

令，可推出滑閥輸出的負載流量與負載壓力的關系為（6-90）（6-91）（6-92）816.4.1閥控液壓缸對式（6-92）進行線性化，則式中，為流量增益；為流量-壓力系數。假設閥與液壓缸的連接管道對稱，管道中的壓力損失和管道動態(tài)可以忽略；液壓缸每個工作腔內各處壓力相等，油溫和體積彈性模量為常數；液壓缸內外泄漏均為層流流動。根據流量計算公式，液壓缸進口流量與出口流量分別為（6-93）826.4.1閥控液壓缸式中：為是有效體積彈性模量；為是液壓缸無桿腔的容積；為液壓缸有桿腔的容積；為壓缸內泄漏系數；為液壓缸外泄漏系數。液壓缸運動時，工作腔的容積可寫為式中：為是液壓缸無桿腔的初始容積；為是液壓缸無桿腔的初始容積；為液壓缸無桿腔面積；為液壓缸有桿腔面積。（6-94）（6-95）6.4.1閥控液壓缸負載流量連續(xù)性方程為對（6-91）進行求導得如果忽略內泄漏流量和外泄漏流量，再假設兩腔的壓縮流量為，因為

，，在此忽略與影響，則有（6-96）（6-97）6.4.1閥控液壓缸將式（6-95）、（6-97）代入（6-96），并進行簡化，得式中：；為液壓慶缸總泄漏系數，液壓缸和負載的力平衡方程為（6-98）（6-99）（6-100）6.4.1閥控液壓缸對式（6-93）、（6-99）、（6-100）進行拉普拉斯變換，可得到三個基本方程為由公式（6-101）可以畫出對稱閥-非對稱缸的方框圖，如圖6-29所示，為總壓力-流量系數，；；。由系統(tǒng)方框圖6-29，得到對稱閥–非對稱缸的傳遞函為（6-101）6.4.1閥控液壓缸如果負載不是彈性負載和阻尼情況下，即=0，，公式（6-102）簡化為式中：為系統(tǒng)固有頻率，；為液壓阻尼比，。

（6-102（6-103）6.4.1閥控液壓缸

圖6-29閥控液壓缸的系統(tǒng)方框圖886.4.2閥控液壓馬達

閥控液壓馬達是利用閥控制液壓馬達的轉速、位移或力矩一種控制系統(tǒng)。在此以直動式比例方向閥為例控制液壓馬達的運行，控制原理如圖6-30所示。工作時比例電磁鐵直接推動方向閥閥芯產生位移，其位移量的大小與電磁鐵控制電壓值有關，改變電磁鐵控制電壓的大小可改變比例方向閥開口的大小，以期得到所需的轉速度、角位移或力矩。直動式比例方向閥控液壓馬達有工作原理圖如圖6-31所示，為流入液壓馬達左腔的流量，為由液壓馬達右腔流回油箱的流量，為供油流量，為液壓馬達左腔液體的壓力，為液壓馬達右腔液體的壓力，為供油壓力，為液壓馬達左腔的有效容積，為液壓馬達右腔的有效容積。896.4.2閥控液壓馬達圖6-30閥控液壓馬達控制原理圖

圖6-31液壓原理圖906.4.2閥控液壓馬達（1）直動比例閥模型

在工作區(qū)域內，電磁鐵推力的近似線性表達式為式中：為電磁鐵的電流力增益，；為電磁鐵的位移力增益，；為電磁銜鐵位移。

比例電磁鐵控制線圈的電壓平衡方程為式中:為控制電壓；為線圈電感;為線圈內阻；為放大器內阻；為線圈感應反電動勢系數。（6-104）（6-105）916.4.2閥控液壓馬達對式（6-105）進行拉普拉斯變換，有令，，對式（6-106）進行整理得閥芯受力平衡方程式為式中：為閥芯-銜鐵組件的質量；為阻尼系數；為銜鐵組件的彈簧剛度；為穩(wěn)態(tài)液動力。（6-106）（6-107）（6-108）926.4.2閥控液壓馬達穩(wěn)態(tài)液動力的線性化增量表達式為式中：為流量增益；為流量-壓力系數。把式（6-104）和式（6-109）代入式（6-108），則有對式（6-110）進行拉普拉斯變換，有令，對式（6-111）進行整理得（6-109）（6-110）（6-111）（6-112）936.4.2閥控液壓馬達（2）閥控液壓馬達模型比例閥流量方程為式中：為流量系數；為滑閥窗口孔寬度；為為液壓油密度。其流量連續(xù)方程為式中：

；

。對式（6-114）進行拉普拉斯變換，則有（6-113）（6-114）（6-115）946.4.2閥控液壓馬達液壓馬達流量連續(xù)方程為式中:為有效體積彈性模量；為液壓內泄漏系數；為液壓馬達外泄漏系數。式中:為工作時進油腔初始容積；為馬達角位移。對

求導可得式中:為馬達每弧度的體積排量；為馬達轉速。（6-116）（6-117）（6-118）956.4.2閥控液壓馬達將式（6-118）代入式（6-116），可得對式（6-119）式取增量，設為定值對式（6-120）進行拉普拉斯變換，可得由式（6-115）和式（6-121），經整理后得（6-119）（6-120）（6-121）（6-122）966.4.2閥控液壓馬達液壓馬達力矩平衡方程為式中：為馬達輸出力矩；為外干擾力矩;為馬達輸出軸上的等效轉動慣量；為粘性阻尼系數；為負載壓力，，為常數，。由式（6-123）可得令，則有（6-123）（6-124）（6-125）976.4.2閥控液壓馬達由式(6-122)和式(6-124)，得令，則式（6-126）可表示為（6-126）（6-127）986.4.2閥控液壓馬達由式（6-107）、式（6-112）、式（6-125）和式（6-127）可得閥控液壓馬達的系統(tǒng)方框圖如圖6-32所示。圖6-32閥控液壓馬達系統(tǒng)的框圖996.4.3泵控液壓馬達

泵控液壓馬達是通過改變泵的排量即改變泵的輸出功率來控制傳送給負載的動力。圖6-33所示為采用變量泵控制液壓馬達的原理圖，系統(tǒng)由變量泵、先導式溢流閥、液壓馬達、單向閥等組成。1–液壓泵；2–液壓馬達；3–先導式溢流閥；4–單向閥；5–濾油器；6–補油泵圖6-33泵控馬達系統(tǒng)1006.4.3泵控液壓馬達根據變量泵的工作原理，泵的流量連續(xù)方程式中：為泵排量；為泵內泄漏系數；為泵外泄漏系數；為高壓側壓力；為低壓側壓力。通常認為補油壓力為常數，為工作時的低腔壓力，即=常數，將式（6-128）拉普拉斯變換為式中，為變量泵斜盤傾角系數；為變量泵流量增益，；為泵的總泄漏系數，。（6-128）（6-129）1016.4.3泵控液壓馬達

液壓馬達高壓腔的流量連續(xù)性方程為對式（6-130）進行拉普拉斯變換，有式中：

為馬達外泄漏系數；

為馬達內泄漏系數；

為馬達軸轉角；

為馬達排量；

為泵和馬達的工作腔以及連接管道的總容積；

為馬達的總泄漏系數，

。馬達和負載的轉矩平衡方程為（6-130）（6-131）（6-132）1026.4.3泵控液壓馬達對式（6-132）進行拉普拉斯變換，有式中，為馬達和負載折算到馬達軸上的總慣量；為馬達和負載折算到馬達上的總粘性阻尼系數；為負載剛度；為作用在馬達軸上的任意外負載轉矩。公式（6-129）、式（6-131）、式（6-133）是泵控馬達系統(tǒng)所列寫的基本方程，由此可以畫出泵控馬達系統(tǒng)的方框圖如圖6-34所示。（6-133）1036.4.3泵控液壓馬達在圖6-34中，

為系統(tǒng)總泄漏系數，

。通常阻尼系數比大得多，假設彈性負載，則由方框圖得圖6-34液壓泵控馬達系統(tǒng)的方框圖1046.4.3泵控液壓馬達式中：為阻尼比；為液壓固有頻率。以液壓泵的擺角作為輸入的傳遞函數為式中：,（6-134）（6-135）1056.4.3泵控液壓馬達

如果以負載轉矩為輸入的傳遞函數為（6-136）1066.4.4閥控氣缸圖6-35所示為閥控氣缸原理圖，系統(tǒng)由兩個比例伺服閥、單出桿氣缸、負載等組成。氣動位置伺服系統(tǒng)是利用比例閥將其連續(xù)的電信號輸人轉換成連續(xù)的氣動信號輸出,進而控制進入或排出氣缸兩腔的空氣質量。

圖6-35閥控氣缸原理圖1076.4.4閥控氣缸

壓力型比例閥的質量流量是比例閥的輸人電壓

和輸出壓力

的函數，其流量方程可以描述為

令，，對式（6-137）進行拉普拉斯變換，有式中：

為比例閥的質量流量，當某一比例閥的輸人電壓固定時，=0（6-137）（6-138）1086.4.4閥控氣缸

根據熱力學第一定律和理想氣體狀態(tài)方程可得氣缸容腔的壓力微分方程為

式中：r為氣體比熱比；R為氣體常數；T為氣體絕對溫度；A為容腔橫截面積；x為活塞桿的位移，規(guī)定向外運動為正方向。在工作點處對上式作拉普拉斯變換，可得式中：和分別代表在工作點k處氣缸容腔的壓力和體積。（6-139）（6-140）1096.4.4閥控氣缸式中：

為阻尼系數；

為彈性剛度。對式（6-141）進行拉普拉斯變換，有根據方框圖,化簡相關系數可以推導出由下式描述的氣動位置伺服系統(tǒng)的數學模型為式中：、、為替換后的系數。（6-141）（6-142）（6-143）1106.4.4閥控氣缸

由以上系統(tǒng)動態(tài)特性基本方程的拉普拉斯變換，可以畫出氣動位置伺服系統(tǒng)的結構方框圖，如圖6-36所示。圖6-36閥控氣缸系統(tǒng)方框圖1116.4.5電液伺服閥電液伺服閥的類型較多，在此以力反饋兩級電液伺服閥為例介紹它的數學模型建立過程。圖6-37為力反饋兩級電液伺服閥的工作原理圖，主要由力矩馬達與滑閥組成。圖6-37電液伺服閥工作原理圖1126.4.4電液伺服閥1.力矩馬達運動方程（1）電壓平衡方程當放大器工作時，輸入每個線圈輸入電壓為式中：

為放大器控制電壓；

為放大器放大系數。

兩個線圈回路的電壓平衡方程式中：

為線圈共用邊的阻抗；

為每個線圈的電阻；

為每個線圈回路中放大器內阻；

為每個線圈的匝數；

為銜鐵磁通。（6-144）（6-145）1136.4.4電液伺服閥將上式中兩個等式相減，則有線圈電流銜鐵的磁通為將式（6-147）代入式（6-146）中，有令，，則有（6-147）（6-146）（6-148）（6-149）1146.4.4電液伺服閥將式（6-149）進行拉普拉斯變換為將式（6-150）改寫為式中：（2）銜鐵擋板組件的運動方程力矩馬達輸出的電磁力矩包括電磁彈簧力矩和中位電磁力矩。中位電磁力矩即銜鐵處于中位時，控制產生的電磁力矩。電磁彈簧力矩為銜鐵偏離中位時，氣隙發(fā)生變化產生的附加電磁力矩。（6-150）（6-151）1156.4.4電液伺服閥力矩馬達輸出的電磁力矩方程為電磁力矩作用下，銜鐵擋板組件的運動方程為式中：為銜鐵擋板組件的轉動慣量；為粘性阻尼系數；為彈簧管剛度，為噴嘴對擋板的液流力產生的負載力矩；為反饋桿變形對銜鐵擋板組件產生的負載力矩。作用在擋板上的液流力對銜鐵擋板組件產生的負載力矩為式中：為噴嘴孔的面積，為兩噴嘴腔壓力差，為噴嘴中心至彈簧管回轉中心的距離。（6-154）（6-152）（6-153）1166.4.4電液伺服閥作用在反饋桿變形對銜鐵擋板組件產生的負載力矩為式中：為反饋桿小球中心到噴嘴中心的距離，為反饋桿剛度。將式（6-152）、式（6-153）、式（6-154）、式（6-155）聯立，有將上式進行拉普拉斯變換，得銜鐵擋板組件的力矩平衡方程為（6-155）（6-156）（6-157）1176.4.4電液伺服閥即有式中：為力矩馬達的總剛度，，因此，可得把式整理成標準形式為式中：為力矩馬達固有頻率，；為阻尼系數，。（6-158）（6-159）（6-160）（6-161）1186.4.4電液伺服閥由式（6-151）和式（6-161），得到力矩馬達環(huán)節(jié)的方框圖如圖6-38所示。圖6-38力矩馬達方框圖1196.4.4電液伺服閥2.擋板位移與銜鐵轉角的關系根據擋板結構，當銜鐵轉角轉過角時，則擋板位移為式中：為旋轉半徑。因此，上述力矩馬達環(huán)節(jié)的方框圖變換后如圖6-39所示。圖6-39變換后的力矩馬達方框圖（6-162）1206.4.4電液伺服閥3.噴嘴擋板至滑閥的傳遞函數認為噴嘴擋板閥的綜合特性是線性的，其線性化方程為同時，忽略滑閥的內外泄漏、摩擦力和失靈區(qū)，近似認為滑閥上的液動力是線性變化的，其穩(wěn)態(tài)液動力為根據上述假設，考慮液體可壓縮性時，滑閥運動所需的流量為式中：為滑閥處于中位時左右腔的容積。（6-163）（6-164）（6-165）1216.4.4電液伺服閥閥芯上作用的力平衡方程為

為簡化，忽略實際數值較小的量，即，，則有聯立式（6-165）、式（6-166）、式（6-167），得式中：,,（6-166）（6-167）1226.4.4電液伺服閥因此，得傳遞函數為由于，很小，近似為，則有因此，得到伺服閥的方框圖如圖6-40所示。（6-168）（6-169）1236.4.4電液伺服閥

圖6-40伺服閥系統(tǒng)方框圖1246.5機電一體化系統(tǒng)建模實例6.5.1數控機床進給機構建模圖6-41所示為數控機床工作臺的傳動系統(tǒng)，由伺服電動機、減速器、絲杠螺母及工作臺組成。伺服電動機運動通過連軸器、減速器及絲杠螺母機構副驅動工作臺做直線運動。設減速器為兩級傳動，總傳動比為

，、、為分別為I、II、III軸的轉動慣量，為電動機轉子的轉動慣量，、、分別為I、II、III軸的扭轉剛度，為聯軸器的扭轉剛度，為絲杠螺母副的軸向剛度，為工作臺質量，為工作臺與導軌之間的粘性阻尼系數，T1、T2、T3分別為I、II、III軸的輸入轉矩，為電動機輸出轉矩，為電動機轉子角位移。1256.5.1數控機床進給機構建模

圖6-41數控機床工作臺傳動系統(tǒng)1266.5.1數控機床進給機構建模

在建立機電一體化系統(tǒng)數學模型過程中，經常會用轉動慣量、剛度系數、阻尼系數等基本物理量。為了方便建模，通常采取的方法是把整個系統(tǒng)中的物理量折算其中的一個部件上，以它為中心建立系統(tǒng)的動力學方程。因此，在建模前需要進行基本物理量的等效折算。1.轉動慣量等效折算轉動慣量等效折算就是將傳動系統(tǒng)中I、II、III軸上所有零件以及工作臺質量都折算到I軸上，作為系統(tǒng)的等效轉動慣量。設、、分別為I、II、III軸的負載轉矩；、、分別為I、II、III軸的角速度；為工作臺的直線位移。1276.5.1數控機床進給機構建模根據牛頓第二定律，I軸的轉矩平衡方程為II軸的轉矩平衡方程為由I、II兩軸的傳動關系可知，II軸的輸入轉矩

是由I軸輸出轉矩

傳遞得到的，且與傳動齒輪的轉速成反比，即有

式中：

為I軸與軸II的傳動比，且有

。（6-171）（6-172）（6-173）1286.5.1數控機床進給機構建模將式（6-172）代入（6-173）中，經整理得又根據II與III軸的傳動關系，III軸的力矩平衡方程為同理，又有式中：為I軸與軸II的傳動比，。（6-174）（6-175）（6-176）1296.5.1數控機床進給機構建模將式（6-175）代入式（6-176），經整理得根據能量相等原則，在此不考慮能量損失，則絲杠轉動一轉所做的功應等于工作臺前移動一個導程時慣性力所做的功，則有式中：為絲杠導程。如果齒輪

旋轉一圈，工作臺前進一個導程

，根據兩者傳動關系，則有（6-177）（6-178）（6-179）1306.5.1數控機床進給機構建模將式（6-179）求導后，代入式（6-178）得依次將式（6-180）代入式（6-177），式6-177）代入式（6-174），式（6-174）代入式（6-171），整理得

I、II、III軸部件及工作臺等效到I軸上的總的轉動慣量為（6-180）（6-181）（6-182）1316.5.1數控機床進給機構建模2.粘性阻尼系數等效折算在機械系統(tǒng)的數學建模過程中，粘性阻尼同樣需要折算到某一部件上，求出系統(tǒng)的當量阻尼系數。其基本方法是將摩擦阻力、流體阻力及負載阻力折算成與速度有關的粘性阻尼力，再利用摩擦阻力與粘性阻尼力所消耗的功相等這一原則，求出粘性阻尼系數，最后進行相應的當量阻尼系數折算。在本例中只考慮工作臺運動之間的摩擦，其它各環(huán)節(jié)的摩擦損失相對較小，在此忽略不計。當只考慮阻尼力時，根據工作臺和絲杠之間動力關系，即絲杠旋轉一周所做的功等于工作臺前進一個導程時其阻尼力所做的功，有

1326.5.1數控機床進給機構建模根據它們的傳動關系以有將式（6-179）、式（6-183）代入式（6-185），并整理得式中：為工作臺折算到I軸上的粘性阻尼系數。

（6-183）（6-186）（6-184）（6-185）1336.5.1數控機床進給機構建模3.剛度折算機械系統(tǒng)中各元件在工作時受到力或力矩作用，將產生伸長(壓縮）或扭轉等彈性變形，這些變形將影響整個系統(tǒng)的精度和動態(tài)性能。在機械系統(tǒng)的數學建模中，需要將其折算成相應的當量扭轉剛度和彈性剛度。在本例中，將所有軸的扭轉角折算到I軸上，絲杠與工作臺之間的軸向彈性變形會使III軸產生一個附加扭轉角，所以也要折算到軸I上，然后求出折算到軸I上的系統(tǒng)等效剛度。

1346.5.1數控機床進給機構建模(1)軸向剛度折算當系統(tǒng)受到載荷作用時，絲杠螺母副和螺母座都會產生軸向彈性變形，設絲杠的輸入轉矩為T3，絲杠和工作臺之間的彈性變形為，對應的絲杠附加轉角為。根據動力平衡和傳動關系，對于絲杠軸III有

（6-187）（6-188）1356.5.1數控機床進給機構建模將式（6-188）代入（6-187）有式中：為附加扭轉剛度。（2）扭轉剛度折算設、、分別為軸I、II、III在輸入轉矩、、作用下產生的扭轉角，為聯軸器的扭轉角、根據動力平衡和傳動關系有（6-189）（6-190）1366.5.1數控機床進給機構建模

因為絲杠和工作臺之間的軸向彈性變形，要使得工作動變形前的位置，則需要Ⅲ軸多旋轉一個角度，即為附加扭轉角，所以軸上的實際扭轉角為將和式（6-189）代入式（6-192）得（6-191）（6-192）（6-193）1376.5.1數控機床進給機構建模將III、III軸的扭轉角折算到I軸上，得到系統(tǒng)的等效扭轉角為將式（6-191）、（6-193）代入式（6-194）得式中：

為折算到I軸上的當量扭轉剛度系數。（6-194）（6-195）（6-196）1386.5.1數控機床進給機構建模4.系統(tǒng)傳遞函數將轉動慣量、剛度、粘性阻尼等效算到I軸后，可以外按單一部件對系統(tǒng)進行建模。設輸入量為軸I的轉角，輸出量為工作臺的線位移，傳動系統(tǒng)的等效圖6-42所示。圖6-42傳動系統(tǒng)等效計算圖1396.5.1數控機床進給機構建?？梢缘玫綌悼貦C床進給系統(tǒng)的數學模型為式中：為中不包括I軸的等效轉動慣量。由于，，系統(tǒng)等效到I軸的力矩平衡方程為（6-198）（6-199）1406.5.1數控機床進給機構建模根據式（6-199）畫出系統(tǒng)的方框圖如圖6-5所示。根據方框圖，工作臺輸出對地I軸輸入的傳遞函數為式中：-固有頻率，；-阻尼比，。圖6-43進給系統(tǒng)方框圖（6-200）1416.5.1數控機床進給機構建模根據系統(tǒng)方框圖，工作臺輸出對地I軸輸入轉矩的傳遞函數為令，將式（6-201）改造成式中：-固有頻率；；-阻尼比，。（6-201）（6-201）1426.5.1數控機床進給機構建模和是二階系統(tǒng)的兩個特征參數，對于不同的系統(tǒng)可由不同的物理量確定，對于機械系統(tǒng)而言，它們是由質量、阻尼系數和剛度系數等結構參數決定的。機械傳動系統(tǒng)的性能與系統(tǒng)本身的阻尼比、固有頻率有關。和又與機械系統(tǒng)的結構參數密切相關。因此，機械系統(tǒng)的結構參數對伺服系統(tǒng)的性能有很大影響。一般的機械系統(tǒng)均可簡化為二階系統(tǒng)，系統(tǒng)中阻尼的影響可以由二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線來說明，如圖6-44所示。1436.5.1數控機床進給機構建模①當=0時，系統(tǒng)處于等幅持續(xù)振蕩狀態(tài)，因此系統(tǒng)不能無阻尼。②當時，系統(tǒng)為臨界阻尼或過阻尼系統(tǒng)。此時,過渡過程無振蕩,但響應時間較長。③當0<<1時，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)。此時，系統(tǒng)在過渡過程中處于減幅振蕩狀態(tài)，其幅值衰減的快慢取決于衰減系數。在確定以后,愈小，其振蕩愈劇烈，過渡過程越長。圖6-44二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線1446.5.2數控伺服驅動系統(tǒng)建模伺服驅動系統(tǒng)是數控機床、工業(yè)機器人等機電一體化系統(tǒng)的重要組成部分，以西門子S120驅動單元為例，且X、Y、Z直線軸采用西門子交流同步伺服電動機，通過矢量變換的方法對伺服電動機進行線性化解耦控制。為保證運動系統(tǒng)精確性，伺服驅動系統(tǒng)中包括了電流環(huán)、速度環(huán)、位置環(huán)，分別用于力矩、速度、位置控制，三環(huán)通過PID調節(jié)器控制。圖6-45為閉環(huán)伺服驅動系統(tǒng)控制框圖。1456.5.2數控伺服驅動系統(tǒng)建模

圖6-45閉環(huán)伺服控制系統(tǒng)框圖1466.5.2數控伺服驅動系統(tǒng)建模1.伺服電動機數學模型通常情況下，可以通過矢量變換的方法將三相永磁式同步電動機等效為二相d-p旋轉坐標系上的直流電動機模型，其數學模型如下：永磁式同步電動機在二相d-p坐標系下電壓方程為式中:、為q、d軸的等效電壓；、為q、d軸的等流；為定子的相電阻；、為q、d軸的磁鏈；為電動機轉子轉速。（6-203）147