湖南省岳陽市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

岳陽市2024年高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷高一數(shù)學(xué)本試卷共4頁，共22道小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、考號、姓名和座位號填寫在答題卡指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定義求解即得.【詳解】集合，，所以.故選：C2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】由全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得：命題“，”的否定為：“，”.故選：D.3.已知冪函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減，則（）A. B. C.3 D.9【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)，確定解析式后求值即可.【詳解】是冪函數(shù)，，解得或，易知在上單調(diào)遞減，故，則，，故選：A4.已知，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分別計算出、、的范圍，比較大小即可得.【詳解】，，，即，則有.故選：A.5.已知，則（）A.11 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和切弦互化可得，將代入計算即可求解.【詳解】由題意知，.故選：B6求值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正切和差角公式即可求解.【詳解】,故選：A.7.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由解得方程解，利用二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，建立不等式組，解之即可求解.【詳解】由題意知，令，解得，所以，對于函數(shù)，對稱軸為，所以該二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，得，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B8.如圖，將邊長為1的正方形沿軸正向滾動，先以為中心順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)落在軸時，又以為中心順時針旋轉(zhuǎn)，如此下去，設(shè)頂點滾動時的曲線方程為，則下列說法錯誤的為（）A. B.C. D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正方形的運(yùn)動軌跡，分別求出當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)而，結(jié)合圖形判斷單調(diào)性，依次判斷選項即可.【詳解】因為正方形的邊長為1，所以其對角線，如圖，由正方形的滾動軌跡知，當(dāng)時，位于點，即，當(dāng)時，位于點，即，當(dāng)時，位于點，即，當(dāng)時，位于點，即，當(dāng)時，位于點，即，當(dāng)時，位于點，即，所以，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù).所以，，，與單調(diào)性一致，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故ABD正確，C錯誤.故選：C二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的有（）A. B.C.若，則 D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A,由于，所以，A錯誤，對于B，，B正確，對于C，，所以，C正確，對于D，，故D正確，故選：BCD10.已知實數(shù)，滿足且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.最小值為9【答案】ACD【解析】【分析】由得，解得，即可判斷A；由A知，則，由不等式的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)基本不等式的應(yīng)用計算即可判斷BD.詳解】A：由，得，又，所以，解得，故A正確；B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又，所以，故B錯誤；C：由選項A知，則，所以，又，所以，故C正確；D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為9，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在單調(diào)遞減C.將函數(shù)的圖象向右平移個單位可得的圖象，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D.當(dāng)時，令的根分別為，，，…，，則.【答案】ACD【解析】【分析】由題意，結(jié)合圖形求出函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性和對稱性即可判斷ABC；如圖，作出函數(shù)圖象與直線，由圖可知和關(guān)于直線對稱，求和即可判斷D.【詳解】A：由圖可知，，得，故A正確；B：由選項A知，，所以，將點代入函數(shù)解析式，得，由，解得，所以.令，，解得，，令，得，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故B錯誤；C：將函數(shù)圖象向右平移個長度單位，得，則，故函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故C正確；D：當(dāng)時，如圖，作出函數(shù)圖象與直線，由圖可知函數(shù)圖象與直線有4個交點，令，解得，即函數(shù)的對稱軸為，由圖知，關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線對稱，則，所以，故D正確.故選：ACD12.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，.已知，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的有（）A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.的值域是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義及判定，以及基本不等式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由函數(shù)，可得其定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；對于B中，由，可得，顯然，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以B錯誤；對于C、D中，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，此時；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，此時；當(dāng)時，，此時，綜上可得，函數(shù)的值域為，且函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以C不正確，D正確.故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若“”是“”的必要不充分條件，，則取值可以是______.（填一個值即可）【答案】（答案不唯一，且均可）【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合“且”是“”的真子集，即可求解.【詳解】由題意，“”是“”的必要不充分條件，，即“且”是“”的真子集，所以取值可以是.故答案為：（答案不唯一，且均可）14.定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于是上的奇函數(shù)，所以，所以，故，因此，故答案為：15.若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，即可求解.【詳解】因為，則.故答案為：.16.已知，函數(shù)，若函數(shù)的圖象與軸恰有2個交點，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合題意，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由函數(shù)，在同一坐標(biāo)系下，畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，要使得函數(shù)的圖象與軸恰有2個交點，則滿足或.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知.（1）求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值并求相應(yīng)的值.【答案】17.，18.當(dāng)時，函數(shù)的最大值為2；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.【解析】【分析】（1）根據(jù)公式計算即可求解函數(shù)的最小正周期；利用整體代換法計算即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意可知，即可求解函數(shù)的最值.【小問1詳解】由題意，可知：最小正周期，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，化簡，得，，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)即時，取最大值為1，故的最大值為2，當(dāng)即時，取最小值為，故的最小值為.18.（1）設(shè)集合，.，，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.（2）已知，求①的值；②的值.【答案】（1）；（2）①；②【解析】【分析】（1）由函數(shù)的解析式有意義，求得，結(jié)合題意，得到是的真子集，列出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）由函數(shù)有意義，可得，解得，所以集合，，因為，，是的充分不必要條件，所以是的真子集，則滿足，解得，經(jīng)驗證：當(dāng)和時，符合題意，故實數(shù)的取值范圍為.（2）因為，所以，所以；又因為，由，所以.19.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求，的值.（2）設(shè)關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為和2是的兩個實數(shù)根，結(jié)合韋達(dá)定理，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意，當(dāng)時，原不等式恒成立；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：因為關(guān)于的不等式的解集為，所以和2是的兩個實數(shù)根，可得，解得，.【小問2詳解】解：關(guān)于不等式在上恒成立，當(dāng)時，原不等式為恒成立；當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取等號，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是.20.隨著春節(jié)假期臨近，某市政府積極制定“政企聯(lián)動”政策，計劃為該市制藥公司在春節(jié)假期提供（萬元）的加班專項補(bǔ)貼.該市制藥公司在收到市政府（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）.同時制藥公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.（注：收益=銷售金額+政府專項補(bǔ)貼成本.）（1）求該市制藥公司春節(jié)假期間，加班生產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于專項補(bǔ)貼（萬元）的表達(dá)式；（2）市政府的專項補(bǔ)貼為多少萬元時，該市制藥公司春節(jié)假期間加班生產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？【答案】20.21.3萬元【解析】【分析】（1）由題意，列出y關(guān)于x的關(guān)系式即可；（2）由（1），結(jié)合基本不等式的應(yīng)用，即可求解.【小問1詳解】由題意可得.因為，所以.【小問2詳解】因為.又因為，所以，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”），所以，即當(dāng)萬元時，取最大值22萬元.答：市政府的專項補(bǔ)貼為3萬元時，該市制藥公司春節(jié)假期間加班生產(chǎn)所獲收益最大.21.如圖，某市在兩條直線公路上修建地鐵站和，為了方便市民出行，要求公園到的距離為.設(shè).（1）試求的長度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）問當(dāng)取何值時，才能使的長度最短，并求其最短距離.【答案】（1）（2）當(dāng)時，AB最短，最短距離為【解析】【分析】（1）設(shè)，作于點D，由三角形面積公式可得，結(jié)合即可求解；（2）由三角恒等變換可得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】設(shè)，作于點D，由題意知，，解得，又，代入得.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)即時，分母最大，此時的值最小，所以當(dāng)時，AB的長度最短，最短距離為.22.已知指數(shù)函數(shù)，滿足，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若方程有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知，若方程的解分別為，且方程的解分別為，，求的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)出指數(shù)函數(shù)解析式，再代入求解即得.（2）換元，結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根