高三數(shù)學(xué)高考知識點總結(jié)

'二三拒正三'二W很正品…’二三拒正三…

2""7t；手'”1元2:：?'j"Tt高中數(shù)學(xué)必修1

知識點

第一章集合與函數(shù)概念

[1.1.1]集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，/?表示實數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合〃的關(guān)系是ae",或者兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛x|X具有的性質(zhì)｝,其中X為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集(0).

[1.1.2]集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

A^B(l)AOA

(或A中的任一元素都屬⑵07A

子集

于B⑶若AqB且則AqC

B^A)0O

(4)若Aq8且區(qū)qA,則A=3或

ACB(1)0uA(A為非空子集)

*A^B,且B中至*

真子集

少有一元素不屬于A

(或BZ)A)⑵若4(=8且8(=。，則AuC

*

A中的任一元素都屬

集合(l)AOB

A=B于B,B中的任一元素

相等(2)BOA

都屬于A

(7)已知集合A有〃(〃21)個元素，則它有2"個子集，它有2"—1個真子集，它有2"—1個非空子集,

它有2"-2非空真子集.

[1.1.3]集合的基本運算

(8)交集、并集、補集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

(1)A。A=A

{x|A且

(2)AQ0=0

交集

(3)ACB^A

XGB}

ABjBGD

(1)AA=A

{x|xeA或

AIJB(2)A^0=A

并集

(3)4B^A

xeB}

"(Q,A)=02AJ@A)=U

u

，且不任A}AB)=(“A)JQB)

補集的A覆

額AB)=(“A)(%B)J@

【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

|x\<a(a>0){x\-a<x<a}

|x|>a(a>0)%|工<一々或%>4}

把辦+匕看成一個整體，化成|x|<。，

|ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

Ix|>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0△=0A<0

A=/?2-4ac

11I

二次函數(shù)I/

y=ax2+bx+c(a>0)°工

J

的圖象1p

一元二次方程-b±ylb2-4ac

石o一

122ab

ax+bx+c=0(〃>0)%=Z=--無實根

2a

(其中

的根X1<x2)

ax1+bx+c>0(a>0),h

{x|X<玉或X>/}{tx|x^-—}tR

2a

的解集

ax2+hx+c<0（。>0）

{x|Xj<x<x2}00

的解集

K1.22函數(shù)及其表示

［1.2.1］函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、8是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中任何一個數(shù)x,在集合8

中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對應(yīng)法則/)

叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作了:Af8.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)是兩個實數(shù)，且a<h,滿足aWxV〃的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做［a,勿；滿足

a<x<h的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(。,份；滿足aWx<h,或。<xWb的實數(shù)x的

集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做［a,b),(a,b］；滿足x2a,x>的實數(shù)x的集

合分別記做［a,”),(a,+8),(y。,句,(y。,b).

注意：對于集合｛兀|。<了<。｝與區(qū)間(。,6),前者a可以大于或等于b,而后者必須

a<b.

(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①f(X)是整式時，定義域是全體實數(shù).

②f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).

③/(X)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.

71

⑤y=tanx中，k7r+—(keZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)界的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)

的定義域的交集.

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若己知/(x)的定義域為勿，其復(fù)合函數(shù)f［g(x)］

的定義域應(yīng)由不等式a<g(x)<b解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.

⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個

最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是

提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的

值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=f(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程

a(y)》2+〃(y)x+c(y)=O,則在。(y)rO時，由于為實數(shù)，故必須有

△=〃(y)—4a(y)?c(y)>0,從而確定函數(shù)的值域或最值?

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間

的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)A、8是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中任何一個元素，在集合3中都有

唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,3以及A到8的對應(yīng)法則f)叫做集合A到

B的映射，記作了:AfB.

②給定一個集合A到集合B的映射，且如果元素。和元素。對應(yīng)，那么我們把元素

。叫做元素a的象，元素a叫做元素力的原象.

K1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I內(nèi)某(i)利用定義

個區(qū)間上的任意兩個自變量y'y=f(X)/(2)利用已知函數(shù)的

的值XI、X”當(dāng)Xi<之時，都單調(diào)性

有f(x>)<f(x),那么就說

?f(xl)(3)利用函數(shù)圖象(在

f(x)在這個區(qū)間上是單邑藜.1.某個區(qū)間圖

0X,x,X象上升為增)

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性(1)利用定義

如果對于屬于定義域I內(nèi)某yy=f(X)(2)利用已知函數(shù)的

個區(qū)間上的任意兩個自變量單調(diào)性

的值Xi、X2,當(dāng)？K》時，都(3)利用函數(shù)圖象(在

有f(x,)>f(x2),那么就說某個區(qū)間圖

f(x)在這個區(qū)間上是誠邑數(shù)0X,X,x象下降為減)

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為

增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］,令"=g(x),若y=/(〃)為增，M=g(x)為增，則

y=/Tg(x)］為增；若y=/(")為減，，，=g(x)為減，則y=/［g(x)］為增；若y=/(〃)為

增，〃=g(x)為減，則y=/Tg(%)］為減；若y=/(〃)為減，〃=gO)為增，則

，=/Tg(x)］為減./Xa)一*?—(a>0)

(2)打“J”函數(shù)/(%)=%+0(4>0)的圖象與性質(zhì)

X

y(x)分別在(-8,一&］、［6,+8)上為增函數(shù)，分別在

。癡

［一4,0)、((),布］上為減函數(shù).

—2VA

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：(1)

對于任意的xw/，都有

(2)存在使得/(x0)=M.那么，我們稱M是函數(shù)f\x)的最大值，記作

嘉x0)="?

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足：(1)對于任意的xw/,都有

/(x)>m；(2)存在不￡/,使得/(/)=那么，我們稱加是函數(shù)/(%)的最小值，記作

fmm(x)=rn.

[1.3.2]奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)（1）利用定義（要先

任意一個X,都有共一制.一V

(a,f(a))判斷定義域是否關(guān)于

“神，那么函數(shù)f（x）叫做奇喀原點對稱）

-a「

教.一

oax（2）利用圖象（圖象

關(guān)于原點對稱）

(-a.f(-a))

函數(shù)的

奇偶性如果對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)（1）利用定義（要先

y

任意一個X,都有f（—x）=f（x）,判斷定義域是否關(guān)于

(-a.f(-a)).(a,f(a))

那么函數(shù)f（x）叫做假明數(shù).原點對稱）

（2）利用圖象（圖象

-ao

二關(guān)于y軸對稱）

②若函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，且在x=（）處有定義，則y（o）=o.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或

奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).

K補充知識》函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本

初等函數(shù)的圖象.

①平移變換

。＞0,左移〃個單位

y=f(x)右移㈤個單位

火＞0,上移A個單位

y=f(x)k＜0,下移出個單位-y=f(x)+k

②伸縮變換

0<?<1/申

>丁=/(的)

y=/(x)81,縮

O<A<1,縮

y=/(x)

③對稱變換

y=/(x)-'%y=_/(x)y=/(x)濰Jy=/(-x)

y=/(x)球直-y=-/(-x)y=/(x)^^^>=尸(x)

去掉）軸左邊圖象

y=/(x)>y=/(|xl)

保留），軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象

保留斕h上方圖象

y=/(x)>y="(x)l

將甘由下方圖象翻折上去

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義

域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，

獲得問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)幕的運算

（1）根式的概念

①如果x"=a,aeR,xe/?,〃>l,且“eN+，那么x叫做。的〃次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)時,

。的〃次方根用符號后表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的〃次方根用符號指表示，負(fù)的〃次方

根用符號一板表示；0的〃次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有幾次方根.

②式子后叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當(dāng)

〃為偶數(shù)時，a>0.

③根式的性質(zhì)：（標(biāo)）"=a；當(dāng)"為奇數(shù)時，技=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時，

(4Z>0)

=|a|=<

—Cl(a<0)

（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)轅的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)易的意義是：=痂（。>0,m,〃€"+，且〃>1）.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

幕等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)轅的意義是：=（_1k=J（_Ly"（a>o,肛〃wN+，且〃>1）.o

ava

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)品的運算性質(zhì)

①ar-as=a,+s(a>0,r,sG7?)②(優(yōu))'="'(Q>0,又swR)

③=a1hr(a>0,Z?>0,rG/?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a\a>0且ar1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>\0<Q<1

圖象

J(0,1)

J71

AXX

定義域R

值域(0,+8)

過定點圖象過定點(0,1),即當(dāng)九=0時，y=1.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1U>0)ax<1U>0)

函數(shù)值的

ax=1(x=0)ax=1(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>1U<0)

a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.

K2.22對數(shù)函數(shù)

[2.2.1]對數(shù)與對數(shù)運算

(1)對數(shù)的定義

①若=N(a>0,且aH1),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log“N,其中a叫做底數(shù),

N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：X=log(,Noa*=N(a>0,aw1,N>0).

(2)幾個重要的對數(shù)恒等式

b

log"1=0,log"=1，logfla=b.

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即loggN；自然對數(shù)：InN,即log?N(其中e=2.71828…).

(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果>0,N>0,那么

①加法：log“M+log”N=log"(MN)②減法：log.M-log”N=log”—

③數(shù)乘：?lognM-lognM'\n&R)④〃S=N

n

n⑥換底公式：log〃N=@^^S〉0,且bHl)

?log,,M=—logaM(Z?^0,/?e/?)

°blog〃a

[2.2.2]對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=logax(a>0且aw1)叫做對數(shù)函數(shù)

a>\0<a<l

X=1Ix=1

y=1陶”yy=iog?x

二

圖象

(1,0)

17

1(1,0)X0

17

定義域(0,+oo)

值域R

過定點圖象過定點(1,0),即當(dāng)x=l時，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,4-00)上是減函數(shù)

log?x>0(x>l)logax<0(x>l)

函數(shù)值的

log“x=0(x=l)logoX=0(x=l)

變化情況

lognx<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為A,值域為C,從式子y=/(x)中解出尤，得式子x=0(y).如

果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=e(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式

子x=0(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x=0(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),

習(xí)慣上改寫成y=r'(x).

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=y1(y)改寫成y=,并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=/(%)與反函數(shù)y=廣'(%)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上，則Pg,。)在反函數(shù)y=的圖象上.

④?般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.32幕函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做箱函數(shù)，其中尤為自變量，a是常數(shù).

一、二象限（圖象關(guān)于y軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點對稱）；是非奇非偶

函數(shù)時，圖象只分布在第一象限.

②過定點：所有的幕函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）.

③單調(diào)性：如果。>（）,則基函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+8）上為增函數(shù).如果則呆函數(shù)的

圖象在（0,+8）上為減函數(shù)，在第--象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時，界函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，箱函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)&=幺（其中p,q互

P

21

質(zhì)，〃和qwZ）,若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則y=x0是奇函數(shù)，若〃為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則y=

是偶函數(shù)，若〃為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則y=x0是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：事函數(shù)>=》"，》€(wěn)（0,+8）,當(dāng)a〉l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若

x>\,其圖象在直線y=x上方，當(dāng)。<1時，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若%>1,

其圖象在直線y=x下方.

K補充知識》二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/0）=辦2+。3+。（。工0）②頂點式：/（x）=a（x-〃）2+Z（aH0）③兩根式：

/（%）=a（x-%1）（x-x2）（?^0）（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點坐標(biāo)時，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時，常使用頂點式.

③若已知拋物線與X軸有兩個交點，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求了（X）更方便.

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

9I）

①二次函數(shù)/（九）=ar+0x+c（a工0）的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x=----，頂點坐標(biāo)是

2a

bAac-b1

（一"T"/■

2a4。

bhb

②當(dāng)。>0時，拋物線開口向上，函數(shù)在（一8,----］上遞減，在［-----,+8）上遞增，當(dāng)工=-----時，

2a2a2a

4-cic—b~bb

Enin（X）=--------；當(dāng)。<°時，拋物線開口向下，函數(shù)在（一8,----］上遞增，在［-----,+00）上

4a2a2a

b「,、4ac-b2

遞減，當(dāng)x=一丁時，4ax（x）=--——.

③二次函數(shù)/(x)=辦2+Zu+c(a/0)當(dāng)△=/??-4ac>0時，圖象與x軸有兩個交點

瓜

此10),區(qū)的0)，1叫必耳芭-&|=

而

(4)一元二次方程ad+6x+c=0(aw0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不

夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運用，

下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.

設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=。的兩實根為且玉<%.令

0(￥0)X],x2,

9b

/(x)=ar+"+c,從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：x=——

2a

③判別式：A④端點函數(shù)值符號.

①左―。

V上2S—

⑤有且僅有一個根x,(或小)滿足h<x,(或％)<fc。/(&,)/(%)<0,并同時考慮/G)=0

或/(fc)=0這兩種情況是否也符合

⑥k、〈X\〈k-Vp2。

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/。)=以2+〃X+C(QwO)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值為M,最小值為加，令尤o=g(P+4),

(I)當(dāng)。>0時(開口向上)

①若一--<P,則〃!=/(〃)②若〃<一~—<(7,則〃1=/(一-—)③若一-—>,則

2a2a2a2a

m=f(q)

(n)當(dāng)。<0時(開口向下)

bbbb

①若----<p,則〃=f(p)②若p<-----<q,則知=/(-----)③若----->q,則

2a2a2a2a

M=f(q)

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=/(x)(xe￡)),把使/(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)

y=f(x)(xGD)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0實數(shù)根，亦即函數(shù)丁=/(x)的

圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)。即：

方程/(幻=0有實數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點o函數(shù)y=/(x)有零點.

3、函數(shù)零點的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實數(shù)根；

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)丁=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利

用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ar2+bx+c(a0).

i)A>o,方程a?+bx+c=。有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與％軸有兩個交點，二次

函數(shù)有兩個零點.

2)△=0,方程ax?+bx+c=0有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交

點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

3)△<o,方程ax?+bx+c=0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點.

高中數(shù)學(xué)必修2知識點

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

(2).平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

3圓錐的表面積5=切”+42

2圓柱的表面積S=2m7+2m-2

4圓臺的表面積S="/+勿?？+成/+成25球的表面積5=4成2

(二)空間幾何體的體積

1。,

1柱體的體積V=S底X〃2錐體的體積V=3S底義h

3臺體的體積V=；(5卜+下+S1；)x〃4,

4球體的體積V=—就3

3

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫

成鄰邊的2倍長(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、8、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四

個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

符號表示為

AGL

BGL>LC

AGa

BGa

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,

使AWa、BEa、CGao

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

符號表示為：PeaA0=>anP=L,且PEL

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

而交直線：同?平面內(nèi)，有且只有一個公共點;

共面直線

印行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點：

異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a〃b}=>a〃c

c〃b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補

4注意點：

①a'與b’所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關(guān)，為簡便，點O一般取在兩直

線中的一條上；K

②兩條異面直線所成的角ee(0,)；,

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a_Lb；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點

(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aa來表示《

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

符號表示：

aaC

b3Q=>97^a

a〃b」

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

aU、

bC

aAb=P根Q

a〃a

b〃a

(1)用定義;

(2)判定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3—2.2.4直線與平面