中考數(shù)學(xué)證明題60例

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁中考數(shù)學(xué)證實題60例一、解答題（共60小題）1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證實四邊形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如圖1，銜接BD，AF，則BDAF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分離交邊AC，DE，DF于點G，H，N，銜接BH，GF，求證：BH=GF．3．（2015?鎮(zhèn)江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分離延伸OA，OC到點E，F(xiàn)，使AE=CF，依次銜接B，F(xiàn)，D，E各點．（1）求證：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，則當(dāng)∠EBA=°時，四邊形BFDE是正方形．4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G銜接DG．（1）求證：四邊形DEFG為菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，銜接DE，EB．（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；（2）已知圖中陰影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，銜接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，銜接AC交OP于點D．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PD=，AC=8，求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，銜接CE，求CE的長．8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分離在直線AD的兩側(cè)，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=時，四邊形BFCE是菱形．9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，銜接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分離為E，F(xiàn)．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）求證：四邊形BFDE為矩形．11．（2015?咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）證實：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分離交AC、AB于點E、F．（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長．13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分離交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．（1）求證：HF=AP；（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．（1）求證：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，銜接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD．求證：AD=CE．16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分離在邊CD、AB上．（1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P．求證：（1）AC?PD=AP?BC；（2）PE=PD．19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，銜接PO．（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留足跡，不寫作法），并證實：PC是⊙O的切線；（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，銜接MN交BD延伸線于點E．（1）求證：BD+2DE=BM．（2）如圖2，銜接BN交AD于點F，銜接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=．22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分離以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫?。O(shè)兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分離交于點E、F，銜接AD、BD、CD（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結(jié)果保留π）．23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，銜接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）倘若OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2．求證：四邊形ABCD是矩形．25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．（1）當(dāng)AB=2時，求△GEC的面積；（2）求證：AE=EF．26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形．27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）銜接OC，倘若OC恰好經(jīng)過弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上隨意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點．（1）求證：PN與⊙O相切；（2）倘若∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）當(dāng)OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上隨意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；（2）求證：直線BF是⊙O的切線；（3）當(dāng)點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么異常的四邊形？請在圖2中補(bǔ)全圖象并證實你的結(jié)論．31．（2015?內(nèi)江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，銜接DE，EC，DE交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）銜接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分離在AB，DC上，且ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD．（1）求證：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，銜接AD，BD．（1）求證：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（確切到0.01）34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE．（1）求證：∠A=∠AEB；（2）銜接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D．①求證：四邊形AFF′D是菱形．②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長．37．（2015?梅州）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：①以A為圓心，AB長為半徑畫弧；②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；③銜接BD，與AC交于點E，銜接AD，CD．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長．38．（2015?龍巖）如圖，E，F(xiàn)分離是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，若EF=EC，且EF⊥EC．（1）求證：AE=DC；（2）已知DC=，求BE的長．39．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，銜接AE，BE．（1）求證：AB=AC；（2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH．40．（2015?遼陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分離交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延伸線于點F．（1）求證：直線FG是⊙O的切線；（2）若AC=10，cosA=，求CG的長．41．（2015?連云港）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD舉行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E．（1）求證；∠EDB=∠EBD；（2）判斷AF與DB是否平行，并說明理由．42．（2015?萊蕪）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分離以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，銜接CG，BE，CD，BE與CD交于點F．（1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由．（2）求證：BE=CD，BE⊥CD．43．（2015?酒泉）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延伸線與BC的延伸線交于點F，連結(jié)CE，DF．（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①當(dāng)AE=cm時，四邊形CEDF是矩形；②當(dāng)AE=cm時，四邊形CEDF是菱形．（直接寫出答案，不需要說明理由）44．（2015?荊門）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延伸線上一點，且∠ODB=∠AEC．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）求證：CE2=EH?EA；（3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長．45．（2015?吉林）如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==??R=lR．通過看見，我們發(fā)現(xiàn)S扇形=lR類似于S三角形=×底×高．類比扇形，我們探索扇環(huán)（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環(huán)被扇形截得的一部分交作扇環(huán)）的面積公式及其應(yīng)用．（1）設(shè)扇環(huán)的面積為S扇環(huán)，的長為l1，的長為l2，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代數(shù)式表示S扇環(huán)，并證實；（2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環(huán)形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？46．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分離是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到△OC′D′．（1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分離為OA，OB的中點，證實：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如圖2，若△AOB為隨意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，預(yù)測∠AEB=θ是否成立？請說明理由．47．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，銜接AN，過點C的切線交AB的延伸線于點P．（1）求證：∠BCP=∠BAN（2）求證：=．48．（2015?湖北）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，銜接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE=CF；（2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時，求BD的長．49．（2015?葫蘆島）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延伸線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．（1）求證：AB與⊙O相切；（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？50．（2015?呼倫貝爾）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分離為邊AB、CD的中點，BD是對角線．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證實你的結(jié)論．51．（2015?呼倫貝爾）如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延伸線交直線l于點C．（1）求證：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半徑．52．（2015?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的長（結(jié)果保留根號）．53．（2015?賀州）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8．（1）求證：AF=EF；（2）求證：BF平分∠ABD．54．（2015?河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延伸BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，銜接PD、PO．（1）求證：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，則四邊形AOPD的最大面積為；②銜接OD，當(dāng)∠PBA的度數(shù)為時，四邊形BPDO是菱形．55．（2015?桂林）如圖，在?ABCD中，E、F分離是AB、CD的中點．（1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形；（2）對角線AC分離與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM．56．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延伸線相交于點M，銜接AC，CM．（1）若AB=4，求的長；（結(jié)果保留π）（2）求證：四邊形ABMC是菱形．57．（2015?甘南州）如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分離交于M，H．（1）求證：CF=CH；（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證實你的結(jié)論．58．（2015?東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延伸EF交邊BC于點G，銜接AG．（1）求證：△ABG≌△AFG；（2）求BG的長．59．（2015?大慶）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，P為BD上一點，∠APB=∠BAD．（1）證實：AB=CD；（2）證實：DP?BD=AD?BC；（2）證實：BD2=AB2+AD?BC．60．（2015?赤峰）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，銜接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求證：PB是的切線．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑．

2015年全國中考數(shù)學(xué)證實題60例參考答案與試題解析一、解答題（共60小題）1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證實四邊形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．考點：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照AAS證△AFE≌△DBE；（2）利用①中全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF=BD．結(jié)合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結(jié)論；（3）由直角三角形ABC與菱形有相同的高，按照等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結(jié)論．解答：（1）證實：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）證實：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，∴AD=DC=BC，∴四邊形ADCF是菱形；（3）解：設(shè)菱形DC邊上的高為h，∴RT△ABC斜邊BC邊上的高也為h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面積為：DC?h=×=10．點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，菱形的面積計算，主要考查學(xué)生的推理能力．2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF．（1）如圖1，銜接BD，AF，則BD=AF（填“＞”、“＜”或“=”）；（2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分離交邊AC，DE，DF于點G，H，N，銜接BH，GF，求證：BH=GF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠ACB的關(guān)系，按照平移的性質(zhì)，可得AC與DF的關(guān)系，按照全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；（2）按照相似三角形的判定與性質(zhì)，可得GM與HN的關(guān)系，BM與FN的關(guān)系，按照全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．解答：（1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB．由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB．在△ABF和△DFB中，，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案為：BD=AF；（2）證實：如圖：MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF．在△BMH和△FNG中，，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．3．（2015?鎮(zhèn)江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分離延伸OA，OC到點E，F(xiàn)，使AE=CF，依次銜接B，F(xiàn)，D，E各點．（1）求證：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，則當(dāng)∠EBA=20°時，四邊形BFDE是正方形．考點：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）由題意易證∠BAE=∠BCF，又因為BA=BC，AE=CF，于是可證△BAE≌△BCF；（2）由已知可得四邊形BFDE對角線互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．解答：（1）證實：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE與△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）；（2）∵四邊形BFDE對角線互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°．故答案為：20．點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定．本題關(guān)鍵是按照SAS證實△BAE≌△BCF．4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G銜接DG．（1）求證：四邊形DEFG為菱形；（2）若CD=8，CF=4，求的值．考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照折疊的性質(zhì)，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易證FG=FE，故由四邊相等證實四邊形DEFG為菱形；（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，從而求出的值．解答：（1）證實：由折疊的性質(zhì)可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四邊形DEFG為菱形；（2）解：設(shè)DE=x，按照折疊的性質(zhì)，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，F(xiàn)C2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=．點評：本題主要考查了折疊的性質(zhì)、菱形的判定以及勾股定理，熟知折疊的性質(zhì)和菱形的判定主意是解答此題的關(guān)鍵．5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，銜接DE，EB．（1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形；（2）已知圖中陰影部分面積為6π，求⊙O的半徑r．考點：切線的性質(zhì)；平行四邊形的判定；扇形面積的計算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）由∠BOD=60°E為的中點，得到，于是得到DE∥BC，按照CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可證得四邊形BCDE是平行四邊形；（2）銜接OE，由（1）知，，得到∠BOE=120°，按照扇形的面積公式列方程即可得到結(jié)論．解答：解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E為的中點，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形；（2）銜接OE，由（1）知，，∴∠BOE=120°，∵陰影部分面積為6π，∴=6π，∴r=6．點評：本題考查了切線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，扇形的面積公式，垂徑定理，證實是解題的關(guān)鍵．6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB．（1）求證：∠ABC=∠EDC；（2）求證：△ABC≌△EDC．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照四邊形的內(nèi)角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再按照鄰補(bǔ)角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，從而求出∠B=∠CDE；（2）按照“邊角邊”證實即可．解答：（1）證實：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）銜接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，按照四邊形的內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義，利用同角的補(bǔ)角相等求出夾角相等是證實三角形全等的關(guān)鍵，也是本題的難點．7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，銜接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，銜接AC交OP于點D．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）若PD=，AC=8，求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下，若點E是的中點，銜接CE，求CE的長．考點：切線的判定；扇形面積的計算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）銜接OC，證實△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證實結(jié)論；（2）證實△ADP∽△PDA，得到成比例線段求出BC的長，按照S陰=S⊙O﹣S△ABC求出答案；（3）銜接AE、BE，作BM⊥CE于M，分離求出CM和EM的長，求和得到答案．解答：（1）證實：如圖1，銜接OC，∵PA切⊙O于點A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切線；（2）解：由（1）得PA，PC都為圓的切線，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD?DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由題意知OD為△的中位線，∴BC=6，OD=6，AB=10．∴S陰=S⊙O﹣S△ABC=﹣24；（3）解：如圖2，銜接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵點E是的中點，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB?cos45°=5，∴EM==4，則CE=CM+EM=7．點評：本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、扇形面積的計算和相似三角形的判定和性質(zhì)，靈便運用切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑和切線的判定是解題的關(guān)鍵．8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分離在直線AD的兩側(cè)，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE=4時，四邊形BFCE是菱形．考點：平行四邊形的判定；菱形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易證得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四邊形BFCE是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，按照菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．解答：（1）證實：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF∴EC∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴當(dāng)BE=4時，四邊形BFCE是菱形，故答案為：4．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注重數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注重控制輔助線的作法．9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，銜接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行求出BC∥AD，再按照兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證實△BEC和△FCD全等，按照全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證實即可；（2）分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再按照矩形的對邊相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD=CD時，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．解答：（1）證實：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC與△FED中，，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是邊CD的中點，∴CE=DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形；（2）①BC=BD=3時，由勾股定理得，AB===2，所以，四邊形BDFC的面積=3×2=6；②BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四邊形BDFC的面積=3×=3；③BD=CD時，BC邊上的中線應(yīng)該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時不成立；綜上所述，四邊形BDFC的面積是6或3．點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）決定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）難點在于分情況研究．10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分離為E，F(xiàn)．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）求證：四邊形BFDE為矩形．考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）由DE與AB垂直，BF與CD垂直，得到一對直角相等，再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC，對角相等，利用AAS即可的值；（2）由平行四邊形的對邊平行得到DC與AB平行，得到∠CDE為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形即可的值．解答：證實：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS）；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，則四邊形BFDE為矩形．點評：此題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練控制矩形的判定主意是解本題的關(guān)鍵．11．（2015?咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）證實：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．考點：根的判別式；解一元二次方程-公式法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）求出方程根的判別式，利用配主意舉行變形，按照平方的非負(fù)性證實即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，按照題意求出m的值．解答：（1）證實：△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不論m為何值時，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程總有實數(shù)根；（2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有兩個不相等的正整數(shù)根，∴m=1或2，m=2不合題意，∴m=1．點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的應(yīng)用，控制一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0?方程沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分離交AC、AB于點E、F．（1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形．（2）若AC=6，AB=10，連結(jié)AD，求⊙O的半徑和AD的長．考點：切線的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）銜接OD、OE、ED．先證實△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證實四邊形AODE是菱形；（2）銜接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證實△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，進(jìn)而求出AD．解答：（1）證實：如圖1，銜接OD、OE、ED．∵BC與⊙O相切于一點D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE=AO=0D，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵OA=OD，∴四邊形AODE是菱形．（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r．∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=，∴⊙O的半徑為．如圖2，銜接OD、DF．∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC?AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3．點評：本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，是一個綜合題，難度中等．熟練控制相關(guān)圖形的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵．13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分離交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．（1）求證：HF=AP；（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）先按照EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．按照∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BP的長，按照EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再按照銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再按照EQ=EF﹣QF即可得出結(jié)論．解答：（1）證實：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM．在Rt△APB與Rt△HFE中，，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP；（2）解：由勾股定理得，BP===4．∵EF是BP的垂直平分線，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ?tan∠FBQ=BQ?tan∠ABP=2×=．由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=．點評：本題考查的是正方形的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E．（1）求證：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的長．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）連結(jié)AE，如圖，按照圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到BE=CE；（2）連結(jié)DE，如圖，證實△BED∽△BAC，然后利用相似比可計算出AB的長，從而得到AC的長．解答：（1）證實：連結(jié)AE，如圖，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）連結(jié)DE，如圖，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注重利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充足發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的普通主意是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和圓周角定理．15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，銜接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD．求證：AD=CE．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：作DG∥BC交AC于G，先證實△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再證實△ADG是等邊三角形，得出AD=GD，即可得出結(jié)論．解答：證實：作DG∥BC交AC于G，如圖所示：則∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等邊三角形，∴AD=GD，∴AD=CE．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練控制等邊三角形的判定與性質(zhì)，并能舉行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等．考點：全等三角形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：按照同角的余角相等可得到∠3=∠5，結(jié)合條件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可證得結(jié)論．解答：解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．點評：本題主要考查全等三角形的判定，控制全等三角形的判定主意是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分離在邊CD、AB上．（1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．考點：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）首先按照矩形的性質(zhì)可得AB平行且等于CD，然后按照DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可證實四邊形AFCE是平行四邊形；（2）按照四邊形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后設(shè)DE=x，表示出AE，CE的長度，按照相等求出x的值，繼而可求得菱形的邊長及周長．解答：解；（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形；（2）∵四邊形AFCE是菱形，∴AE=CE，設(shè)DE=x，則AE=，CE=8﹣x，則=8﹣x，解得：x=，則菱形的邊長為：8﹣=，周長為：4×=25，故菱形AFCE的周長為25．點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是則矩形對邊平行且相等的性質(zhì)以及菱形四條邊相等的性質(zhì)．18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結(jié)AC，與DE交于點P．求證：（1）AC?PD=AP?BC；（2）PE=PD．考點：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）首先按照AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再按照DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據(jù)此判斷出PE=PD即可．（2）首先按照△AEP∽△ABC，判斷出；然后按照PE=PD，可得，據(jù)此判斷出AC?PD=AP?BC即可．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．（2）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC?PD=AP?BC．點評：（1）此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練控制，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練控制．19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）延伸DE交AB于點G，銜接AD．構(gòu)建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），則由該全等三角形的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（2）設(shè)AC與FD交于點O．利用（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等，等角的補(bǔ)角相等以及三角形內(nèi)角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．解答：證實：（1）延伸DE交AB于點G，銜接AD．∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC．∵點E是AC的中點，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴BF=DE．∴在△AED與△DFB中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）設(shè)AC與FD交于點O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證實線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是挑選恰當(dāng)?shù)呐卸l件．20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，銜接PO．（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留足跡，不寫作法），并證實：PC是⊙O的切線；（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．考點：切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算；作圖—基本作圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照作一個角等于已知角的作圖主意作圖即可，銜接OA，作OB⊥PC，按照角平分線的性質(zhì)證實OA=OB即可證實PC是⊙O的切線；（2）首先證實△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進(jìn)而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可．解答：解：（1）作圖如右圖，銜接OA，過O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切線；（2）∵PA、PC是⊙O的切線，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°=∴OA=∴==．點評：本題考查了尺規(guī)作圖、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)以及弧長的計算，求出圓心角和半徑長是解決問題的關(guān)鍵．21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，銜接MN交BD延伸線于點E．（1）求證：BD+2DE=BM．（2）如圖2，銜接BN交AD于點F，銜接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG=．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，首先證實△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到結(jié)論；（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長．解答：（1）證實：過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形∴BP=BM∴BD+2DE=BM．（2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴設(shè)正方形邊長為a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=．故答案為：．點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，運用三角形相似求出正方形的邊長是解決第2小題的關(guān)鍵．22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分離以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫?。O(shè)兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分離交于點E、F，銜接AD、BD、CD（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結(jié)果保留π）．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；弧長的計算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照題意得出BD=CD=BC，由SSS證實△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=65°，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定義求出∠DBE=∠DCF=55°，然后按照弧長公式求出、的長度，即可得出結(jié)果．解答：（1）證實：按照題意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC為等邊三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的長度=的長度==；∴、的長度之和為+=．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長的計算；熟練控制全等三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)，并能舉行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，銜接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）倘若OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，按照平行四邊形的判定即可得到結(jié)論；（2）按照等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結(jié)論．解答：證實：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE=CD?DE．點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2．求證：四邊形ABCD是矩形．考點：矩形的判定；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：首先利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定該四邊形為平行四邊形，然后按照△ABE的面積得到囫圇四邊形的面積和AD的長，按照平行四邊形的面積計算主意得當(dāng)DA⊥AB即可判定矩形．解答：證實：作EF⊥AB于點F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B兩點縱坐標(biāo)相同，∴AB∥CD∥x軸，∴m﹣2=4，m=6，將B（6，n）代入直線y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面積是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F(xiàn)（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四邊形ABCD是矩形．點評：本題考查了矩形的判定，解題的關(guān)鍵是了解有一個角是直角的平行四邊形是矩形，難度不大．25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF．（1）當(dāng)AB=2時，求△GEC的面積；（2）求證：AE=EF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）首先按照△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，從而求得GC=即可求得S△GEC；（2）取AB的中點H，銜接EH，按照已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；解答：解：（1）∵AB=BC=2，點E為BC的中點，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=?EC?CG=×1×=；（2）證實：取AB的中點H，銜接EH；∵ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；點評：此題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解（2）題的關(guān)鍵是取AB的中點H，得出AH=EC，再按照全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形．考點：菱形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：首先按照平行四邊形的判定主意，判斷出四邊形ADCE是平行四邊形；然后判斷出AE=CE，即可判斷出四邊形ADCE是菱形，據(jù)此解答即可．解答：證實：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形．點評：此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練控制，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分離是兩條對角線所在直線．27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）銜接OC，倘若OC恰好經(jīng)過弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．考點：切線的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）由AB為⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可證得BC是⊙O的切線；（2）按照點O是AB的中點，點E時BD的中點可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結(jié)論．解答：（1）證實：∵AB為⊙O的直徑，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；（2）∵點O是AB的中點，點E時BD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3．點評：本題考查的是切線的判定，熟知經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關(guān)鍵．28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上隨意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點．（1）求證：PN與⊙O相切；（2）倘若∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長．考點：切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題；證實題．分析：（1）銜接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，利用AAS得到三角形PEO與三角形PFO全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到=OE，即可決定出PN與圓O相切；（2）在直角三角形POE中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE的長，∠EOB度數(shù)，利用弧長公式即可求出劣弧的長．解答：（1）證實：銜接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，∵PM與圓O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，則PN與圓O相切；（2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，則的長l==．點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，弧長公式，熟練控制切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）當(dāng)OB=3，PA=6時，求MB，MC的長．考點：切線的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照切線的性質(zhì)，可得∠MAP=90°，按照直角三角形的性質(zhì)，可得∠P+M=90°，按照余角的性質(zhì)，可得∠M+∠MOB=90°，按照直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，按照切線的判定，可得答案；（2）按照相似三角形的判定與性質(zhì)，可得==，按照解方程組，可得答案．解答：（1）證實：∵PA切⊙O于點A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°．∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB經(jīng)過直徑的外端點，∴PB是⊙O的切線；（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，=①，=②聯(lián)立①②得，解得，當(dāng)OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2．點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，（1）利用了切線的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)；（2）利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，解方程組．30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上隨意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑；（2）求證：直線BF是⊙O的切線；（3）當(dāng)點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么異常的四邊形？請在圖2中補(bǔ)全圖象并證實你的結(jié)論．考點：圓的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照垂徑定理求得PC，銜接OC，按照勾股定理求得即可；（2）求得△PBC∽△BFA，按照相似三角形對應(yīng)角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可證得結(jié)論；（3）通過證得AE=BF，AE∥BF，從而證得四邊形AEBF是平行四邊形．解答：（1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，銜接OC，設(shè)⊙O的半徑為r，則PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．（2）證實：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直線BF是⊙O的切線；（3）四邊形AEBF是平行四邊形；理由：解：如圖2所示：∵CD⊥AB，垂足為P，∴當(dāng)點P與點O重合時，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切線，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位線，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位線，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形．點評：本題考查了切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定等，熟練控制性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．31．（2015?內(nèi)江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，銜接DE，EC，DE交BC于點O．（1）求證：△ABD≌△BEC；（2）銜接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．考點：矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形BECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角形全等即可；（2）欲證實四邊形BECD是矩形，只需推知BC=ED．解答：證實：（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，則BE∥CD．又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD=EC．∴在△ABD與△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四邊形BECD為矩形．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點的綜合運用，難度較大．32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分離在AB，DC上，且ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD．（1）求證：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．考點：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質(zhì)得到一對角相等，利用ASA即可得證；（2）過D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EB=2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到EB=DF，等量代換即可得證．解答：證實：（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴FD=EB，∴DA=DF．點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練控制平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，銜接AD，BD．（1）求證：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（確切到0.01）考點：切線的性質(zhì)；解直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）銜接OD，利用切線的性質(zhì)和直徑的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系舉行證實即可；（2）按照三角函數(shù)舉行計算即可．解答：證實：（1）銜接OD，如圖，∵CD與半圓O相切于點D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半徑為．點評：此題考查切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是按照切線的性質(zhì)和直徑的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系舉行分析．34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE．（1）求證：∠A=∠AEB；（2）銜接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形．考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）按照圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，按照鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠DCE+∠BCD=180°，進(jìn)而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進(jìn)而可得∠A=∠AEB；（2）首先證實△DCE是等邊三角形，進(jìn)而可得∠AEB=60°，再按照∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進(jìn)而可得△ABE是等邊三角形．解答：證實：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形．點評：此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是控制圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)．35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證實題．分析：（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AF=BC，由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結(jié)論．解答：證實：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF與△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．點評：本題主要考查了全等三角形性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，運用等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為CA．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，