2024年江西新余市高三數(shù)學1月第一次調研考試卷附答案解析

年江西新余市高三數(shù)學1月第一次調研考試卷2024.01說明：1．本卷共有四個大題，22個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，在試題卷上作答不給分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知函數(shù)的定義域為集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足：，則（

）A．1 B． C． D．53．在中，“”是“為直角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．為慶祝我國第39個教師節(jié)，某校舉辦教師聯(lián)誼會，甲?乙兩名數(shù)學老師組成“幾何隊”參加“成語猜猜猜”比賽，每輪比賽由甲?乙兩人各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，則“幾何隊”在一輪比賽中至少猜對一個成語的概率為（

）A． B． C． D．5．如圖，（

）A． B． C． D．6．已知向量，，且，若，則在方向上的投影向量的坐標是（

）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列和的前n項和分別為，，若，則（

）．A． B． C． D．8．已知三棱錐的棱長均為6，其內有個小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個面和球都相切(，且)，則球的表面積等于(

)A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．某校1500名學生參加數(shù)學競賽，隨機抽取了40名學生的競賽成績（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）

A．頻率分布直方圖中a的值為0.005 B．估計這40名學生的競賽成績的第60百分位數(shù)為75C．估計這40名學生的競賽成績的眾數(shù)為80 D．估計總體中成績落在內的學生人數(shù)為22510．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)為上的偶函數(shù)C．函數(shù)為上的單調函數(shù) D．函數(shù)的圖像關于點對稱11．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則12．已知長方體的表面積為10，十二條棱長度之和為16，則該長方體（

）A．一定不是正方體B．外接球的表面積為C．長、寬、高的值均屬于區(qū)間D．體積的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若直線與圓相切，則實數(shù)．14．已知正實數(shù)x，y滿足方程，則的最小值為．15．杭州第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日舉辦，杭州亞運會競賽項目設置為40個大項，61個分項，481個小項，并增設電子競技、霹靂舞兩個競賽項目.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、電子競技、霹靂舞三個項目志愿服務，其中每個項目至少一名志愿者，甲必須在霹靂舞項目，則不同的志愿服務方案共有種（用數(shù)字作答）.16．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過點作傾斜角為的直線l與C的左、右兩支分別交于點P，Q，若，則C的離心率為．四、解答題：（本大題共6小題，17題10分，18～22題各12分，共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）17．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且．(1)求；(2)若為的中點，且，求的面積．18．如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面且．(1)證明：平面.(2)求平面與平面的夾角的大?。?9．在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線的距離.(1)求動點的軌跡方程；(2)記動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線交于兩點，，直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值.20．魔方，又叫魯比可方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的機械益智玩具．魔方擁有競速、盲擰、單擰等多種玩法，風靡程度經(jīng)久未衰，每年都會舉辦大小賽事，是最受歡迎的智力游戲之一．通常意義下的魔方，是指狹義的三階魔方．三階魔方形狀通常是正方體，由有彈性的硬塑料制成．常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內復原．廣義的魔方，指各類可以通過轉動打亂和復原的幾何體．魔方與華容道、法國的單身貴族（獨立鉆石棋）并稱為智力游戲界的三大不可思議．在2018WCA世界魔方蕪湖公開賽上，杜宇生以3.47秒的成績打破了三階魔方復原的世界紀錄，勇奪世界魔方運動的冠軍，并成為世界上第一個三階魔方速擰進入4秒的選手．(1)小王和小吳同學比賽三階魔方，已知小王每局比賽獲勝的概率均為，小吳每局比賽獲勝的概率均為，若采用三局兩勝制，兩人共進行了局比賽，求的分布列和數(shù)學期望；(2)小王和小吳同學比賽四階魔方，首局比賽小吳獲勝的概率為0.5，若小王本局勝利，則他贏得下一局比賽的概率為0.6，若小王本局失敗，則他贏得下一局比賽的概率為0.5，為了贏得比賽，小王應選擇“五局三勝制”還是“三局兩勝制”？21．已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，，且既是和的等差中項，又是其等比中項．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記，其中，求數(shù)列的前項和；(3)記，其前n項和為，若對恒成立，求的最小值．22．已知函數(shù)，且．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若，且存在三個零點，，．（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）設，求證：．1．D【分析】求函數(shù)定義域得集合A，解一元二次不等式得集合B，然后利用交集運算求解即可.【詳解】依題意可知，解得，所以集合，由，解得，所以，所以.故選：D2．A【分析】根據(jù)得出的表達式即可求出.【詳解】由，,得，所以．故選：A．3．D【分析】逐步分析條件，否定充分性，舉例子否定必要性即可.【詳解】在中，若，則，故，或，或，故充分性不成立，令，，不符合，故必要性不成立，故選：D4．B【分析】利用事件的相互獨立性求解.法一，所求事件轉化為互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用對立事件的概率和為，間接法可得.【詳解】設事件“甲猜對”，“乙猜對”，“幾何隊至少猜對一個成語”，所以，則.由題意知，事件相互獨立，則與，與，與也相互獨立，法一：，且兩兩互互斥，則.法二：事件的對立事件“幾何隊一個成語也沒有猜對”，即，則.故選：B.5．C【分析】利用兩角差的正切展開式求出，可得，再由兩角和的正弦展開式可得答案.【詳解】由圖可知，，，所以，因為第一象限角，所以可得，所以.故選：C.6．A【分析】根據(jù)垂直向量的坐標運算建立方程求得參數(shù)，結合投影的定義，可得答案.【詳解】，故，解得，所以，則在方向上的投影向量為.故選：A.7．C【分析】根據(jù)等差中項與等差數(shù)列前項和得出，，即可代入已知得出答案.【詳解】由等差數(shù)列的性質可得：，，則，即，，故選：C.8．D【分析】由正四面體的內切球的半徑是高的可求得的半徑，得其體積，把底面向上平移，平移到與內切球相切，這個平面以上的部分仍然是正四面體，而第二個球就是這個正四面體的內切球，此球半徑是第一個球半徑的一半，依次類推可得第個球．【詳解】如圖，是三棱錐的高，是的外心，設，則，，是三棱錐的外接球和內切球的球心，在上，設外接球半徑為，內切球半徑為，由得：，，所以，過中點作與底面平行的平面與三條棱交于點，則平面與球相切，由題意球是三棱錐的內切球，注意到三棱錐的棱長是三棱錐棱長的，所以其內切球半徑，同理球的半徑為，則是公比為的等比數(shù)列，所以，即，．故選：D【點睛】關鍵點點睛：四面體的內切球問題，掌握正四面體的性質是解題關鍵．實質上正四面體的高是，其外接球半徑是，內切球半徑是．9．AD【分析】先根據(jù)頻率之和為1可得，進而可求每組的頻率，再結合統(tǒng)計相關知識逐項分析判斷即可.【詳解】由，可得，故A正確；前三個矩形的面積和為，所以這名學生的競賽成績的第百分位數(shù)為，故B錯誤；由成績的頻率分布直方圖易知，這名學生的競賽成績的眾數(shù)為，故C錯誤；總體中成績落在內的學生人數(shù)為，故D正確.故選：AD10．ABD【分析】對于A，由可得，即可判斷；對于B，由函數(shù)為奇函數(shù)可得，從而可得，即可判斷；對于C，根據(jù)函數(shù)為上的偶函數(shù)可判斷；對于D，由，從而有即可判斷.【詳解】對于A，由可得，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，故A正確；對于B，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，則，所以函數(shù)為上的偶函數(shù)，故B正確；對于C，根據(jù)B的解析可知函數(shù)為上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上沒有單調性，故C錯誤；對于D，因為，且函數(shù)周期為，所以，即的圖像關于點對稱，故D正確.故選：ABD11．ABC【分析】A選項，，作出輔助線，得到三點共線，同理可得M為的重心；B選項，設內切圓半徑為，則，，，代入后得到；C選項，得到，作出輔助線，由面積關系得到線段比，設，，，則，，，結合三角函數(shù)得到，，進而求出正切值的比；D選項，設外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值.【詳解】A選項，因為，所以，取的中點，則，所以，故三點共線，且，同理，取中點，中點，可得三點共線，三點共線，所以M為的重心，A正確；B選項，若M為的內心，可設內切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點，又，，即，，即，，即，設，，，則，，，因為，，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項，若，，M為的外心，則，設的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯誤.故選：ABC【點睛】結論點睛：點為所在平面內的點，且，則點為的重心，點為所在平面內的點，且，則點為的垂心，點為所在平面內的點，且，則點為的外心，點為所在平面內的點，且，則點為的內心，12．ABD【分析】根據(jù)題意，設長方體的長寬高分別為，由即可判斷A，由即可判斷B，由不等關系代入計算即可判斷C，由，結合的范圍，利用導數(shù)即可判斷D.【詳解】設長方體的長寬高分別為，則可得，即，又因為，所以，由不等式可得，，當且僅當時，等號成立，而，取不到等號，所以得不到，即該長方體一定不是正方體，故A正確；設長方體外接球的半徑為，則，即，則外接球的表面積為，故B正確；由可得，，代入可得，，即，因為，由基本不等式可得，即，設，則，則，化簡可得，即，所以，即，又因為，則，同理可得，故C錯誤；設長方體的體積為，則，且，，即，其中，化簡可得，，，且，，令，則或，當時，，即單調遞減，當時，，即單調遞增，當時，，即單調遞減，所以，當時，有極小值，且，當時，有極大值，且，又因為,，所以，故D正確；故選：ABD【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了基本不等式的應用以及利用導數(shù)解決立體幾何中體積最值問題，難度較大，解決問題的關鍵在于將長方體的體積轉化為關于長方體長寬高的函數(shù)關系，然后利用導數(shù)知識求解.13．或【分析】利用幾何法列方程即可求解.【詳解】圓可化為.因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得：或7.故答案為：或14．【分析】通過構造函數(shù)，通過判斷其單調性得到，再利用基本不等式求最值.【詳解】令，明顯其在上單調遞增，又由得，即，所以，即，且，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故答案為：.15．50【分析】分霹靂舞項目只有1人、霹靂舞項目有2人、霹靂舞項目有3人三種情況討論，利用加法原理和排列組合分配即可求解.【詳解】①若霹靂舞項目只有1人，則乒乓球項目2人、電子競技項目2人或乒乓球項目1人、電子競技項目3人或乒乓球項目3人、電子競技項目1人，則不同的志愿服務方案有（種）；②若霹靂舞項目有2人，則乒乓球項目2人、電子競技項目1人或乒乓球項目1人、電子競技項目2人，則不同的志愿服務方案有（種）；③若霹靂舞項目有3人，則乒乓球項目1人、電子競技項目1人，則不同的志愿服務方案有（種）.綜上所述：不同的志愿服務方案共有（種）.故答案為：5016．【分析】由，的平分線與直線PQ垂直，結合圖像，根據(jù)雙曲線的定義，找出各邊的關系，列出等式，求解.【詳解】依題意，由，得，即的平分線與直線PQ垂直，如圖，設的平分線與直線PQ交于點D，則，，又，所以，所以，．由題得，，設，，，在中，，，則，，由雙曲線的性質可得，解得，則，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故答案為：17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，先利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式，進而化簡整理得到；（2）由的兩邊平方得，再利用余弦定理可得，從而利用三角形的面積公式可得答案.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得，化簡得．因為，，所以．因為，所以．（2）因為為的中點，所以，等式兩邊平方得，即①．在中，由余弦定理得②，聯(lián)立①②解得，所以．18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，利用面面垂直、線面垂直，以及線段長度求證線面垂直即可.（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，進而求出其夾角大小即可.【詳解】（1）取中點，連接都是邊長為2的正三角形，，，又，面，面，面，又平面平面，面且又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面（2）由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系由于軸垂直面∴平面的法向量為又，，，設平面的法向量，則，令，則，，所以∴平面與平面的夾角為19．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)拋物線定義及焦準距即得動點的軌跡方程；（2）先設出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后整理成一元二次方程，得出韋達定理，再利用斜率定義，得到的表達式，整理成的對稱式，代入韋達定理即得定值.【詳解】（1）因動點到點的距離等于點到直線的距離，故可知動點的軌跡是拋物線，設其方程為，由題意得，故動點的軌跡方程為：（2）如圖，因直線的斜率不能為零（否則直線與拋物線只有一個公共點），又過點，可設由消去并整理得：，顯然設，則由韋達定理，（*）則，將（*）代入得：,故為定值.20．(1)分布列見解析；(2)小王應選擇“五局三勝制”【分析】（1）依題意得到的可能取值，再利用獨立事件與互斥事件的概率公式求得其對應的概率，從而得解；（2）分類討論小王不同選擇下對應的獲勝概率，從而得解.【詳解】（1）因為采用三局兩勝制，所以的可能取值為，表示小王或小吳連勝兩局；表示小王與小吳前兩局一勝一負；所以，，所以的分布列為：則的數(shù)學期望為.（2）若小王選擇“三局兩勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝；勝負勝；負勝勝；則小王獲勝的概率為；若小王選擇“五局三勝制”，則小王獲勝的情況為：勝勝勝；勝勝負勝；勝負勝勝；負勝勝勝；勝勝負負勝；勝負勝負勝；勝負負勝勝；負負勝勝勝；負勝負勝勝；負勝勝負勝；則小王獲勝的概率為，因為，所以小王應選擇“五局三勝制”.21．(1)，；(2)(3)【分析】（1）由已知條件，列方程組求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，可得數(shù)列的通項；（2）根據(jù)數(shù)列的特征，運用分組求和法求前項和；（3）利用函數(shù)思想，求出A的最大值和B的最小值，可得的最小值．【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，，，所以，解得，，既是和的等差中項，又是其等比中項，得，，解得，即，所以，．（2）∵，∴．又∵，∵

①∴

②①減②得：∴，∴．（3），