專題09 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（練習(xí)）（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測（新教材新高考）

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】專題09數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用目錄01等差、等比數(shù)列的基本量問題 102證明等差等比數(shù)列 403等差等比數(shù)列的交匯問題 704數(shù)列的通項(xiàng)公式 1105數(shù)列求和 1706數(shù)列性質(zhì)的綜合問題 3007實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題 3708以數(shù)列為載體的情境題 4109數(shù)列的遞推問題 4401等差、等比數(shù)列的基本量問題1．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，記，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A項(xiàng)，由已知可得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，由已知可得，，，故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，由已知可得，，，即，所以.故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，是?為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，.故D正確.故選：D.2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中學(xué)校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．29 B．31 C．33 D．36【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，，所以，即，則.又因?yàn)椋视?所以，則，所有，所有，故B項(xiàng)正確.故選：B.3．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且滿足，，成等比數(shù)列，則等于（

）A．或 B． C． D．2【答案】C【解析】由已知可得，設(shè)的公差為，且，即，故.故選：C4．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，已知，，則（

）A． B．42 C． D．【答案】C【解析】設(shè)的公比為，則，解得，所以，解得，所以.故選：C.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．63 B．72 C．135 D．144【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則．由，得，解得．又因?yàn)?，所以，所以．故選：C．6．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列對任意滿足，則（

）A．3032 B．3035 C．3038 D．3041【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，兩式相減得：，令得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.02證明等差等比數(shù)列7．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由可得，易知；兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，即，由等差數(shù)列定義可得是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，即，可得，顯然時(shí)，符合上式，即的通項(xiàng)公式為；8．（2023·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)校考期中）已知數(shù)列、的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對任意，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式．【解析】（1）因?yàn)椤?、成等差?shù)列，、、成等比數(shù)列，所以①，②，又?jǐn)?shù)列、的各項(xiàng)均為正數(shù)，則由②可得③，將③代入①，得對任意，有，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）設(shè)數(shù)列的公差為，由，得，，所以，由已知，當(dāng)時(shí)，，而也滿足此式，所以，.9．（2023·福建廈門·高三廈門外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知(1)求，并證明：是等比數(shù)列；(2)求滿足的所有正整數(shù).【解析】（1）由可得，所以，可得；由已知得，所以，其中，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知，所以，所以，所以，由二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，其中，所以滿足的所有正整數(shù)為1，2.10．（2023·山東日照·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.(1)若，求的值；(2)若，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.【解析】（1）中令得：，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以，因?yàn)椋裕矗獾茫?；?），即，所以，，，……，，以上式子相乘得：，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，故?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，，所以，所以，，故，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和.03等差等比數(shù)列的交匯問題11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，成等差數(shù)列，則．【答案】【解析】由題意得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以是首?xiàng)為6，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．故答案為：.12．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．且，是公差為的等差數(shù)列，則．【答案】【解析】，則，∵是公差為的等差數(shù)列，∴，則，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，∴數(shù)列自第二項(xiàng)起構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，可得．故答案為：．13．（2023?甲卷）記為數(shù)列的前項(xiàng)和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，，成等比數(shù)列，求的最小值．【解析】（1）證明：由已知有：①，把換成，②，②①可得：，整理得：，由等差數(shù)列定義有為等差數(shù)列；（2）由已知有，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，由（1）有其公差為1，故，解得，故，所以，故可得：，，，故在或者時(shí)取最小值，，故的最小值為．14．（2023?乙卷）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前項(xiàng)和．證明：．【解析】（1），，成等差數(shù)列，，是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，，．（2）證明：由（1）知，，，，①，②①②得，，，，．15．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，設(shè)，若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，.若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則，記，則有，化簡得，這與矛盾，故此時(shí)不存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.當(dāng)時(shí)，(其中).因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，對任意，恒有(為常數(shù)且)，即，所以，所以對任意正整數(shù)恒成立，所以解得或(舍)，所以數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，.故答案為：04數(shù)列的通項(xiàng)公式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】依題，記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)或3；由定理3知：，，∴，又，所以，……，，，∴．又，令，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．∴．由，得．∴．17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】依題，記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)；由定理2知：，；兩式相除得到，∴是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，∴，從而．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知：，時(shí)，，求的通項(xiàng)公式．【解析】設(shè)，所以，∴，解得：，又，∴是以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴．19．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，.20．（2023·江西·高一統(tǒng)考期中）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，且成等差數(shù)列．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）因?yàn)?，所以令得：，即：①，令得：，即：②，又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即③，將③代入①②可得，即由①②③得：，，故的值為1.（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，兩式作差可得：，所以，，由（1）知，，所以，即：，，將代入得：，符合，綜上，.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】由于且，，故數(shù)列發(fā)生函數(shù)為于是數(shù)列的通項(xiàng)為：，.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求.【解析】因?yàn)樗詢蛇呁瑫r(shí)加上得：，所以，當(dāng)時(shí)，故，故，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.于是23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，，，求{an}的通項(xiàng).【解析】∵……①∴……②②-①得：……③∵{an}的特征函數(shù)為：，由x=1.設(shè)，……④將④代入③得：，∴，∵，∴，∴.24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】令，整理得，故或，由可得，令并將代入，可得，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，整理得.25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，求的通項(xiàng)公式．【解析】由題意，，所以，則，而，故是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．于是．26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】，，兩邊取倒數(shù)得到，令，則，當(dāng)時(shí)，，，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．，，．當(dāng)時(shí)，，則，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．，，，，，27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】令．先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，解得．將不動(dòng)點(diǎn)代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．∴的通項(xiàng)公式為．將代入，得．∴．28．（2023·廣東江門·高三江門市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列中，，且，則等于.【解析】由題意可知：，顯然有，由累乘法可得.故答案為：29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，求【解析】法1：已知，所以，則是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故，則，得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，，，，累加可得，，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，綜上，；法2：由特征根方程得，，，所以，其中，解得，，.05數(shù)列求和30．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，①，②，①－②得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴.（2）∵，∴∴①，②，又∵∴①＋②得：∴.31．（2023·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比不為0的等比數(shù)列，，，，．(1)求，；(2)設(shè)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，依題意有，解得，故，.（2），，①，②①-②得，即.（3），所以，即.32．（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，且是關(guān)于的方程的根.其中為常數(shù).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求使的的最大值.【解析】（1）因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的根，所以.又因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，公比.所以，解得：或（負(fù)值舍去），故：（2）由（1）得：，所以：，所以：因?yàn)?，所以，解得：（），故：的最大值?8.33．（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【解析】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，顯然，滿足上式，所以.（2）因?yàn)?，所?34．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前99項(xiàng)和為，求.【解析】（1）因?yàn)?，所以，，累加得，所?（2）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列.故.35．（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的前頂和為.且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，可得：；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得：，即，所以：.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以：，時(shí)，，上式也成立.所以：，36．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由可得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差為2，又由，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，可得，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為4，又由，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，綜上可得，.37．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列滿足．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以,所以.當(dāng)時(shí)，，上式也成立.所以.（2）由（1）知，所以.令，所以，又，所以.所以是遞增數(shù)列，所以，所以.38．（2023·黑龍江大慶·高三校考階段練習(xí)）為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.【解析】（1）由可得，兩式做差得，即，因?yàn)?，所以，時(shí)，或（舍去）所以是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）知，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，，因?yàn)榍覇握{(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所以，所以得證.39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，設(shè)的前項(xiàng)積為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【解析】（1）由題意知，為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的積，且，當(dāng)時(shí)，，所以，解得；又①，②，②÷①得，，即，所以，即，所以，則，結(jié)合，可知數(shù)列是常數(shù)列，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，則，又，所以，所以．40．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎獢?shù)列和滿足：，，，，其中．(1)求證：；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）證明：因?yàn)棰伲?，①②可得，且，所以，?shù)列為常數(shù)列，且③，①②可得，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，所以，④，③④可得，則，所以，.（2）由（1）可知，，則.41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求證：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；(2)求的值．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，即函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.（2）由（1）知與首尾兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等，使用倒序相加求和.因?yàn)椋裕ǖ剐颍?，又由?）得，所以，所以.42．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）證明：因?yàn)椋?又，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為4，公比為2.（2）由（1）知，即，則.，，則，所以.43．（2023·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使得的最小正整數(shù).【解析】（1）因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，②①-②得，即，則，而，所以數(shù)列構(gòu)成以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，所以.（2），，的前項(xiàng)和的前項(xiàng)和單調(diào)遞增且，所以使得最小正整數(shù)為4.44．（2023·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即．所以，所以，又因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．（2）由（1）知，，可得，所以．45．（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數(shù)列，，記，為，的前項(xiàng)和，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，為的前項(xiàng)和，，，則，即，解得，故；（2）證明：由（1）可知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，，故原式得證．46．（2023?新高考Ⅰ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【解析】（1）已知，是公差為的等差數(shù)列，所以，整理得，①，故當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，故，化簡得：，，，，；所以，故（首項(xiàng)符合通項(xiàng)）．所以．證明：（2）由于，所以，所以．06數(shù)列性質(zhì)的綜合問題47．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單調(diào)遞增的數(shù)列滿足、、成等比數(shù)列，、、成等差數(shù)列，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，設(shè)等比數(shù)列、、的公比為，推導(dǎo)出，然后分和兩種情況討論，分別得出和，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求得的取值范圍.設(shè)等差數(shù)列、、的公差為，則，，且，設(shè)等比數(shù)列、、的公比為，則，，且，.由題意可得，即，由不等式的基本性質(zhì)可得，.①當(dāng)時(shí)，則，可得，，即，此時(shí)，，由可得，又，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，則，可得，，即，此時(shí)，由可得，，則，此時(shí).綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.48．（2023·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列滿足，，若對于任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋院愠闪?，即恒成?因?yàn)?，所?因?yàn)楹愠闪?，整理得恒成?因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，由，得在上有解，故的取值范圍是.故選：C49．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）設(shè)是公差為2的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，可得，則，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，可得對恒成立，即對恒成立，令，則，令，可得在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，即的取值范圍為.故選：A.50．（2023·陜西榆林·高三校考期中）已知數(shù)列滿足，若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】據(jù)題設(shè)知，對一切恒成立，所以對一切恒成立，即對一切恒成立．又當(dāng)時(shí)，，所以，所以所求實(shí)數(shù)k的取值范圍是．故選:．51．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意的，均有成立，則的值的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和中的最小值，必有，公差，若，此時(shí)，，是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和中的最小值，此時(shí)，即，則；若，，此時(shí)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和中的最小值，此時(shí)，，即，則，綜上可得：的取值范圍是，故選:B．52．（2023·陜西榆林·高三?？计谥校┮阎獢?shù)列中，其前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.因?yàn)?，則（常數(shù)），又，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即對恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，即，所以，令，則，因?yàn)椋?，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，則的最小值為，則所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，則，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以的最小值為，所以，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.53．（2023·陜西西安·高三?？茧A段練習(xí)）首項(xiàng)為的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槭醉?xiàng)為的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起開始為正數(shù)，所以，即，解得，故選：C54．（2023·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）設(shè)三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c組成等比數(shù)列，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對【答案】B【解析】設(shè)，則，則，由題設(shè)有，故，因比的取值范圍是．故選：B.55．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)?？计谥校┰O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，則有對任意成立，又，則，故，且則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，由得，，分離參數(shù)得，，令則令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；由，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒有，又，故的最小值為.若存在，使得成立，則，則有，即實(shí)數(shù)的最小值為.故選：D.56．（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列通項(xiàng)公式為，若對任意，都有則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，由，得，即，∵且，，∴，解得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，若對任意，都有，則且，即且，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.07實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校聯(lián)考期中）某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（

）（單位：萬元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3【答案】C【解析】由題意，2023年存的2萬元共存了10年，本息和為萬元，2024年存的2萬元共存了9年，本息和為萬元，2032年存的2萬元共存了1年，本息和為萬元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)約為萬元，故選：C.58．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）小李年初向銀行貸款萬元用于購房，購房貸款的年利率為，按復(fù)利計(jì)算，并從借款后次年年初開始?xì)w還，分次等額還清，每年次，問每年應(yīng)還（）萬元.A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)每年應(yīng)還萬元，則有，得，解得．故選：B．59．（2023·江西吉安·高三吉安三中?？茧A段練習(xí)）某公司有10名股東，其中任何六名股東所持股份之和不少于總股份的一半，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．公司持股最少的5位股東所持股份之和可以等于總股份的B．公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的C．公司持股最大的股東所持股份不超過總股份的D．公司持股較多的2位股東所持股份之和可以超過總股份的【答案】D【解析】不妨設(shè)10名股東所持股份為，總股份為1，∵，，的最小值為，若，此時(shí)，又因?yàn)?，此時(shí)，A正確；由于，且，故公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的，B正確；因?yàn)椋?，∴，C正確；因?yàn)椋?，又，所以，D錯(cuò)誤，故選：D．60．（2023·河南·高二校聯(lián)考期末）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，二十大報(bào)告提出：尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的內(nèi)在要求．必須牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展．某市為了改善當(dāng)?shù)厣鷳B(tài)環(huán)境，計(jì)劃通過五年時(shí)間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風(fēng)光帶，預(yù)計(jì)第一年投入資金81萬元，以后每年投入資金是上一年的倍；第一年的旅游收入為20萬元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（

）．A．781萬元，60萬元 B．525萬元，200萬元C．781萬元，200萬元 D．1122萬元，270萬元【答案】C【解析】由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項(xiàng)為81，公比為，項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列，所以這五年投入的資金總額是（萬元）．由題意知這五年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20，公差為10，項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，所以這五年的旅游收入總額是（萬元）．故選：C．61．（2023·山東·高二山東師范大學(xué)附中?？计谀┤鐖D甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】由，可得，，，，所以，所以，所以前項(xiàng)和，所以，故選：C.62．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）核電站只需消耗很少的核燃料，就可以產(chǎn)生大量的電能，每千瓦時(shí)電能的成本比火電站要低20%以上.核電無污染，幾乎是零排放，對于環(huán)境壓力較大的中國來說，符合能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展方向，2021年10月26日，國務(wù)院發(fā)布《2030年前碳達(dá)峰行動(dòng)方案》，提出要積極安全有序發(fā)展核電.但核電造福人類時(shí)，核電站的核泄漏核污染也時(shí)時(shí)威脅著人類，如2011年，日本大地震導(dǎo)致福島第一核電站發(fā)生爆炸，核泄漏導(dǎo)致事故所在地被嚴(yán)重污染，主要的核污染物是鍶90，它每年的衰減率為2.47%.專家估計(jì)，要基本消除這次核事故對自然環(huán)境的影響至少需要800年，到那時(shí)，原有的鍶90大約剩（

）（參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)一開始鍶90質(zhì)量為1，則每年的剩余量構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則經(jīng)過800年鍶90剩余質(zhì)量為，兩邊取常用對數(shù)可得：，所以，故選：B08以數(shù)列為載體的情境題63．（2023·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）若項(xiàng)數(shù)為n的數(shù)列，滿足：，我們稱其為n項(xiàng)的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對稱數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最小項(xiàng)等于，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為．【答案】5或4【解析】由于，是公差為的等差數(shù)列，故，單調(diào)遞減，所以，故，則，．又，故，即，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有，化簡得，解得或．故答案為：5或4．64．（2023·上?！じ呷虾Ｖ袑W(xué)?？计谥校┙o定一張的數(shù)表（如下表），0123n統(tǒng)計(jì)，，，中各數(shù)出現(xiàn)次數(shù)．若對任意，1，，n，均滿足數(shù)k恰好出現(xiàn)次，則稱之為階自指表，舉例來說，下表是一張4階自指表．01231210對于如下的一張7階自指表．記，N的所有可能值為．0123456【答案】3211000【解析】由題意可得，7階自指表為:0123456此時(shí)，，，，，所以.故答案為：.65．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于數(shù)列，由作通項(xiàng)得到的數(shù)列，稱為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列，已知數(shù)列為數(shù)列的差分?jǐn)?shù)列，且是以1為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列，則．【答案】65【解析】由題意得，累加得，即，則．故答案為：65.66．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)），為一個(gè)有序?qū)崝?shù)組，表示把A中每個(gè)-1都變?yōu)椋?，每個(gè)0都變?yōu)椋?，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，例如：，則．定義，，若，中有項(xiàng)為1，則的前項(xiàng)和為．【答案】【解析】因?yàn)?，依題意得，，，顯然，中有2項(xiàng)，其中1項(xiàng)為，1項(xiàng)為1，中有4項(xiàng)，其中1項(xiàng)為，1項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，中有8項(xiàng)，其中3項(xiàng)為，3項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，由此可得中共有項(xiàng)，其中1和的項(xiàng)數(shù)相同，設(shè)中有項(xiàng)為0，所以，，從而①，因?yàn)楸硎景袮中每個(gè)都變?yōu)椋?，每個(gè)0都變?yōu)椋?，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，則②，①+②得，③，所以④，④-③得，，所以當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)符合，所以（為奇數(shù)），當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則為奇數(shù)，又因?yàn)椋?，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以的前項(xiàng)和為.故答案為：.67．（2023·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項(xiàng)的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列為項(xiàng)的“對稱數(shù)列”；數(shù)列為項(xiàng)的“對稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對稱數(shù)列”，其中是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．【答案】3或4【解析】由題意，，又是公差為的等差數(shù)列，故，則，.又，故，即，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有，化簡得，解得或.故答案為：3或409數(shù)列的遞推問題68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．規(guī)則：1．每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．請你試著推測：把n個(gè)金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動(dòng)次？【答案】【解析】設(shè)把個(gè)金屬片從1號針移到3號針，最少需要移動(dòng)次.則把n個(gè)金屬片從1號針移到3號針，最少