模型39 數(shù)軸上動點問題（學(xué)生用）

PAGE11．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．?（4）數(shù)軸上兩點間的距離公式：AB=XB-XA(即：右端點減左端點）?（5）數(shù)軸上中點數(shù)公式：XM

例題精講例題精講【例1】.如圖，點A在數(shù)軸上表示的數(shù)為﹣3，點B表示的數(shù)為2，點P在數(shù)軸上表示的是整數(shù)，點P不與A、B重合，且PA+PB＝5，則滿足條件的P點表示的整數(shù)有___________.變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，點O為原點，A、B為數(shù)軸上兩點，AB＝15，且OA＝2OB，點P從點B開始以每秒4個單位的速度向右運動，當(dāng)點P開始運動時，點A、B分別以每秒5個單位和每秒2個單位的速度同時向右運動，設(shè)運動時間為t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段時間內(nèi)不隨著t的變化而變化，則m＝．【變式1-2】．已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，M、N、P為數(shù)軸上三個動點，點M從A點出發(fā)，速度為每秒2個單位，點N從點B出發(fā)，速度為M點的3倍，點P從原點出發(fā)，速度為每秒1個單位．（1）若點M向右運動，同時點N向左運動，求多長時間點M與點N相距46個單位？（2）若點M、N、P同時都向右運動，求多長時間點P到點M，N的距離相等？（3）當(dāng)時間t滿足t1＜t≤t2時，M、N兩點之間，N、P兩點之間，M、P兩點之間分別有47個、37個、10個整數(shù)點，請直接寫出t1，t2的值．【例2】．如圖，周長為6個單位長度的圓上的六等分點分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，點A落在2的位置，將圓在數(shù)軸上沿負方向滾動，那么落在數(shù)軸上﹣2023的點是．變式訓(xùn)練【變式2-1】．在數(shù)軸上，點A，O，B分別表示﹣15，0，9，點P，Q分別從點A，B同時開始沿數(shù)軸正方向運動，點P的速度是每秒4個單位，點Q的速度是每秒1個單位，運動時間為t秒．若點P，Q，O三點在運動過程中，其中一個點恰好是另外兩點為端點的線段的一個中點，則運動時間為秒．【變式2-2】．如圖：在數(shù)軸上A點表示數(shù)﹣3，B點示數(shù)1，C點表示數(shù)9．（1）若將數(shù)軸折疊，使得A點與C點重合，則點B與數(shù)表示的點重合；（2）若點A、點B和點C分別以每秒2個單位、1個單位長度和4個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向左運動．①若t秒鐘過后，A，B，C三點中恰有一點為另外兩點的中點，求t值；②當(dāng)點C在B點右側(cè)時，是否存在常數(shù)m，使mBC﹣2AB的值為定值，若存在，求m的值，若不存在，請說明理由．1．如圖，將一刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分別對應(yīng)數(shù)軸上的是﹣3和x所表示的點，那么x等于（）A．5 B．6 C．7 D．82．等邊△ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、C對應(yīng)的數(shù)分別為0和﹣1，若△ABC繞頂點沿順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點B所對應(yīng)的數(shù)為1，則連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次后，點B（）A．對應(yīng)的數(shù)是2019 B．對應(yīng)的數(shù)是2020 C．對應(yīng)的數(shù)是2021 D．不對應(yīng)任何數(shù)3．在解決數(shù)學(xué)實際問題時，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：|x+1|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)﹣1的點的距離，|x﹣2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)2的點的距離．結(jié)合以上知識，下列說法中正確的個數(shù)是（）①若|x﹣2022|＝1，則x＝2021或2023；②若|x﹣1|＝|x+3|，則x＝﹣1；③若x＞y，則|x﹣2|＞|y﹣2|；④關(guān)于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有無數(shù)個解．A．1 B．2 C．3 D．44．?dāng)?shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣3，把點A向右移動5個單位，再向左移動7個單位到A′，則A′表示的數(shù)是．5．?dāng)?shù)軸上點A表示﹣8，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點O和點B，C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負方向向終點A運動．其中一點到達終點時，兩點都停止運動．設(shè)運動的時間為t秒，t時，M、N兩點相遇（結(jié)果化為小數(shù)）．6．如圖，在一條不完整的數(shù)軸上，從左到右的點A、B、C把數(shù)軸分成①②③④四部分，點A、B、C對應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c，且ab＜0．（1）原點在第部分（填序號）；（2）化簡式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求點B表示的數(shù)．7．已知b是最小的正整數(shù)，且（c﹣5）2與|a+b|互為相反數(shù)．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）若P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，點P在0和2表示的點之間運動，即0≤x≤2時，化簡：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（請寫出化簡過程）；（3）如圖，a，b，c在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為A，B，C，在（1）的條件下，若點A以1個單位長度/s的速度向左運動，同時，點B和點C分別以2個單位長度/s和5個單位長度/s的速度向右運動．ts后，若點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點B之間的距離表示為AB．請問：BC﹣AB的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．8．?dāng)?shù)軸上有A、B、C三點，如圖1，點A、B表示的數(shù)分別為m、n（m＜n），點C在點B的右側(cè)，AC﹣AB＝2．（1）若m＝﹣8，n＝2，點D是AC的中點．①則點D表示的數(shù)為﹣2．②如圖2，線段EF＝a（E在F的左側(cè)，a＞0），線段EF從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向B點運動（點F不與B點重合），點M是EC的中點，N是BF的中點，在EF運動過程中，MN的長度始終為1，求a的值；（2）若n﹣m＞2，點D是AC的中點，若AD+3BD＝4，試求線段AB的長．9．如圖，數(shù)軸上點A，B分別表示數(shù)a，b，其中a＜0，b＞0．（1）若a＝﹣7，b＝3，求線段AB的長度及線段AB的中點C表示的數(shù)c；（2）該數(shù)軸上有另一點D表示數(shù)d．①若d＝2，點D在點B的左側(cè)，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出該值；若不能，說明理由．10．先閱讀，后探究相關(guān)的問題【閱讀】|5﹣2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5與﹣2的差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點之間的距離．（1）如圖，先在數(shù)軸上畫出表示點4.5的相反數(shù)的點B，再把點A向左移動1.5個單位，得到點C，則點B和點C表示的數(shù)分別為和，B，C兩點間的距離是；（2）若點A表示的整數(shù)為x，則當(dāng)x為﹣2時，|x+6|與|x﹣2|的值相等；（3）要使代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是．11．如圖，已知點O為數(shù)軸的原點，點A、B、C、D在數(shù)軸上，其中A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為﹣1、3．（1）填空：線段AB的長度AB＝；（2）若點A是BC的中點，點D在點A的右側(cè)，且OD＝AC，點P在線段CD上運動．問：該數(shù)軸上是否存在一條線段，當(dāng)P點在這條線段上運動時，PA+PB的值隨著點P的運動而沒有發(fā)生變化？（3）若點P以1個單位/秒的速度從點O向右運動，同時點E從點A以5個單位/秒的速度向左運動、點F從點B以20個單位/秒的速度向右運動，M、N分點別是PE、OF的中點．點P、E、F的運動過程中，的值是否發(fā)生變化？請說明理由．12．如圖，在數(shù)軸上，點O表示原點，點A表示的數(shù)為﹣1，對于數(shù)軸上任意一點P（不與點A點O重合），線段PO與線段PA的長度之比記作k（p），即，我們稱k（p）為點P的特征值，例如：點P表示的數(shù)為1，因為PO＝1，PA＝2，所以．（1）當(dāng)點P為AO的中點時，則k（p）＝；（2）若k（p）＝2，求點P表示的數(shù)；（3）若點P表示的數(shù)為p，且滿足p＝2n﹣1，（其中n為正整數(shù)，且1≤n≤7），求所有滿足條件的k（p）的和．13．把一根小木排放在數(shù)軸上，木棒左端點與點A重合，右端點與點B重合，數(shù)軸的單位長度為1cm，如圖所示．（1）若將木棒沿數(shù)軸向右移動，當(dāng)木棒的左端點移動到點B處時、它的右端點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為20；若將木棒沿數(shù)軸向左移動時，當(dāng)它的右端點移動到點A處時，木棒左端點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為5，由此可得木棒的長為5cm；我們把這個模型記為“木捧摸型”；（2）在（1）的條件下，已知點C表示的數(shù)為﹣2．若木棒在移動過程中，當(dāng)木棒的左端點與點C相距3cm時，求木棒的右端點與點A的距離；（3）請根據(jù)（1）的“木棒模型”解決下列問題．某一天，小字問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在那么大，你還要41年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就有124歲了，世界級老壽星了，哈哈！”請你畫出“木棒模型”示意圖，求出爺爺現(xiàn)在的年齡．14．對于數(shù)軸上的A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點是其它兩個點的“聯(lián)盟點”．例如：數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“聯(lián)盟點”．（1）若點A表示數(shù)﹣1，點B表示的數(shù)2，下列各數(shù)：，0，1，4，5所對應(yīng)的點分別為C1，C2，C3，C4，C5，其中是點A，B的“聯(lián)盟點”的是；（2）點A表示的數(shù)是﹣1，點B表示的數(shù)是3，P是數(shù)軸上的一個動點：①若點P在線段AB上，且點P是點A，B的“聯(lián)盟點”，求此時點P表示的數(shù)；②若點P在點A的左側(cè)，點P、A、B中有一個點恰好是其它兩個點的“聯(lián)盟點”，求出此時點P表示的數(shù)．15．如圖，點A，O，B，D在同一條直線l上，點B在點A的右側(cè)，AB＝6，OB＝2，點C是AB的中點，如圖畫數(shù)軸．（1）若點O是數(shù)軸的原點，則點B表示的數(shù)是，點C表示的數(shù)是；（2）若點O是數(shù)軸的原點時，D點表示的數(shù)為x，且AD＝5，求x；（3）若點D是數(shù)軸的原點，點D在點A的左側(cè)，點A表示的數(shù)為m，且A，B，C，O所表示的數(shù)之和等于21，求m；（4）當(dāng)O是數(shù)軸的原點，動點E，F(xiàn)分別從A，B出發(fā)，相向而行，點E的運動速度是每秒2個單位長度，點F的運動速度是每秒1個單位長度，當(dāng)EF＝3時，求點A，B，E，F(xiàn)表示的數(shù)之和．16．如圖，在數(shù)軸上點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，點C表示數(shù)c，a，c滿足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的負整數(shù)．（1）a＝，b＝，c＝．（2）若將數(shù)軸折疊，使得點A與點C重合，則點B與數(shù)表示的點重合；（3）點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A和點B分別以每秒0.4個單位長度和0.3個單位長度的速度向左運動，同時點C以每秒0.2個單位長度的速度向左運動，點C到達原點后立即以原速度向右運動，運動時間為t秒，若點A與點B之間的距離表示為AB，點B與點C之間的距離表示為BC，請問：5AB﹣BC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出5AB﹣BC的值．17．定義：對于數(shù)軸上的三點，若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系．如下圖，數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B就是點A，C的一個“關(guān)聯(lián)點”．（1）寫出點A，C的其他三個“關(guān)聯(lián)點”所表示的數(shù)：、、．（2）若點M表示數(shù)﹣2，點N表示數(shù)4，數(shù)﹣8，﹣6，0，2，10所對應(yīng)的點分別是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是點M，N的“關(guān)聯(lián)點”是點．（3）若點M表示的數(shù)是﹣3，點N表示的數(shù)是10，點P為數(shù)軸上的一個動點．①若點P在點N左側(cè)，且點P是點M，N的“關(guān)聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．②若點P在點N右側(cè)，且點P，M，N中，有一個點恰好是另外兩個點的“關(guān)聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．18．[知識背景]：數(shù)軸上，點A，點B表示的數(shù)為a，b，則A，B兩點的距離表示為AB＝|a﹣b|．線段AB的中點P表示的數(shù)為．[知識運用]：已知數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P為數(shù)軸上一動點，對應(yīng)的數(shù)為x．（1）a＝，b＝；（2）若點P為線段AB的中點，則P點對應(yīng)的數(shù)x為，若點B為線段AP的中點，則P點對應(yīng)的數(shù)x為；（3）若點A、點B同時從圖中位置在數(shù)軸上向左運動，點A的速度為每秒1個單位長度，點B的速度為每秒3個單位長度，則經(jīng)過秒點B追上點A；（4）若點A、點B同時從圖中位置在數(shù)軸上向左運動，它們的速度都為每秒1個單位長度，與此同時點P從表示﹣16的點處以每秒2個單位長度的速度在數(shù)軸上向右運動．經(jīng)過多長時間后，點A、點B、點P三點中，其中一點是另外兩點組成的線段的中點？19．結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）探究：①數(shù)軸上表示5和3的兩點之間的距離是．②數(shù)軸上表示﹣1和﹣4的兩點之間的距離是．③數(shù)軸上表示﹣3和5的兩點之間的距離是．（2）歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a和數(shù)b的兩點之間的距離等于．（3）應(yīng)用：①若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與3之間，則|a+4|+|a﹣3|的值＝．②若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a﹣1|＝|a+3|，則a＝．③若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，|a﹣1|+|a+2|的最小值是．④若a表示數(shù)軸上的一個有理數(shù)，且|a+3|+|a﹣5|＞8，則有理數(shù)a的取值范圍是．（4）拓展：已知，如圖2，A、B分別為數(shù)軸上的兩點，A點對應(yīng)的數(shù)為﹣20，B點對應(yīng)的數(shù)為100．若當(dāng)電子螞蟻P從A點出發(fā)，以4個單位/秒的速度向右運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從B點出發(fā)，以3單位/秒的速度向左運動，求經(jīng)過多長時間兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距20個單位長度，并寫出此時點P所表示的數(shù)．20．將一條數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到如圖所示的“折線數(shù)軸”，圖中點A表示﹣10，點B表示10，點C表示18．我們稱點A和點C在數(shù)軸上的“友好函數(shù)”為28個單位長度．動點P從點A出發(fā)，以2單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其正方向運動．當(dāng)運動到點O與點B之間時速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?jīng)過點B后立刻恢復(fù)原速；同時，動點Q從點C出發(fā)，以1單位長度/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”向其負方向運動，當(dāng)運動到點B與點O之間時速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，?jīng)過O后也立刻恢復(fù)原速．設(shè)運動的時間為t秒．（1）動點P從點A運動至點C需要秒，動點Q從點C運動至點A需要秒；（2）P，Q兩點相遇時，求出相遇點M在“折線數(shù)軸”上所對應(yīng)的數(shù)；（3）是否存在t值，使得點P和點Q任“折線數(shù)軸”上的“友好距離”等于點A和點B在“折線數(shù)軸”上的“友好距離”？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．21．在數(shù)軸上，點M，N對應(yīng)的數(shù)分別是m，n（m≠n，mn≠0），P為線段MN的中點，同時給出如下定義：如果＝10，那么稱M是N的“努力點”．例如：m＝1，n＝，M是N的“努力點”．（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0則m＝，n＝；（2）在（1）的條件下，下列說法正確的是（填序號）；①M是P的“努力點”；②M是N的“努力點”③N是M的“努力點”；④N是P的“努力點”（3）若mn＜0，且P是M，N其中一點的“努力點”，求值？22．在數(shù)軸上，O為原點，點A，B對應(yīng)的數(shù)分別是a，b（a≠b，ab≠0），M為線段AB的中點．給出如下定義：若OA÷OB＝4，則稱A是B的“正比點”；若OA×OB＝4，則稱A是B的“反比點”．例如a＝2，時，A是B的“正比點”；a＝2，b＝﹣2時，A是B的“反比點”．（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，則M對應(yīng)的數(shù)為，下列說法正確的是（填序號）．①A是M的“正比點”；②A是M的“反比點”；③B是M的“正比點”；④B是M的“反比點”；（2）若ab＞0，且M是A的“正比點”，求的值；（3）若ab＜0，且M既是A，B其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，直接寫出的值．23．在數(shù)軸上，把原點