新疆慕華優(yōu)策高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

絕密★啟用前新疆慕華優(yōu)策2020—2021學(xué)年高三年級第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，先將自已的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（） A． B． C． D．2．已知，則（） A． B． C． D．3．“剩余定理”又稱“孫子定理”．1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此算法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”該定理講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2029這2029個整數(shù)中，能被3除余2且能被4除余2的數(shù)按從小到大順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列所有項中，中間項為（） A．1010 B．1020 C．1021 D．10224．杭州的三潭印月是西湖十景之一，被譽為“西湖第一勝境”所謂三潭，實際上是3個石塔和其周圍水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每個高2米，分別矗立在水光瀲滟的湖面上，形成一個每邊長為62米的等邊三角形，記該三角形為，小瀛洲之南的湖面上是湖上賞月的極佳去處，水深若潭，月影幽深．設(shè)的邊長為，取每邊的中點構(gòu)成，設(shè)其邊長為，依此類推，由這些三角形的邊長構(gòu)成一個數(shù)列，則的前8項和為（） A． B． C． D．5．若過點的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（） A． B． C． D．6．一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該兒何體的表面積為（） A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，，則的圖象是（） A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于M，N兩點，若為直角三角形，其中F為直角頂點，則（） A．4 B．3 C．2 D．19．已知函數(shù)的最小正周期為，且關(guān)于中心對稱，則下列結(jié)論正確的是（） A．在上單調(diào)遞增 B．的一條對稱軸方程為 C． D．10．若，則下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D．11．已知三棱錐，，，，PA過三校錐外接球心O，點E是線段AB的中點，過點E作三棱錐外接球O的截面，則下列結(jié)論正確的是（） A．三棱錐體積為 B．截面面積的最小值是 C．三棱錐體積為 D．截面面積的最小值是12．已知函數(shù)有兩個零點，，且則下列結(jié)論中正確的是（） A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)單位向量，的夾角為，與垂直，則__________．14．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則__________．15．2020年初，突如其來的新冠肺炎在某市多個小區(qū)快速傳播，該市防疫部門經(jīng)國家批準(zhǔn)立即啟動Ⅰ級應(yīng)急響應(yīng)，要求居民不能外出，居家隔離．為了做好應(yīng)急前的宣傳工作，現(xiàn)有5名志愿者到4個小區(qū)參加抗疫宜傳活動，每名志愿者只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名志愿者，則不同的安排方法共有__________種．16．設(shè)有下列四個命題：：空間中兩兩相交的三個平面，若它們的交線有三條，則這三條交線必相交于一點．：過空間中任意一點作已知平面的垂線，則所作的垂線有且僅有一條．：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線互為異面直線．：若直線平面，直線平面，則直線m與直線一定不相交．則下述命題中所有真命題的序號是__________．① ② ③ ④三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第2、223題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17．（12分）如圖，在銳角中，D為BC邊的中點，且，，O為外接圓的圓心，且．（1）求的值；（2）求的面積．18．（12分）2020年是我國全面建成小康社會和打贏脫貧攻堅戰(zhàn)的收官之年，某省為了堅決打嬴脫貧攻堅戰(zhàn)，在100個貧閑村中，用簡單隨機抽樣的方法抽取15個進(jìn)行脫貧驗收調(diào)查，調(diào)查得到的樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個貧困村中貧閑戶的年平均收入（單位：萬元）和產(chǎn)業(yè)扶貧資金投入數(shù)量（單位：萬元），并計算得到，，，，．（1）試估計該省貧困村的貧困戶年平均收入．（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求該省貧困村中貧困戶年平均收入與產(chǎn)業(yè)扶貧資金投入的相關(guān)系數(shù)．（精確到0．01）（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各貧困村產(chǎn)業(yè)扶貧資金投入差異很大．為了確保完成脫貧攻堅戰(zhàn)任務(wù)，準(zhǔn)確地進(jìn)行脫貧驗收，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．19．（12分）如圖，在直四棱柱中，底而ABCD為矩形，，E在棱上．（1）若E為的中點，求證：平面平而BDE；（2）若二而角的余弦值為時，求AE的長．20．（12分）已知橢圓的離心率為，且與雙曲線有相同的焦點．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的左焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，點M滿足，點，求面積的最大值及此時直線l的方程．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點、，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑．22．【44坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C的普通方程和直線l的傾斜角；（2）設(shè)點，l和C交于A，B兩點，求的值．23．【45不等式選講】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的定義域；（2）若關(guān)于x的不等式的解集為，求實數(shù)a的取值范圍．慕華·優(yōu)策20202021學(xué)年高三年級第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）參考答案及解析一、選擇題1．【答案】C【解析】由題意可得：，∴．故選：C．【命題意圖】本題考査集合的基本運算，集合的運算是髙考?？嫉暮唵晤}型，把握集合A，B的精準(zhǔn)化簡是解此類問題關(guān)鍵．2．【答案】D【解析】由題設(shè)易得：．故選D．【命題意圖】本題考査三角函數(shù)的基本運算，由角的取值范圍確定三角函數(shù)值的符號，著重理解三角函數(shù)的定義．本題給出的是角的取值集合，由此求出的取值集合，從而就能確定三角函數(shù)值的符號．3．【答案】A【解析】將題目轉(zhuǎn)化為既是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，也即是12的倍數(shù)．即，．當(dāng)時，．當(dāng)時，．故，數(shù)列共有169項，此數(shù)列中間項為第85項，，故選A．【命題意圖】本題考査數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)文化試題是傳承經(jīng)典、開拓創(chuàng)新型試題．解答此類問題時，要認(rèn)真閱讀題目，審清題意才能正確作答．本題的關(guān)鍵是尋找岀同時能被3和4整除的數(shù)的規(guī)律，即是12的倍數(shù)．4．【答案】A【解析】由題設(shè)知，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列．則的前8項和為．故選A．【命題意圖】本題考査數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，數(shù)學(xué)實際應(yīng)用題是新教材、新課標(biāo)、新高考中推岀的一類新題型，結(jié)合實際分析問題、解決問題．解答本題的關(guān)鍵在于找到構(gòu)成數(shù)列是成等比數(shù)列的，因此，可以直接運用等比數(shù)列前n項和公式求和．5．【答案】B【解析】由于圓上的點在第二象限，若圓心不在第二象限，則圓至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必第二象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為a，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線距離均為；所以，圓心到直線的距離為．故選：B．【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系是解析幾何的基本內(nèi)容，求圓的方程時，確定圓心及圓的半徑是解決問題核心．本題是利用所求的圓與兩坐標(biāo)軸都相切來設(shè)立方程，這樣計算較為方便．6．【答案】A【解析】本題考査三視圖及簡單幾何體的體積計算．原立體圖如下圖所示，是一個棱長為2的正方體被切掉兩個角，因此，所求的幾何體的表面積為．故選A．【命題意圖】本題考査三視圖的應(yīng)用，由三視圖求簡單幾何體的體積與表面積，找原圖是關(guān)鍵，如何正確將三視圖還原成直觀圖呢，一般規(guī)律是：若三視圖中有圓，則原圖應(yīng)該有旋轉(zhuǎn)體；若三視圖中畫有實線或虛線，則原圖簡單幾何體一般是截去型的；若三視圖是多個多邊形拼接的，則原簡單幾何體一般是拼接型．7．【答案】D【解析】顯然是奇函數(shù)，排除A、B．由于，故選D．【命題意圖】本題考查函數(shù)圖象及其應(yīng)用，函數(shù)圖象的識別是近年來高考?？嫉念}型，它主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．解答此類問題一般要能做到：1．通過函數(shù)定義域確定函數(shù)圖象左右位置；2．通過函數(shù)的值域確定函數(shù)圖象的上下位置；3．利用函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)圖象的對稱性；4．運用導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的極值點等．8．【答案】C【解析】由題設(shè)知拋物線的準(zhǔn)線為，代入雙曲線方程，解得，由雙曲線的對稱性知為等腰直角三角形，∴，∴，∴，即．故選C．【命題意圖】本題考査圓錐曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)于拋物線幾何性質(zhì)題一般解題思路是：定義優(yōu)先，性質(zhì)伴隨．本題是求參數(shù)p的值，關(guān)鍵點在于建立關(guān)于p的方程，從而解出p，然而，尋找等量關(guān)系是建立方程的核心所在，這里是通過為等腰直角三角形來建立等量關(guān)系的．9．【答案】D【解析】∵函數(shù)的最小周期是，∴，得，則，∵關(guān)于中心對稱，∴，，即，，∵，∴當(dāng)時，，即，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此，易得A，B錯誤．，∵，，即，所以C錯，D正確．故選D．【命題意圖】本題考査三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，解答此類問題時，根據(jù)題設(shè)條件正確求出解析式是關(guān)鍵．一般地，依據(jù)周期求參數(shù)值根據(jù)對稱中心或最值來求參數(shù)的值，特別提酲的是求參數(shù)的值時，注意題設(shè)條件及檢驗．10．【答案】B【解析】由題意知，，，得．即，，∴，故，∴，A錯誤；，B錯誤；當(dāng)時，，C不一定成立；由，易得，故D錯誤，故選B．【命題意圖】本題考查基本初等函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小及解決不等式問題是一類常見考題．11．【答案】A【解析】三棱錐外接球O的球心為PA中點．，過點E作三棱錐外接球O的截面要使截面面積最小當(dāng)且僅當(dāng)截面與OE垂直時．可得截面半徑為1，則截面面積的最小值是，故B，D錯誤．在中由余弦定理得，∴，設(shè)過A、B、C的截面圓圓心為G，半徑為r，連接OG，則平面ABC，在中由正弦定理得，即，解得．在中，由勾股定理得，∴三棱錐的高為，故三棱錐體積為，A正確．【命題意圖】本題考査球的切、接問題，關(guān)于球的接、切問題是近些年來高考?？嫉念}型，解答此類問題應(yīng)抓住以下幾何關(guān)鍵點：1．正確找準(zhǔn)球心；2．注意截面圓圓心與球心連線垂直于截面圓所在的平面；3．注意找球心的方法類比平面幾何中的三角形外接圓圓心的找法，通過多面體各面外接圓圓心作截面的垂線，交點即為球12．【答案】C【解析】，時，在恒成立，此時在R上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時，由，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，可知當(dāng)時，函數(shù)取得極小值為，又當(dāng)時，，時，，∴要使函數(shù)有兩個零點，則，得，故A錯誤；由，極小值點，可得，∵，是的兩個零點，∴，．可得，．故，故D錯誤；由，設(shè)，則，為的兩個零點，得在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，∴，故B錯誤；C正確．綜上，故選C．【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，首先要判斷函數(shù)的極值點，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，如果只存在一個極小值點，則當(dāng)極小值小于零時函數(shù)存在兩個零點；如果只存在一個極大值點，則當(dāng)極大值大于零時函數(shù)存在兩個零點．特別提醒：1．函數(shù)必須是連續(xù)的；2．函數(shù)在極值點左右兩側(cè)必須是單調(diào)的．二、填空題13．【答案】【解析】由題意可得：，∴，又，∴．【命題意圖】本題考査向量的數(shù)量積運算，向量數(shù)量積運算歷來是高考命題者從未忽視的一種題型，正確把握向量數(shù)量積的定義是解答此類問題的關(guān)鍵所在．14．【答案】【解析】∵，可設(shè)，，∴，∴，兩式平方相加得：，化簡得：，∴【命題意圖】本題考査復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的運算是考査復(fù)數(shù)的常規(guī)題型，在運算過程中注意充分利用復(fù)數(shù)相等的充要條件．15．【答案】240【解析】∵5名志愿者到4個小區(qū)參加抗疫宣傳活動，每名志愿者只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名志愿者，∴先取2名志愿者看作一組，選法有現(xiàn)在可看成是4組志愿者分配到4個小區(qū)，分法有根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法種.【命題意圖】本題主要考査了計數(shù)原理的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考査了分析能力和計算能力，屬于中檔題．16．【答案】①②③【解析】命題為假命題．事實上，兩兩相交的三個平面，若它們的交線有三條，則這三條交線可能互相平行，如三棱柱的三個側(cè)面就是兩兩相交的三個平面，它們的三條交線互相平行．命題為真命題；對于命題，空間中兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行或異面，空間兩條直線不相交，這兩條直線可能是平行的，也可能是異面直線，命題為假命題；對于命題，若直線平面，則直線m與平面不相交，又直線平面，所以，直線m與直線一定不相交，命題為真命題．綜上可知，，為真命題，，為假命題，為真命題，為真命題，為真命題，為假命題．故答案為：①②③．【命題意圖】本題考查復(fù)合命題的真假，同時也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力．解答此類問題時，首先必須正確判斷各命題的真假，在此基礎(chǔ)上才能判斷復(fù)合命題的真假．三、解答題17．【命題意圖】本題考查正弦定理、余弦定理及三角形面積的求法．解：（1）由題設(shè)知，∴，即，∴．（2）延長AD至E，使，連接BE，CE，則四邊形ABEC為平行四邊形，∴．在中，，，，∴由余弦定理得，，即，解得，∴.18．【命題意圖】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力．解：（1）該省貧困村的貧困戶年平均收入的估計值為（萬元），（2）樣本的相關(guān)系數(shù)為．（3）采用分層抽樣，理由如下：由（2）知各地區(qū)貧困村的貧困戶年平均收入與該村的產(chǎn)業(yè)投入資金有很強的正相關(guān)性，由于各貧困村產(chǎn)業(yè)扶貧資金投入差異很大，因此貧困村的貧困戶年平均收入差異也很大，所以采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該省更準(zhǔn)確的脫貧驗收估計．19．【命題意圖】本題考查線面垂直、面面垂直的判定定理及二面角的平面角．（1）證明：在面中，E為中點，∴由題設(shè)得，∴，又，∴，即，①又②而③由①②③得．（2）取D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，設(shè)，，于是，∴，顯然平面DED的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，∵，∴，令，可得，又二面角的余弦值為，設(shè)二面角的大小為∴．解