高2023屆高三一診數(shù)學答案

高2023屆學業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測（第一次）

高三數(shù)學參考答案及評分意見

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1-4.BACD；5-8.CABD.

二、選擇題：本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.BCD；10.AC；11.ABD；12.ACD.

三、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分.

13.4；14.6；15.[8,20]；16.—,y/3x4-y+15A/3=0.

四、解答題：

17.解：

(I)vS4MJ/C1D=-2ACADsmZDACfZV1DV2?AC-BE,

SMCD=2sA48cg.ACA￡)-sinZ.DAC=AC-BE....................3分

：.ADsinZDAC=2BE=2y[2....................................5分

(II)由題CE=1,在AACD中，———=———,

sinZDACsinZACD

ADsinZDAC=CDsinZACD=2y/2............................6分

25Ii

又CD-3,sinNACZ)-....,coszL4CZ)—±Jl——i—..........7分

3V93

在kCDE中，由余弦定理,得DE2=CE2+CD2-2CECDCOSZACD.

當cos/AO)=L時，JDE2=12+32-2X1X3X-=8,:.DE^2y[2.

33

當cos/ACD=—；時，=l2+32-2xlx3x(-i)=12,.\DE=243.

綜上：DE=2C或DE=2610分

18.解:

(1)設等差數(shù)列｛/｝的公差為d.

?二外,出，。5成等比，a\?a5=a2，?'?%,(%+4d)=(4+d)2.

2

化筒,得2%d=dd0,/.d-2at.2分

,/a2a3=%，二(%+d)(q+2d)=q+7d.

解得q=0或q=1.3分

當q=0時，d=2a[=0(舍去).4分

+Q〃)_〃x2〃_2

當q=1時，d=2%=2,則a=2n-\,S-=-Yl6分

nH22

1T〃.1〃+11

(II)------)7分

1/—I

當“22時,

1111111

——++F=-(l-l)+(l-l)+...+()

52-153-15.一12324n-1n+1

............................................................................10分

22〃n+1

131i9111Q

由題，得一(-----------)<—,化簡，得一+——2—,解得〃<4.

22〃〃+140nn4-120

又?」〃22,：.2<n<4(nGN+),ne{2,3,4}.12分

19.解:

(I)由(6+0.22)x0.5x100=30,解得6=0.38.1分

???0.5x(0.14+a+0.42+0.58+0.38+0.22)=1,解得a=0.26.2分

(II)從7名學生中任選2人進行電話訪談種數(shù)：C；=213分

c：+c：c；6

記任選2人有男生為事件A，則尸（A）.................4分

217

記任選2人有女生為事件B，則P（AB）=Cd'c3'=4W..................5分

217

?…、P（AB）2

則0⑻田=訴=§.........................................6分

（III）用按比例分層抽樣的方式從每天學習時間在［6.0,6.5）和［7。7.5）的學生中抽取8人，

抽中的8人每天學習時間在［6.0,6.5）的人數(shù)為，x8=2人.

4

3

抽中的8人每天學習時間在［7.0,7.5）的人數(shù)為一x8=6人....................7分

4

設從8人中抽取的3人每天學習時間在［6.0,6.5）的人數(shù)為X,則X=0,1,2

322

.?.P（x=o）=粵C=25,p（x=l）=當C'C?=?15P（x=2）=*C勺C'3

C：14C：28C：28

ooo

X的分布列為:

X012

5153

p

142828

5153

.?.乂的數(shù)學期望為頤*）=0、一+以一+2*—=

142828

20.解：

（I）■：ABHCD,CD^2AB

P為CO的中點，.?.AP〃8C且AP=5C=2

-ZABC=9ff,

又?:NBAF=90°,AB1AF,

???NEAP為二面角P-AB—O的平面角,

NE4P=60"3分

又：47;'=47?=2,二八/%尸為等邊三角形.

?.?。為AP的中點，則APJ_FO,又?.?AB_LAb,APA.AB,FAoAP^A,

A5_L平面FAP.-.-1POu平面FAP,

：.FO±AB,ABC\AP=A,.'.FOmABCD.........................................6分

(n)設BC的中點為。，以OP,OQ,OF所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則尸(0,0,Q),A(-1,0,0),￡)(1-2,0),E(0,l,V3),B(-1,2,0),C(l,2,0).

AF=(l,0,V3),AD=(2-2,0),前=(2,0,0),￡C=(1,1,-V3).........................8分

—?H?.4P=oY7()

設平面AO尸的一個法向量為加=(%,X，z),則(______即「?=,

m-AD=Q[2%-2%=0

取加=(V3,A/3,—1)....................................................................................................9分

-、fn-BC=0[2x,=0

設平面BCE的一個法向量為〃=(%),%,z?)，則,即《廠，

n-EC^O[x2+y2-^l3z2=0

取%=(O,V§,D..........................................................................................................10分

,-----..m,n

:]cos<m,n>1=1———........................................................................H分

|m|?|n|-4-

2V42

.?.所求二面角的正弦值為12分

7

21.解:

22

(I)為雙曲線E上的點，.??上?一4=1

ab,

則有y；=^-x2-h2

i1分

a

???AM是圓C：x2+/=a2的一條切線

21題圖

,2

2

IAM|=AO?—標=%2+y2_a2=r%2_。2

a

2

?/|AM|2+3=「/一〃2

a

22

則一■冗J—cr—b~+3=-=3.3分

a

2

2h2

又「€=\-\——=4,...a，4分

2

???雙曲線E:九2-2_=1.5分

3

(II)弦PQ過定點(0,0),理由如下:6分

設B(X2,y2),直線AF{\x=my-2,

x=my-2/))

聯(lián)立《,，得(3/-Dy?一⑵孫+9=0,

3x-y=3

12/7?9

則2一

3m1w0,y+%=3m2-l，y'y2~3m2-l9分

=上?上=必),2

?KPD.KQD=KDA?KDB

%)-1x2-1(即「3)(沖2-3)

9

-111分

222

rtvyxy2-3m(yy+y2)+99m-36m+9(3m-1)

???尸。，。。，又。在圓C上,

??.PQ為圓C的直徑，，尸。一定過圓C的圓心，即過定點原點.12分

22.解:

xx

(I)vf(x)=e(2x-3)-ax+a(xeR)9f\x)=e(2x-l)-a.1分

/.h(x)=ex(2x-1)-a〃'(x)=ex(2x+1)

當無〈一工時，//(%)<0.?.〃(%)在(一8,一工)上單調(diào)遞減.

2'2

當龍〉—！時，l(X)>0.?)(X)在(一」,+8)上單調(diào)遞增.

2'2

1--

?'?"min(x)=/2(-/)=-2,e2-a.......................................3分

解一：當X—>-00時，〃(x)-，當X—>+00時，〃(X)f+8.

①當a<-2-e”時,儲式幻>0,二力(幻>0恒成立，二〃(%)零點的個數(shù)為0個.

②當a=-2"2時,力min(x)=0,二〃(X)零點的個數(shù)為1個.

③當一2-e'<。<0時，/imin(x)<0,且-a>0,；.〃(x)零點的個數(shù)為2個.

④當a20時，4血。)<0,且一?！?,二〃(x)零點的個數(shù)為1個.

解二：

①當a<-2-e^時，/zmin(x)>0,/.〃(幻>0恒成立，二〃(x)零點的個數(shù)為0個.

②當a=—2-時;hm.n(x)=Q,h(x)零點的個數(shù)為1個.

1

③當-2-e2<a<0時,hmin(x)<0,

令夕(x)=e*—x,則夕'(x)=e'—1

當x>0時，"(x)>0,則°(x)單增，.?.夕(x)>°(0)=l>0

-11

/.ex>x,則/x>—x,則/>—廣0

24

X2,即靖<：

則當x<0時，e-x>-

4X

2

令內(nèi)普<-5人<」x4a

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貝|」2再一1二——1<0,ci>—『,

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則e'(2x—1)>—(------1)=-----------

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力(不)=小(2%-1)—。>一二一<=一郎(5+“)>一《(5_本)>0

32^2^y/c

.?./'(X)在(-8,-；)上有唯一的零點，

又,:h(l)=e-a>0,

fXx)在(_；,+8)上有唯一的零點.

_2

當一2一人<。<0時,〃(x)零點的個數(shù)為2個.

④當a20時，鼠久》)<0,當；時，A(x)<0

X