3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系 北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊導(dǎo)學(xué)課件

4圓周角和圓心角的關(guān)系第三章圓逐點學(xué)練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標本節(jié)要點1學(xué)習(xí)流程2圓周角圓周角定理的推論圓內(nèi)接四邊形知識點感悟新知1圓周角1.圓周角的定義頂點在圓上，兩邊分別與圓還有另一個交點，像這樣的角，叫做圓周角.特征圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②兩邊都和圓相交.感悟新知特別提醒圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系：名稱圓心角圓周角區(qū)別頂點在圓心頂點在圓上在同圓中，一條弧所對的圓心角唯一在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數(shù)個聯(lián)系兩邊都與圓相交感悟新知2.圓周角定理圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半.如圖3-4-1，∠ACB=∠AOB.特別警示：定理中的圓周角與圓心角是通過它們所對的同一條弧聯(lián)系在一起的，故不能把同一條弧這個前提省略.感悟新知如圖3-4-2，AB是⊙O

的直徑，弦BC=BD，若∠BOD=50°，求∠A

的度數(shù).例1解題秘方：連接OC，將求BC所對的圓周角的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求BC所對的圓心角的度數(shù)來解.︵︵感悟新知解：連接OC，如圖3-4-2.∵BC=BD，∴∠BOC=∠BOD=50°.∴∠A=∠BOC=×50°=25°.感悟新知1-1.［中考·濱州］如圖，在⊙O

中，弦AB，CD

相交于點P.若∠A=48°，∠APD=80°，則∠B

的大小為()A.32°B.45°C.52°D.62°A知識點圓周角定理的推論感悟新知21.推論1同弧或等弧所對的圓周角相等.特別提醒“同弧或等弧”若改為“同弦或等弦”結(jié)論就不成立了.因為一條弦(非直徑)所對的圓周角有兩種情況：優(yōu)弧上的圓周角和劣弧上的圓周角.感悟新知2.推論2(1)直徑所對的圓周角是直角；(2)90°的圓周角所對的弦是直徑.3.“五量關(guān)系”定理(拓展歸納)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弧所對(或所含)的圓周角、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.感悟新知如圖3-4-3，A，P，B，C

是圓上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．求證：△ABC

是等邊三角形.例2解題秘方：緊扣“同弧所對的圓周角相等”解決.感悟新知證明：∵

A，P，B，C

是圓上的四個點，∴∠

ABC=∠APC，∠CPB=∠BAC.又∵∠

APC=∠CPB=60°，∴∠

ABC=∠BAC=60°.∴△ABC

是等邊三角形.感悟新知2-1.如圖，以△ABC的一邊AB

為直徑的半圓與其他兩邊AC，BC的交點分別為D，E，且DE=BE，試判斷△ABC

的形狀，并說明理由.︵︵感悟新知解：△ABC為等腰三角形．理由如下：如圖，連接AE.∵DE＝BE，∴∠CAE＝∠BAE.∵AB為半圓的直徑，∴∠AEB＝∠AEC＝90°.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE(ASA)．∴AB＝AC.∴△ABC為等腰三角形．︵︵感悟新知如圖3-4-4，AB

是⊙O

的直徑，BD

是⊙O

的弦，延長BD到點C，使AC=AB.求證：BD=CD.解題秘方：緊扣“直徑所對的圓周角是直角”，結(jié)合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求解.例3感悟新知證明：如圖3-4-4，連接AD.∵AB是⊙O

的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.又∵AC=AB，∴BD=CD.感悟新知3-1.如圖，AB

是⊙O的直徑，∠C=25°，求∠BAD

的度數(shù).感悟新知解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵∠C＝25°，∴∠B＝∠C＝25°.∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.感悟新知如圖3-4-5，已知經(jīng)過原點的⊙P

與x

軸、y軸分別交于A，B

兩點，點C是弧AB

上一點，則∠

ACB的度數(shù)是()A.80°B.90°C.100°D.無法確定例4B感悟新知解題秘方：利用“直角所對的弦是直徑”，結(jié)合“直徑所對的圓周角是直角”求解.解：連接AB，如圖3-4-5.∵∠AOB=90°，∴AB

是⊙

P的直徑.∴∠ACB=90°.感悟新知4-1.如圖，把直角三角板的直角頂點O放在破損的圓玻璃鏡的圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點M，N，量得OM=8cm，ON=6cm，則該圓玻璃鏡的半徑是________

.5cm知識點圓內(nèi)接四邊形感悟新知31.圓內(nèi)接四邊形四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，像這樣的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓.特別解讀每一個圓都有無數(shù)個內(nèi)接四邊形，但并不是所有的四邊形都有外接圓，只有對角互補的四邊形才有外接圓.感悟新知2.圓周角定理的推論3圓內(nèi)接四邊形的對角互補.感悟新知[中考·常德]如圖3-4-6，四邊形ABCD

為⊙O

的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD=100°，則∠BCD

的度數(shù)為()A.50°B.80°C.100°D.130°D例5感悟新知解題秘方：將所求角的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求圓內(nèi)接四邊形對角的度數(shù).解：∵∠

BAD與∠

BOD是同弧所對的圓周角和圓心角，∴∠BAD=∠BOD=×100°=50°.又∵四邊形ABCD

為⊙

O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD=180°.∴∠BCD=180°－∠BAD=180°－50°=130°.感悟新知5-1.［中考·鎮(zhèn)江］如圖，四邊形ABCD

是半圓的內(nèi)接四邊形，