大學(xué)物理：20 概率波習(xí)題詳解

習(xí)題九

一、選擇題

1.要使處于基態(tài)的氫原子受激發(fā)后能發(fā)射賴曼系（由激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)時(shí)發(fā)射的各譜線

組成的譜線系）的最長(zhǎng)波長(zhǎng)的譜線，至少應(yīng)向基態(tài)氫原子提供的能量是[]

（A）1.5eV；（B）3.4eV；（C）10.2eV；（D）13.6eV。

答案：C

解：賴曼系的譜線滿足公式D='=R（，-4）”=2,3,4,.…?？梢姡　?2時(shí)波長(zhǎng)最

A1n

長(zhǎng)而提供的能量也最低，即

=10.2eV

2.根據(jù)玻爾的理論，氫原子在〃=5軌道上的角動(dòng)量與在第一激發(fā)態(tài)的軌道角動(dòng)量之比為

（A）5/2；（B）5/3；（05/4；（D）50[]

答案：A

解：玻爾理論中角動(dòng)量滿足公式乙=〃2,第一激發(fā)態(tài)，〃=2。由此可得答案（A）。

2萬

3.下列四組量子數(shù)：

（1）〃=3,1-2,叫=0,ms=1/2；（2）〃=3,1=3,網(wǎng)=1,ms=1/2；

（3）〃=3,/=1,mt=—1,ms=—1/2；（4）n=3,1=0,m,=0,ms=—1/2o

其中可以描述原子中電子狀態(tài)的[1

（A）只有（1）和（3）；（B）只有（2）和（4）；

（C）只有（1）、（3）和（4）；（D）只有（2）、（3）和（4）。

答案：C

解：根據(jù)氫原子的量子理論和四個(gè)量子數(shù)（小I,㈣，m、）的取值關(guān)系，當(dāng)附=3時(shí)，/

的可能取值為0,1,2；成的可能取值是0,±1,±2,ms=±~,因而（1）（3）和（4）可

以描述原子中電子狀態(tài)，故選項(xiàng)（C）對(duì)。

4.將波函數(shù)在空間各點(diǎn)的振幅同時(shí)增大。倍，則粒子在空間的分布概率將[]

（A）增大D2倍；（B）增大2。倍；（C）增大。倍；（D）不變。

答案：D

解：不變。波函數(shù)是概率函數(shù)，其模的平方描述粒子f時(shí)刻在空間某點(diǎn)出現(xiàn)的概率。而概

率是相對(duì)值，任意兩點(diǎn)1和2之間的概率比值為：也「=吼

可見，各點(diǎn)振幅同時(shí)增大。倍時(shí)概率分布不變。

5.直接證實(shí)了電子自旋存在的最早的實(shí)驗(yàn)之一是[]

（A）康普頓實(shí)驗(yàn)；（B）斯特恩-格拉赫實(shí)驗(yàn)；

（C）戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)；（D）盧瑟福實(shí)驗(yàn)。

答案：B

解：1922年，斯特恩和格拉赫在德國(guó)漢堡大學(xué)做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)處于S態(tài)的銀原子射

線在非均勻磁場(chǎng)中分裂為兩束，該現(xiàn)象用電子繞核運(yùn)動(dòng)無法解釋，必須引進(jìn)電子具有自

旋的假設(shè)。

二、填空題

1.在玻爾氫原子理論中，當(dāng)電子由量子數(shù)”=5的軌道躍遷到〃=2的軌道上時(shí)，對(duì)外輻

射光的波長(zhǎng)為nm；若再將該電子從〃=2的軌道躍遷到游離狀態(tài)，外界需要提供

的能量為eV。

答案：2=434nm；AE-3.4eV?

解：根據(jù)玻耳頻率躍遷條件得0='=R（

即

A

22-52100

=4.34xl0-7m=434nm

(52-22)/?21xl.097xl07

當(dāng)電子從〃=2躍遷到游離態(tài)，即則所需的能量為

1aA

AE=心-芻=-&=寸=3.4eV

2.處于基態(tài)的氫原子被能量為12.09eV的光子激發(fā)時(shí)，其電子的軌道半徑為基態(tài)軌道半

徑的倍。

答案：9

解：基態(tài)氫原子能量g=-13.6eV。根據(jù)玻爾理論加=紇-耳得紇=屜+耳，即

紇=12.09-13.6=—1.51eV

此外，氫原子第〃能級(jí)的能量E,,=—一1^3e6V

-1R6

由此得—1.51=—苧，故“2=9,〃=3。

n

再由氫原子的半徑公式｛,=〃％=9q知，此時(shí)氫原子的半徑增加到基態(tài)時(shí)的9倍。

3.在描述原于內(nèi)電子狀態(tài)的量子數(shù)"，/，的中，

（1）當(dāng)〃=5時(shí)，/的可能值有個(gè)，它們是

(2)當(dāng)/=5時(shí)，叫的可能值有個(gè)，它們是；

(3)當(dāng)/=4時(shí)，〃的最小可能值是；

(4)當(dāng)〃=3時(shí)，電子可能狀態(tài)數(shù)為個(gè)。

答案：(1)5個(gè)；/=0,1,2,3,4；(2)9個(gè)，叫=0,±1,±2,±3,±4；(3)5；(4)18。

解：(1)/取0到〃-1共“個(gè)值。故”=5時(shí)，/可能取5個(gè)值，即/=0,1,2,3,4；

(2)〃=5,則/=0,1,2,3,4,叫取0到土/共2/+1個(gè)值。所以，叫的可能取值為9

個(gè),它們是町=0,±1,±2,±3,±4；

(3)因?yàn)?的最大可能值為所以/=4時(shí)，〃的最小可能值是5；

(4)電子的可能狀態(tài)數(shù)為2/。所以當(dāng)”=3時(shí)，電子的可能狀態(tài)數(shù)為2/=18。

4.能夠占據(jù)一個(gè)d支殼層的最多電子數(shù)為個(gè)；這些電子的磁量子數(shù)叫的值

為;自旋量子數(shù)縱的值為。

答案：10；0,±1,±2；±-o

2

解：d支殼層就是/=2的支殼層，最多能容納的電子數(shù)為：

Z6,=2(2/+1)=2(2x2+1)=10

磁量子數(shù)取值為0到±1,即〃％=0,±1,±2o

自旋量子數(shù)：，4=±工。

2

5.在一維無限深勢(shì)阱0一”范圍內(nèi)波函數(shù)物(x)

如圖，則發(fā)現(xiàn)粒子概率最大的位置

是-------------------------。。L一

答案.q包衛(wèi)乂42V

8'8'8'84

解：概率最大處即波函數(shù)模的平方最大。由圖可知波峰與波谷處波函數(shù)平方有最大值。

三、計(jì)算題

1.以能量為12.5eV的電子通過碰撞使氫原子激發(fā)時(shí)，最高能激發(fā)到哪一能級(jí)？當(dāng)回到

基態(tài)時(shí)能產(chǎn)生哪些譜線？畫出譜線的能級(jí)躍遷圖。

答案：(1)72=3；(2)原=102.6nm,%=12L6nm,為=656.3nm；

(3)能級(jí)躍遷圖如圖所示。

解：(D已知g=-13.6eV。設(shè)氫原子全部吸收12.5eV能量后，最高能激發(fā)到第〃能級(jí)，

則

EE13

△￡=￡■“-ET--即12.5=13.611--J

"'n2I2n2?2

解得”=3.5。取整數(shù)，得最高激發(fā)能級(jí)〃=3。

(2)當(dāng)從〃=3能級(jí)向下躍遷時(shí)，可能發(fā)出如下三條譜線：1

n=3—>n=l：v=R——=102.6nm；

318x1.097x10

34

A2=2—>72=1：V=-R,Zn=——=121.6nm；

214⑵3R

=

九=3—>〃=2：=R—36Rf%,)2=—5R=656.3nm。

(3)能級(jí)躍遷圖如圖所示。

2.已知一維運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)為

+(x)=｛『

式中；1>0,試求：

(1)歸一化常數(shù)A和歸一化波函數(shù)；

(2)該粒子位置坐標(biāo)的概率分布函數(shù)(概率密度)。

答案：⑴A=2產(chǎn)，+。)=產(chǎn)"-〃xNO；

0x<0

2

解：(1)由歸一化條件+公=1,有

f°O2dx+\A2x2e~2Axdx=/A2x2e~2Xxdx==1

3

JOJO4^

由積分公式

Joy2e~bydy=^-=1得A=223/2

經(jīng)歸一化的波函數(shù)為￥(X)=,^~Xe

(2)粒子的概率分布函數(shù)為

4萬/產(chǎn)x>0

p=|vP(x)|2=<

0x<0

3.一維無限深的方勢(shì)阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為“"（x）=J/sin?x,w=l,2,...,試求下

述兩種情況下粒子在x=0到x=g之間被找到的概率：當(dāng)（1）粒子處于基態(tài)時(shí)：（2）粒

3

子處于n=2的狀態(tài)時(shí)。

答案：（1）0.19；（2）0.40?

解：（1）當(dāng)粒子處于基態(tài)時(shí)

幺in。

弘(x)=

aa

粒子在x=0到x=3之間被找到的概率為

3

P=帆(x)|-6Zr=—￡3sin2—xdx=^~/=0.19

（2）當(dāng)粒子處于〃=2的激發(fā)態(tài)時(shí)

“2（幻=

粒子在x=o到x=y之間被找到的概率為

3

P=-dx=—f^sin2—x-i/r=-+—=0.40

2、I“Joa38萬

4.設(shè)有一電子在寬為0.20nm的一維無限深的方勢(shì)阱中。

（1）計(jì)算電子在最低能級(jí)的能量；

（2）當(dāng)電子處于第一激發(fā)態(tài)（〃=2）時(shí)，在勢(shì)阱中何處出現(xiàn)的概率最小，其值為多少？

答案：（1）9.43eV；

（2）在x=0,3a（即x=0,0.1Onm,0.20nm）處概率最小，其值均為零。

2

解：（1）一維無限深勢(shì)阱中粒子的可能能量紇=1—式中。為勢(shì)阱寬度。

Sma2

當(dāng)量子數(shù)〃=1時(shí)，粒子處于基態(tài)，能量最低。因此，電子在最低能級(jí)的能量為

E.=—=1.51x10-18J=9.43eV

Sma

（2）粒子在無限深方勢(shì)阱中的波函數(shù)為

,、回?〃乃1C

〃〃（x）=sin——x,〃=1,2,...

當(dāng)它處于第一激發(fā)態(tài)（〃=2）時(shí)，波函數(shù)

,、［2.17t

〃（x）=J—sin——x,（）<%<?

Vaa

相應(yīng)的概率密度函數(shù)

=—sin2—x,0<x<a

aa

d（帆（刈）8^-2%x27rx

令—-------=0,得—sin---cos----=0o

dxaaa

在04x4。的范圍內(nèi)討論可得，當(dāng)x=0,號(hào)，與M時(shí)，函數(shù)|“(刈2取得極值。

由0可知，函數(shù)在x=0,g,a(即工=0,0.1Onm,