高中總復(fù)習(xí)第一輪數(shù)學(xué) 兩角和與差二倍角的公式(三)

4.4兩角和與差、二倍角的公式(三)鞏固·夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理1.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是為更清楚地顯示式中所含量之間的關(guān)系,以便于應(yīng)用.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的要求:(1)能求出值的應(yīng)求出值.(2)使三角函數(shù)種數(shù)、項(xiàng)數(shù)盡量少;分母盡量不含三角函數(shù);被開(kāi)方式盡量不含三角函數(shù).2.恒等式的證明,包括有條件的恒等式和無(wú)條件的恒等式兩種.(1)無(wú)條件的等式證明,常用綜合法(執(zhí)因索果)和分析法(執(zhí)果索因),證明的形式有化繁為簡(jiǎn)、左右歸一、變更論證等,不論采用什么證明方式和方法,都要認(rèn)真分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)、角度和函數(shù)關(guān)系,找出差異,尋找證明的突破口.(2)有條件的等式證明,常常先觀察條件式及欲證式中左、右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別及聯(lián)系,靈活使用條件,變形得證.二、點(diǎn)擊雙基1.已知tanα和tan(-α)是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，則a、b、c的關(guān)系是()A.b=a+cB.2b=a+cC.c=b+aD.c=ab解析:∴tan==1.∴-=1-,-b=a-c.∴c=a+b.答案:C2.(2006湖北八校聯(lián)考)在△ABC中,若tanB=式,則這個(gè)三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形解析:tanB==,∴=.∴2sinBsinC=cosCcosB+sinCsinB.∴cosCcosB-sinCsinB=0,即cos(C+B)=0.∴cosA=0.∵0<A<π,∴A=.故選B.答案:B3.(2005全國(guó)高考卷Ⅱ)設(shè)α為第四象限的角,若=,則tan2α=_________________.解析：===.∴2cos2α+cos2α=,2cos2α-1+cos2α=.∴cos2α=.∵2kπ-<α<2kπ,∴4kπ-π<2α<4kπ.又∵cos2α=>0,∴2α為第四象限的角.sin2α=-=-,∴tan2α=-.答案：-4.已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=,則cos(α-β)=____________.解析:(cosα-cosβ)2=,(sinα-sinβ)2=.兩式相加,得2-2cos(α-β)=.∴cos(α-β)=.答案:誘思·實(shí)例點(diǎn)撥【例1】(2005湖南高考)已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+sin2C=0,求角A、B、C的大小.剖析:欲求角A、B、C,需求A、B、C的某一個(gè)三角函數(shù)值,利用方程的思想易求得A、B、C的值.解:由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0.∴sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即sinB(sinA-cosA)=0.∵B∈(0,π),∴sinB≠0,從而cosA=sinA.由A∈(0,π),知A=.從而B(niǎo)+C=.由sinB+cos2C=0,得sinB+cos2(-B)=0,即sinB-sin2B=0,亦即sinB-2sinBcosB=0.此得cosB=,B=,C=.∴A=,B=,C=.講評(píng):本題主要考查三角形及三角函數(shù)的基本知識(shí),關(guān)鍵是運(yùn)用sin(A+B)=sinC.【例2】求證：-2cos(α+β)=.剖析:先轉(zhuǎn)換命題，只需證sin(2α+β)-2cos(α+β)·sinα=sinβ，再利用角的關(guān)系：2α+β=(α+β)+α，(α+β)-α=β可證得結(jié)論.證明:sin(2α+β)-2cos(α+β)sinα=sin［(α+β)+α］-2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα-2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=sin［(α+β)-α］=sinβ.兩邊同除以sinα得-2cos(α+β)=.講評(píng):證明三角恒等式，可先從兩邊的角入手——變角，將表達(dá)式中出現(xiàn)了較多的相異的角朝著我們選定的目標(biāo)轉(zhuǎn)化，然后分析兩邊的函數(shù)名稱——變名，將表達(dá)式中較多的函數(shù)種類盡量減少，這是三角恒等變形的兩個(gè)基本策略.【例3】求函數(shù)y=+sin2x的最小值.剖析:要求最值,需先進(jìn)行三角恒等變形,化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式.解法一:因?yàn)閟in3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=［(cos2x-cos4x)］sin2x+［(cos2x+cos4x)cos2x］=［cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x］=(cos2x+cos2xcos4x)=cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=+sin2x=cos2x+sin2x=sin(2x+).當(dāng)sin(2x+)=-1時(shí),y取最小值-.解法二:(只需記住三倍角的正、余弦角公式,可避開(kāi)積化和差公式,而較方便地獲解)因?yàn)閟in3xsin3x+cos3xcos3x=(3sinx-4sin3x)sin3x+(4cos3x-3cosx)cos3x=3sin4x-3cos4x+4cos6x-4sin6x=3(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+4(cos2x-sin2x)(cos4x+cos2xsin2x+sin4x)=-3cos2x+4cos2x［(cos2x+sin2x)-sin2xcos2x］=-3cos2x+4cos2x