第6章-1 邏輯代數

第1講邏輯代數1.1邏輯代數1.2邏輯函數及其表示方法教學內容:1.0緒論模擬（analog）信號信號的幅度量值隨著時間的延續(xù)（變化）而發(fā)生連續(xù)變化。

用以傳遞、加工和處理模擬信號的電子電路被稱為模擬電路。數字（digital）信號信號的幅度量值隨著時間的延續(xù)（變化）而呈現離散變化

用于處理數字信號的電路（如變換、傳送、執(zhí)行算術運算和邏輯運算、存儲信號等電路）稱為數字電路。

1.1邏輯代數

數字信號在時間上和數值上均是離散的。數字信號在電路中常表現為突變的電壓或電流圖1.1典型的數字信號（矩形波）１.數字信號２.

數字信號的主要參數一個理想的周期性數字信號，可用以下幾個參數來描繪：

Vm

——信號幅度。T

——信號的重復周期。tW

——脈沖寬度。q

——占空比。其定義為：trtf0.9Um0.5Um0.1UmtwTUm實際的矩形波２.

數字信號的主要參數

兩種邏輯體制：

正邏輯體制規(guī)定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。

負邏輯體制規(guī)定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。采用正邏輯的數字電壓信號

數字信號是一種二值信號，用兩個電平（高電平和低電平）分別來表示兩個邏輯值（邏輯1和邏輯0）。３.正邏輯與負邏輯1938年美國物理學家克勞德.香農第一次將其應用于電話繼電器開關電路的設計,有稱其為開關代數由英國數學家喬治.布爾于1849年提出描述客觀事物因果關系[即邏輯關系]的一種數學方法故也稱之為布爾代數1.1.1邏輯代數的基本運算１.邏輯代數１.邏輯代數：（１）邏輯變量：

用于描述客觀事物對立統(tǒng)一的二個方面。

{0，1}集合：用單個字母或單個字母加下標表示：

是／非；有／無；開／關；低／高電平；（２）基本邏輯運算：

用于描述客觀事物的三種不同的因果關系，包括：與、或、非。２.基本邏輯運算（1）與運算Ｂ.邏輯表達式：Ｃ.邏輯符號：

D.對應芯片74LS08當決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。EABCYABCY00000000000111100001111010101011ABCY&Y=ABCA.與門真值表就低原則：見0取0，

全1才為1。L＝A+B+C

當決定一件事情的幾個條件中，有一個或一個以上條件具備，這件事情就發(fā)生。Ｂ.邏輯表達式：Ｃ.邏輯符號：

D.對應芯片74LS32ABCYE??ABCY00010111110111100001111010101011A.或門真值表YABC1就高原則：見1得1，全0才為0。（2）或運算（3）非運算非邏輯舉例：某事情發(fā)生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發(fā)生；條件不具備時事情才發(fā)生。Ｂ.邏輯表達式：Ａ.真值表Ｃ.邏輯符號：對應芯片74LS04YAERAY0011A1Y

&ABABYYYA

與或非≥11（a）國際標準圖形符號ABYYYABA非或與(b)以前的舊圖形符號

（１）與非——由與運算和非運算組合而成Ａ.真值表Ｃ.邏輯符號：Ｂ.邏輯表達式：見0取1，全1出0ABY３.復合邏輯運算D.對應芯片74LS00（２）或非——由或運算和非運算組合而成３.復合邏輯運算Ａ.真值表Ｃ.邏輯符號：Ｂ.邏輯表達式：見1出0，全0出1ABYD.對應芯片74LS02與門：見“0”取“0”，全“1”出1或門：見“1”取“1”，全“0”出“0”例1：根據輸入波形畫出輸出波形ABY1&ABY1≥1ABY2Y2（3）異或Ａ.真值表Ｃ.邏輯符號：Ｂ.邏輯表達式：輸入相異，輸出為1ABY３.復合邏輯運算D.對應芯片74LS86BAL=10010AB0010111L（4）同或L=A⊙B=Ａ.真值表Ｃ.邏輯符號：Ｂ.邏輯表達式：輸入相同，輸出為1ABYD.無對應芯片&ABYCD≥1（5）與或非ABCDYABCDY00000001001000110100010101100111111011101000100110101011110011011110111111100000Ａ.真值表Ｃ.邏輯符號：Ｂ.邏輯表達式：只有AB或者CD同時具備時,結果才不會發(fā)生D.對應芯片74LS51&YENBA邏輯符號

0

高阻態(tài)0

0

1

1

0

1

11

1

0

111

1

10

：表示任意態(tài)三態(tài)“與非”真值表ABEY輸出高阻功能表6)三態(tài)與非門1.1.2邏輯代數的基本公式1.1.2邏輯代數的基本公式邏輯等式的證明舉例：例1：證明證明：等式的左邊分配律=A+B=等式的右邊互補律例2：證明證明：等式的左邊=等式的右邊互補律分配律吸收律邏輯等式的證明舉例：例3：證明11011000BA0011010101110111邏輯等式的證明舉例：對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量（或邏輯函數）同時取代等式的兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。1.代入定理1.1.3邏輯代數的基本定理令：A＝D＋E已知：則：

將一個邏輯函數Y進行下列變換：

·→＋，＋→·

0→1，1→0

所得新函數表達式叫做L的對偶式，用Ｙ′表示2.對偶定理如:對偶規(guī)則：如果兩個邏輯函數表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等。3.反演定理利用反演規(guī)則，可以方便地求得一個函數的反函數

用表示。將一個邏輯函數Y進行下列變換：

·→＋，＋→·

；

0→1，1→0

原變量→反變量，反變量→原變量。

所得新函數表達式叫做Y的反函數，解：例1.3求以下函數的反函數：應用反演規(guī)則求反函數時注意：（1）保持運算的優(yōu)先順序不變，必要時加括號；（2）變換中，幾個變量的公共非號保持不變；

１.邏輯函數的建立如果以邏輯變量作為輸入,以運算結果作為輸出,那么當輸入變量的取值確定后,輸出的取值便唯一確定,

輸出與輸入之間構成一種函數關系,寫作:Y=F(A,B,C,·····)

邏輯電路ABCY1.2邏輯函數

例1.４

三個人表決一件事情，結果按“少數服從多數”的原則決定，試建立該邏輯函數。第三步：根據題義及上述規(guī)定列出函數的真值表如表。第一步：設置自變量和因變量。第二步：狀態(tài)賦值。對于自變量A、B、C設：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。對于因變量Y設：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。ABCY00000010010011100101110111010111

邏輯函數與普通代數中的函數相比較，有兩個突出的特點：（1）邏輯變量和邏輯函數只能取兩個值0和1。（2）函數和變量之間的關系是由“與”、“或”、

“非”三種基本運算決定的。

一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量Y的值也唯一地確定了，就稱Y是A、B、C的邏輯函數，寫作：

Y=F（A，B，C…）1.邏輯真值表2.邏輯函數（邏輯表達式）3.邏輯（電路）圖4.卡諾圖5.幾種表示方法之間的相互轉換1.2.1邏輯函數的表示方法1．真值表——將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應的函數值排列在一起而組成的表格。

2．邏輯表達式

——由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運算符所構成的表達式。第一步：寫出函數值為1的乘積項；

1用原變量表示

0用反變量表示第二步：將所有使函數值為1

的乘積項相加；

由真值表轉換為函數表達式的基本方法：例如:

由“三人表決”函數的真值表可寫出邏輯表達式：ABCY00000010010011100101110111010111ABCABCABCABC解：該函數有兩個變量，有4種取值的可能組合，計算出每組的函數值，將他們按順序排列起來即得真值表。例1.5

列出下列函數的真值表：由函數表達式可以畫出其相應的邏輯圖。由邏輯圖也可以寫出其相應的函數表達式。3．邏輯電路圖

由邏輯符號及連接導線構成的圖形。解：可用兩個非門、

兩個與門和一個或門組成。例1.6畫出下列函數的邏輯圖：ABABABAB＋AB例1.7寫出如圖所示邏輯圖的函數表達式。解：可由輸入至輸出逐步寫出邏輯表達式：ABBCACL=AB+BC+AC4.幾種表示方法之間的相互轉換1)已知邏輯函數式求真值表例1.8ABCY00000011010011100101110111101111把輸入邏輯變量所有可能取值的組合代入對應函數式算出其函數值2）已知真值表寫邏輯函數式ABCY000000110101011010001011110011113）已知邏輯函數式畫邏輯圖&1≥1Y&1C&ABABCABCABCABC+ABC+ABC4）已知邏輯圖寫邏輯函數式≥1≥1

≥111ABYABA＋BA＋BA＋B＋A＋B1.3邏輯函數的化簡

教學重點：1.邏輯函數的最小項表達式2.邏輯函數的代數化簡法3.邏輯函數的卡諾圖化簡法1.2.3邏輯函數的兩種標準形式1.最小項：在n變量邏輯函數中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這n個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現一次，則稱m為該組變量的最小項——最小項表達式——最大項表達式三變量函數Y=F(A,B,C)的最小項：編號符號01組合式變量表示法01234567m0m1m2m3m4m5m6m7000001010011100101110111四變量函數

Y=F(A,B,C,D)的最小項：m11=m19=五變量函數

Y=F（A，B，C，D，E）的最小項：①在輸入變量的任何一組取值下，必有一個且僅有一個最小項的值為1；②全體最小項之和為1；③任意兩個最小項的乘積為0；④相鄰兩個最小項之和可合并為一項，并消去一個不同的因子2.最小項的性質01組合變量表示000001010011100101110111m0+m1=邏輯相鄰：

兩個最小項只有一個因子不同2.最小項的性質例如：m0+m1+m4+m5=邏輯函數的標準形式之一：最小項表達式推論：任一邏輯函數都可以用唯一最小項之和的形式表示1．邏輯函數式的常見形式

一個邏輯函數的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互轉換。例如：1.3.1邏輯函數的化簡與轉換其中，與—或表達式是邏輯函數的最基本表達形式。2．邏輯函數的最簡“與—或表達式”的標準（1）與項最少，即表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變量數最少，即表達式中“

·

”號最少?；颍?/p>

（1）表達式中乘積項最少。（2）每個乘積項中的因子最少。（1）并項法運用公式，將兩項合并為一項，消去一個變量。如:1.3.2代數法化簡邏輯函數（2）吸收法運用吸收律A+AB=A

，消去多余的與項。如：

1.3.2代數法化簡邏輯函數（3）消去法1.3.2代數法化簡邏輯函數如：（4）配項法

1.3.2代數法化簡邏輯函數如：

在化簡邏輯函數時，要靈活運用這些方法，才能將邏輯數化為最簡。配項

解：例2.1

化簡邏輯函數

（利用）（利用

A+AB=A

）（利用

）例代數法化簡舉例①并項法例②配項法例5化簡③加項法④吸收法吸收例6化簡

代數法化簡小結優(yōu)點：不受變量數目的限制。缺點：沒有固定的步驟可循；

需要熟練運用各種公式和定理；

化簡時需要一定的技巧和經驗；

有時很難判定化簡結果是否最簡。1.什么是卡諾圖？將n變量的相鄰最小項在幾何位置上

相鄰地排列起來所組成的圖形二變量邏輯函數Y=F(A,B)1.3.3邏輯函數的卡諾圖化簡法（自學、不考?。〣ABAAB01

010132AB

AB

AB

AB最小項編號三變量邏輯函數

Y=F(A,B,C)

YA01BC00011110m0m1m2m3m4m5m6m7ABABCCC四變量邏輯函數

Y=F(A,B,C,D)YAB00011110CD00011110m8m9m10m11m12m13m15m14m1m3m2m6m7m5m4m0CACDDDABBBABC00011110010

1324

5760132457612131514891110ABCD0001111000011110ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCABCABCABCABCABCABCABC三變量卡諾圖四變量卡諾圖

YA01BC00011110111100002.用卡諾圖表示邏輯函數1）間接填入法

先將邏輯函數寫成最小項表達式，再填卡諾圖YAB00011110CD000111100

0000000111101112.用卡諾圖表示邏輯函數1）間接填入法YAB00011110CD0001111011100000000001112.用卡諾圖表示邏輯函數

2）直接填入法利用卡諾圖化簡邏輯函數基本原理：由于卡諾圖幾何相鄰（包括對稱相鄰）與邏輯上相鄰性一致，所以幾何相鄰（包括對稱相鄰）的最小項可合并幾何相鄰性：兩個幾何位置相鄰的單元其輸入變量的取值只能有一位不同。0132457612131514891110ABCD0001111000011110ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD對稱相鄰性：任意兩個對稱的單元其輸入變量的取值也只能有一位不同。

（1）

只要有兩個相鄰單元取值同為1，可以將這兩個最小項合并成一項，并消去一個變量。ABC000111100111=BC(A+A)Y=ABC+ABC利用A+A=1的關系

卡諾圖化簡規(guī)則：=BC（2）如果是四個幾何相鄰單元取值同為1，則可以合并，并消去兩個變量。ABC0001111001

1111ABC0001111001

1111Y=A=AC+AC=C

卡諾圖化簡規(guī)則：Y=ABC+ABC+ABC+ABCY=

ABC+ABC+ABC+ABC

=AC(B+B)+AC(B+B)YAB00011110CD00011110111111111（2）如果是四個幾何相鄰單元取值同為1，則可以合并，并消去兩個變量。YAB00011110CD000111101111（3）若八個最小項相鄰，可合并為一項消去三個不同因子11111111A

卡諾圖化簡規(guī)則：利用對稱相鄰性化簡舉例ABCD0001111000011110ABCD00011110000111101111111111Y=BCDY=D總之，2n個相鄰的最小項結合，可以消去n個取值不同變量而合并為1項。

卡諾圖化簡規(guī)則：（1）2個相鄰的最小項結合，可以消去1個取值不同的變量而合并為1項。（3）8個相鄰的最小項結合，可以消去3個取值不同的變量而合并為1項。（2）4個相鄰的最小項結合，可以消去2個取值不同的變量而合并為1項。

用卡諾圖合并最小項的原則（畫圈的原則）

（1）盡量畫大圈，但每個圈內只能含有2n個相鄰項。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數盡量少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項。（4）在新畫的包圍圈中，至少要含有1個末被圈過的

1方格，否則該包圍圈是多余的。ABCD0001111000011110錯誤的圈法正確的圈法1111錯誤舉例：①應包含所有的最小項②矩形組數目最少③矩形組應盡量包含多的最小項卡諾圖化簡步驟：1）畫出對應邏輯函數的卡諾圖2）找出可以合并的最小項的矩形組3）選擇化簡后的乘積項解：（1）由真值表畫出卡諾圖。（2）畫包圍圈合并最小項。

通過這個例子可以看出，一個邏輯函數的真值表是唯一的，卡諾圖也是唯一的，但化簡結果有時不是唯一的。

例2.3

某邏輯函數的真值表，用卡諾圖化簡該邏輯函數。有兩種畫圈的方法，分別寫出表達式YAB00011110CD000111101111111111110000A例2.4（2）用圈0法畫包圍圈，得：

例2.5

已知邏輯函數的卡諾圖，分別用“圈1法”和“圈0法”寫出其最簡與—或式。解：（1）用圈1法畫包圍圈，得：(1)約束項：輸入邏輯變量的取值不是任意的，對取值外加限制;(2)任意項：在某些輸入變量的取值下，函數值為1還是為0不影響電路的功能，這些取值等于1的最小項(3)無關項：約束項、任意項統(tǒng)稱無關項4.具有無關項的邏輯函數及其化簡(4)帶無關項的邏輯函數及其表示例：描述電機的狀態(tài):可用A、B、C三個邏輯變量A=1：表示電機正轉，A=0：表示電機不正轉；B=1：表示電機反轉，B=0：表示電機不反轉；C=1：表示電機停止，C=0：表示電機轉動；ABCY000001010011100101110111×√√×√×××即為約束條件YAB00011110CD0001111011111××××0000000(5)

帶無關項的邏輯函數的化簡解：設紅、綠、黃燈

分別用A、B、C表示，燈亮為1，燈滅為0。

車用L表示，車行L=1，車停L=0。帶無關項的邏輯函數表達式為：

L=∑m（）+∑d（）則函數可寫成

L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）

例2.6在十字路口有紅、綠、黃交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關系。例2.6注意:在考慮無關項時，哪些無關項當作1，哪些無關項當作0，要以盡量擴大卡諾圈、減少圈的個數，使邏輯函數更簡為原則?？紤]無關項時:

不考慮無關項時：解（1）畫出4變量卡諾圖。將1、4、5、6、7、9號小方格填入1；將10、11、12、13、14、15號小方格填入×。（2）合并最小項。注意，1方格不能漏?！练礁窀鶕枰梢匀θ?，也可以放棄。（3）寫出邏輯函數的最簡與—或表達式:不考慮無關項則：例2.7

某邏輯函數輸入是8421BCD碼，其邏輯表達式為：

L（A,B,C,D）=∑m（1,4,5,6,7,9）