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文檔簡介

第二章插值法§5分段低次插值一、多項式插值的問題

二、分段線性插值

三、分段三次Hermite插值一、多項式插值的問題思考：對函數(shù)與求插值多項式，是否多項式的次數(shù)越高逼近精度越好？答案：否！對次數(shù)越高逼近精度越好對次數(shù)越高逼近精度越差(龍格現(xiàn)象)如果在區(qū)間[-5，5]上取11個等距節(jié)點下圖對由拉格朗日插值公式可得到f(x)的10次插值多項式P10(x)從圖中可以看出，P10(x)僅在區(qū)間中部能較好地逼近函數(shù)f(x)，在其它部位差異較大，而且越接近端點，逼近效果越差?？梢宰C明：當插值基點無限加密時，Pn(x)也只能在很小范圍內(nèi)收斂，這一現(xiàn)象稱為龍格(Runge)現(xiàn)象，它表明通過增加基點來提高逼近程度是不宜的。怎么辦?為提高插值精度增加節(jié)點多項式次數(shù)增加龍格現(xiàn)象擬合效果變差矛盾！解決辦法：采用分段低次插值二、分段線性插值1.數(shù)學描述設在[a,b]上給出插值條件：xix0x1…xnf(xi)f0f1…fn求一個折線插值函數(shù)Ih(x)滿足1°Ih(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)2°Ih(xk)=fk，k=0,1,…,n3°Ih(x)在每個小區(qū)間[xk,xk+1]上是線性函數(shù)則稱Ih(x)為分段線性插值函數(shù)可否省略？2.表示方法分段表示3.分段線性插值法舉例在[-5,5]區(qū)間上取5個等分點為插值節(jié)點。解：分段表示……幾點說明：2°可以預見，但n充分大時，Ih(x)能很好逼近f(x)。1°分段線性插值多項式是分段函數(shù)；3°Ih(x)有一個缺點：在插值點處有尖點，即一階導數(shù)不連續(xù)，不夠光滑。下面的分段三次Hermite插值將克服這一缺點。三、分段三次Hermite插值1.數(shù)學描述設在[a,b]上給出插值條件：xix0x1…xnf(xi)f0f1……fn求一個分段插值函數(shù)Ih(x)滿足2°Ih(x)在每個小區(qū)間[xk,xk+1]上是三次多項式則稱Ih(x)為分段三次Hermite插值多項式1°2.兩種表示方法分段表示3.分段三次插值法的優(yōu)缺點優(yōu)點：1°n充分大時，Ih(x)能很好逼近f(x)。2°因為一階導數(shù)連續(xù)，故光滑性較好。缺點：需提供插值點處的一階導數(shù)，這在實際工作中較困難

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