四川省綿陽市2024屆高三二模數(shù)學（文）試題（含答案解析）

綿陽市高中2021級第二次診斷性考試文科數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則復數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復數(shù)的除法運算計算即可.【詳解】由，可得.故選：D.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結合集合交集的定義進行求解即可.【詳解】因為，所以，故選：A3.已知，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】應用，結合數(shù)量積運算即可.【詳解】由，則，得即，解得，因為，所以與的夾角為.故選：C4.若變量x，y滿足不等式組則的最大值是（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)約束條件，作出可行域，平移直線，由直線在y軸上截距最大時，目標函數(shù)取得最大值求解.【詳解】解：由變量x，y滿足作出可行域，如圖所示：令，平移直線，當直線經過點時，直線在y軸上的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值2，故選：D5.已知變量x，y之間的線性回歸方程為，且變量x，y之間的一組相關數(shù)據(jù)如表所示，x2468y58.213m則下列說法正確的是（）A.B.變量y與x是負相關關系C.該回歸直線必過點D.x增加1個單位，y一定增加2個單位【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)及回歸方程求出樣本中心點，再逐項判斷即可得解.【詳解】依題意，，由，解得，A錯誤；回歸方程中，，則變量y與x是正相關關系，B錯誤；由于樣本中心點為，因此該回歸直線必過點，C正確；由回歸方程知，x增加1個單位，y大約增加2個單位，D錯誤.故選：C6.已知為上的減函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調性得到與0.5的大小，再利用為上的減函數(shù)判斷.【詳解】因為，所以，又因為為上的減函數(shù)，所以，故選：B7.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式平方判斷充分性，再通過特殊值法判斷必要性即可得到答案.【詳解】充分性：若，則由平方得，即，故充分性成立，必要性：令，則，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.已知角的終邊與角的終邊關于對稱（為象限角），則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)對稱性確定，，再代入化簡后的，即可求解.【詳解】設角上任一點為（除原點），點關于的對稱點為，落在角的終邊，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，，所以.故選：C9.如圖是的大致圖象，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】數(shù)形結合和導數(shù)分析A選項函數(shù)圖像特征，根據(jù)，奇偶性，單調性，利用排除法選出正確答案.【詳解】對于A選項，研究的圖像可知與軸有兩個交點,且一點為坐標原點,另一個點橫坐標為正，其他函數(shù)都不具備這樣的特點.另外因為時所以為R上增函數(shù)，所以在R上在某一個值左側為減函數(shù)，右側為增函數(shù)，結合零點和絕對值對圖像的影響可判斷A正確.根據(jù)排除D選項，B選項根據(jù)對于都成立可以判斷B為偶函數(shù)，與所給圖像不符，所以B不正確.C選項根據(jù)當時，為上得增函數(shù)與所給圖像不符，所以C不正確.故選：A10.已知數(shù)列的前n項和為，且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求數(shù)列的解析式，再結合數(shù)列的解析式，以及條件，判斷數(shù)列和的單調性，即可判斷選項.【詳解】由條件可知，，當時，，當時，，驗證，當時，，所以，當時，，單調遞減，此時，故A錯誤；，單調遞增，所以，故B錯誤；當時，，成立，當時，，故C錯誤；當時，，當時，單調遞減，當時，數(shù)列取得最大值，，當時，，所以，故D正確.故選：D11.已知曲線與x軸交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，則過A，B，C三點的圓的圓心軌跡為（）A.直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線【答案】A【解析】【分析】首先求點的坐標，再利用，可求得軌跡方程.【詳解】的對稱軸為，由對稱性可知，圓心在上，令，，得，設點在點的左邊，所以點的坐標為，，設圓心為，根據(jù)，得，整理為，當時，此時，，，兩點重合，圓心為的軌跡方程為，所以，則，即圓心，所以圓心的軌跡方程為，而點滿足條件，所以圓心軌跡為一條直線.故選：A12.設分別為橢圓的左，右焦點，以為圓心且過的圓與x軸交于另一點P，與y軸交于點Q，線段與C交于點A．已知與的面積之比為，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可逐步計算出點A坐標，由點A在橢圓上，將其代入橢圓方程得到等式后，借助等式即可計算離心率.【詳解】由題意可得、，，則以為圓心且過的圓的方程為，令，則，由對稱性，不妨取點在軸上方，即，則，即，有，則，又，即有，即，代入，有，即，即在橢圓上，故，化簡得，由，即有，整理得，即，有或，由，故舍去，即，則.故選：B.【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率時，可將已知的幾何關系轉化為關于橢圓基本量a，b，c的方程，利用和轉化為關于的方程，通過解方程求得離心率．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.己知為鈍角，，則_______．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關系和兩角和的正弦公式即可得到答案.【詳解】因為為鈍角，，所以，所以，故答案為：.14.若為奇函數(shù)，則______.【答案】##【解析】【分析】首先求函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的性質，求的值，再驗證函數(shù)為奇函數(shù).【詳解】，由，得或，所以函數(shù)的定義域為，因為奇函數(shù)的定義域關于原點對稱，所以，得，此時，即，函數(shù)為奇函數(shù)，所以.故答案為：15.甲、乙二人用4張不同的撲克牌（其中紅桃3張，方片1張）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.則甲、乙二人抽到的花色相同的概率為______.【答案】##0.5【解析】【分析】由題意得到都抽到是紅桃，然后利用古典概型的概率求解.【詳解】解：甲、乙二人抽到的花色相同的概率為，故答案為：16.已知分別是雙曲線的左，右焦點，過點作E的漸近線的垂線，垂足為P．點M在E的左支上，當軸時，，則E的漸近線方程為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結合雙曲線的對稱性取漸近線，求出點坐標，再列出方程求解即得.【詳解】由雙曲線的對稱性，取漸近線，由直線垂直于直線，得直線：，由與聯(lián)立解得，即，由軸，且，得，而點M在雙曲線E的左支上，因此，即，又，整理得，解得，所以雙曲線E的漸近線方程為.故答案為：【點睛】關鍵點睛：求雙曲線離心率或漸近線的方程問題，由題設條件建立關于的關系式是求解問題的關鍵.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列的前n項和為，且．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】17.;18..【解析】【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件列出方程求解，得出首項和公差，即可求出通項公式；（2）由（1）的結果，利用裂項相消的方法，即可求出結果.小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為,由題意得:解得:，所以的通項公式為，即.【小問2詳解】令，則，即整理得：.18.綿陽市37家A級旅游景區(qū)，在2023年國慶中秋雙節(jié)期間，接待人數(shù)和門票收入大幅增長.綿陽某旅行社隨機調查了市區(qū)100位市民平時外出旅游情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：喜歡旅游不喜歡旅游總計男性203050女性302050總計5050100（1）能否有把握認為喜歡旅游與性別有關？（2）在以上所調查的喜歡旅游的市民中，按性別進行分層抽樣隨機抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人進行訪談，求這兩人是不同性別的概率.附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）有的把握認為喜歡旅游與性別有關（2）【解析】【分析】（1）首先計算與比較大小，即可作出判斷；（2）首先確定男女各2人和3人，再利用古典概型概率公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)列聯(lián)表計算，所以有的把握認為喜歡旅游與性別有關；【小問2詳解】按分層比例可知，隨機抽取的5人中，男性2人，女性3人，設男性2人分別為，，女性3人分別為，5人中任取2人的樣本空間為，共包含10個樣本點，其中2人不同性別包含的樣本為，有6個樣本點，所以5人中隨機抽取2人進行訪談，求這兩人是不同性別的概率.19.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求及a；（2）若周長為48，求的面積.【答案】（1）；（2）84【解析】【分析】（1）結合數(shù)量積的運算及正弦定理，同角三角函數(shù)關系即可求解；（2）結合余弦定理及三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】由，得，由正弦定理得：，因為，則，由，得，所以，則，又，解得，所以；【小問2詳解】，所以①，由余弦定理得：②，由①②得：，則.20.己知直線與拋物線交于A，B兩點，F(xiàn)為E的焦點，直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0．（1）求E的方程；（2）直線分別交直線于兩點，若，求k的取值范圍．【答案】20.21.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，將直線FA，F(xiàn)B的斜率之和坐標化，利用韋達定理代入整理求解系數(shù)；（2）由直線方程，令，用表示坐標，代入利用志達定理將條件轉化為的不等關系，求解不等式即得.【小問1詳解】由，得，設直線與拋物線線交點，的斜率，的斜率，由已知直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0，則①，聯(lián)立方程組，消得，由，且，得，則.由韋達定理得，代入①化簡得，由，解得，故拋物線E的方程為；【小問2詳解】由（1）知，焦點，則，，令，得，故，解得，又，由（1）知，，代入②式得，，且，解得，則，或，故的取值范圍為.21.己知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程：（2）若在上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，即可求切線方程；（2）首先由，確定在上恒成立，再討論和兩種情況，分區(qū)間討論，即可求解的取值范圍.小問1詳解】，且，，所以曲線在處的切線方程為；【小問2詳解】因為，且在上是單調函數(shù)所以在上恒成立，即在上是單調遞增函數(shù)，若，則在上恒為正數(shù)，在上單調遞增，只需，得，若，則在上恒為正數(shù)，而在上單調遞減，則只需，得，綜上可知，的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是確定恒成立，再分情況，分區(qū)間討論，轉化為最值問題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系．（1）求曲線C極坐標方程；（2）若A，B為曲線C上的動點，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）曲線C的參數(shù)方程消參后得普通方程，再由極坐標與直角坐標的關系化為極坐標方程；（2）由，利用曲線C的極坐標方程，表示出和，化簡求的值；【小問1詳解】曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消參得普通方程為，即，則有，所以曲線C極坐標方程為.【小問2詳解】由（1）得，因