微積分 第七版 課件 2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

第五節(jié)

隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)0102能熟練計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)理解隱函數(shù)求導(dǎo)方法一、隱函數(shù)求導(dǎo)方法已知方程式F(x,y)=0確定變量y為x的函數(shù)y=y(x),如何求函數(shù)y對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)y'?具體做法是:

方程式F(x,y)=0等號(hào)兩端皆對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù),然后將含導(dǎo)數(shù)y'的項(xiàng)都移到等號(hào)的左端,而將不含導(dǎo)數(shù)y'的項(xiàng)都移到等號(hào)的右端,經(jīng)過(guò)代數(shù)恒等變形,就得到導(dǎo)數(shù)y'的表達(dá)式,這個(gè)表達(dá)式中允許出現(xiàn)函數(shù)y的記號(hào).在隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算過(guò)程中,要注意應(yīng)用復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則.3若方程式F(x,y)=0分別確定幾個(gè)函數(shù)y=y1(x),y=y2(x),…,則由上述方法求得的導(dǎo)數(shù)y'分別代表這幾個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),它們用一個(gè)表達(dá)式表示,其中出現(xiàn)的函數(shù)y的記號(hào)分別代表這幾個(gè)函數(shù).

在隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的過(guò)程中,必須非常明確變量y為自變量x的函數(shù).下面討論經(jīng)常用到的幾個(gè)變量對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù):考慮變量xy對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù),根據(jù)§2.2導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則2,有(xy)'=y+xy'4考慮變量y2,ey及l(fā)ny對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù),注意到變量y2,ey及l(fā)ny分別為變量y的函數(shù),變量y又為自變量x的函數(shù),因而變量y2,ey及l(fā)ny分別為自變量x的復(fù)合函數(shù),中間變量為變量y,根據(jù)§2.4復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,有(y2)'=2yy'(ey)'=eyy'

至于其他有關(guān)變量對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)基本運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)基本公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,容易得到結(jié)果.如(y3)'=3y2y',(siny)'=cosy·y'等.5例1

方程式x2+3xy+y2=1確定變量y為x的函數(shù),求導(dǎo)數(shù)y'.解:方程式x2+3xy+y2=1等號(hào)兩端皆對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù),有2x+3(y+xy')+2yy'=0即有3xy'+2yy'=-(2x+3y)得到(3x+2y)y'=-(2x+3y)所以導(dǎo)數(shù)

6例2方程式y(tǒng)=x3+xey確定變量y為x的函數(shù),求導(dǎo)數(shù)y'.解:方程式y(tǒng)=x3+xey等號(hào)兩端皆對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù),有y'=3x2+(ey+xeyy')即有y'-xeyy'=3x2+ey得到(1-xey)y'=3x2+ey所以導(dǎo)數(shù)

7例3方程式y(tǒng)=xlny確定變量y為x的函數(shù),求導(dǎo)數(shù)y'.解:方程式y(tǒng)=xlny等號(hào)兩端皆對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù),有

即有

得到

所以導(dǎo)數(shù)

8二、求隱函數(shù)y=y(x)在其平面曲線上點(diǎn)(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)值首先，求出導(dǎo)數(shù)y'；其次，在導(dǎo)數(shù)y'的表達(dá)式中,自變量x用數(shù)x0代入；則因變量y用數(shù)y0代入所得到的數(shù)值就是所求導(dǎo)數(shù)值9例4方程式y(tǒng)sinx+ey-x=1確定變量y為x的函數(shù),則導(dǎo)數(shù)值解:方程式y(tǒng)sinx+ey-x=1等號(hào)兩端皆對(duì)自變量x求導(dǎo)數(shù),有(y'sinx+ycosx)+eyy'-1=0即有y'sinx+eyy'=1-ycosx=

10得到(sinx+ey)y'=1-y