和角差角倍角公式及應(yīng)用

兩角和與兩角差的三角函數(shù)【考點(diǎn)指津】掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能運(yùn)用化歸思想（將不同角化成同角等）解題．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵（，）．=3\*GB2⑶．3、，其中．【典型例題】例1已知sinα－sinβ=－eq\f(1,3)，cosα－cosβ=eq\f(1,2)，求cos(α－β)的值．分析由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右邊是關(guān)于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知條件是關(guān)于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以將已知式兩邊平方．解∵sinα－sinβ=－eq\f(1,3)，①cosα－cosβ=eq\f(1,2)，②①2＋②2，得2－2cos(α－β)=eq\f(13,36)．∴cos(α－β)=點(diǎn)評(píng)審題中要善于尋找已知和欲求的差異，設(shè)法消除差異．例2求eq\f(2cos10°-sin20°,cos20°)的值．分析式中含有兩個(gè)角，故需先化簡(jiǎn)．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函數(shù)值已知，則可將兩個(gè)角化成一個(gè)角．解∵10°=30°－20°，∴原式=eq\f(2cos(30°-20°)-sin20°,cos20°)=eq\f(2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°,cos20°)=eq\f(eq\r(3)cos30°,cos20°)=eq\r(3)．點(diǎn)評(píng)化異角為同角，是三角變換中常用的方法．例3已知：sin(2α+β)=－2sinβ．求證：tanα=3tan(α+β)．分析已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要設(shè)法將已知式中的角轉(zhuǎn)化成欲求式中的角．解∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα．若cos(α+β)≠0，cosα≠0，則3tan(α+β)=tanα．點(diǎn)評(píng)審題中要仔細(xì)分析角與角之間的關(guān)系，善于運(yùn)用整體思想解題，此題中將α+β看成一個(gè)整體例4求下列各式的值（1）tan10°＋tan50°+eq\r(3)tan10°tan50°；(2)eq\f(（eq\r(3)tan12°-3）csc12°,4cos212°-2)．(1)解原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+eq\r(3)tan10°tan50°=eq\r(3)．（2）分析式中含有多個(gè)函數(shù)名稱，故需減少函數(shù)名稱的個(gè)數(shù)，進(jìn)行切割化弦．解原式=eq\f(（eq\r(3)·eq\f(sin12°,cos12°)－3）eq\f(1,sin12°),2cos24°)===點(diǎn)評(píng)（1）要注意公式的變形運(yùn)用和逆向運(yùn)用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=sin(x+φ)的運(yùn)用；（2）在三角變換中，切割化弦是常用的變換方法．【知能集成】審題中，要善于觀察已知式和欲求式的差異，注意角之間的關(guān)系；整體思想是三角變換中常用的思想．在三角變換中，要注意三角公式的逆用和變形運(yùn)用，特別要注意如下公式：tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］；【課堂演練】1．cos105°的值為（）A．eq\f(eq\r(6)＋eq\r(2),4)B．eq\f(eq\r(6)－eq\r(2),4)C．eq\f(eq\r(2)－eq\r(6),4)D．eq\f(－eq\r(6)－eq\r(2),4)2．對(duì)于任何α、β∈（0，eq\f(π,2)），sin(α+β)與sinα+sinβ的大小關(guān)系是（）A．sin(α+β)＞sinα+sinβB．sin(α+β)＜sinα+sinβC．sin(α+β)=sinα+sinβD．要以α、β的具體值而定3．已知π＜θ＜eq\f(3π,2)，sin2θ=a，則sinθ+cosθ等于（）A．eq\r(a+1)B．－eq\r(a+1)C．eq\r(a2+1)D．±eq\r(a2+1)4．已知tanx=eq\f(1,2)，則cos2x=．5．cos200°cos80°+cos110°cos10°=．6．eq\f(1,2)（cos15°+eq\r(3)sin15°）=．7．化簡(jiǎn)1+2cos2θ－cos2θ=．8．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)=．9．eq\f(1,1－tanθ)－eq\f(1,1＋tanθ)=【訓(xùn)練反饋】1．已知0＜α＜eq\f(π,2)＜β＜π，sinα=eq\f(3,5)，cos(α+β)=－eq\f(4,5)，則sinβ等于（）A．0B．0或eq\f(24,25)C．eq\f(24,25)D．0或－eq\f(24,25)2．eq\f(sin7°+cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)的值等于（）A．2+eq\r(3)B．eq\f(2+eq\r(3),2)C．2－eq\r(3)D．eq\f(2－eq\r(3),2)3．cos75°+cos15°的值等于（）A．eq\f(eq\r(6),2)B－eq\f(eq\r(6),2)C．－eq\f(eq\r(2),2)D．eq\f(eq\r(2),2)4．若α是銳角，且sin(α－eq\f(π,6))=eq\f(1,3)，則cosα的值是．5．coseq\f(π,7)coseq\f(2π,7)coseq\f(3π,7)=．6．化簡(jiǎn)eq\f(1+sin2θ-cos2θ,1+sin2θ+cos2θ)=．7已知sin(α+β)=1，求證：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．8．已知tanθ=eq\f(1,2)，tanφ=eq\f(1,3)，且θ、φ都是銳角．求證：θ+φ=45°．9．已知cos(α－β)=－eq\f(4,5)，cos(α+β)=eq\f(4,5)，且（α－β）∈（eq