（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十篇 圓錐曲線與方程《第59講 雙曲線》理（含解析） 蘇教版

A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：45分鐘滿分：80分)一、填空題(每小題5分，共35分)1．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的離心率為2，則a＝________.解析∵b＝eq\r(3)，∴c＝eq\r(a2＋3)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，∴a＝1.答案12．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為________．解析焦點(diǎn)(c,0)到漸近線y＝eq\f(b,a)x的距離為eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，則由題意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).答案eq\r(5)3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程是y＝eq\r(3)x，它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝24x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為________．解析由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝6，a2＋b2＝c2\f(b,a)＝\r(3)，))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝9，b2＝27.))答案eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝14．(2011·湖南卷改編)設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a＞0)的漸近線方程為3x±2y＝0，則a＝________.解析雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的漸近線方程為3x±ay＝0與已知方程比較系數(shù)得a＝2.答案25．(2011·青島一檢)設(shè)F1、F2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在雙曲線上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝________.解析如圖，由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0可得eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，又由向量加法的平行四邊形法則可知?PF1QF2為矩形，因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，故有|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝2c＝2eq\r(10).答案2eq\r(10)6．(2011·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線8kx2－ky2＝8的漸近線方程為________．解析由8kx2－ky2＝8，得其漸近線方程為8kx2－ky2＝0(k≠0)，即y2＝8x2，所以y＝±2eq\r(2)x.答案y＝±2eq\r(2)x7．(2011·南京模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A、F，它的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為B，若A是線段BF的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為________．解析由題意知，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,c)，0))，A(a,0)，F(xiàn)(c,0)，于是A是線段BF的中點(diǎn)，得c－eq\f(a2,c)＝2a，∴c2－a2＝2ac，∴e2－2e－1＝0.又e＞1，所以e＝eq\r(2)＋1.答案eq\r(2)＋1二、解答題(每小題15分，共45分)8．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b＞a＞0)的半焦距為c，直線l過(guò)(a,0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為eq\f(\r(3),4)c，求雙曲線的離心率．解由l過(guò)兩點(diǎn)(a,0)、(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點(diǎn)到l的距離為eq\f(\r(3),4)c，得eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),4)c.將b＝eq\r(c2－a2)代入，平方后整理，得16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c2)))2－16×eq\f(a2,c2)＋3＝0.令eq\f(a2,c2)＝x，則16x2－16x＋3＝0，解得x＝eq\f(3,4)或x＝eq\f(1,4).由e＝eq\f(c,a)，得e＝eq\r(\f(1,x))，故e＝eq\f(2\r(3),3)或e＝2.∵0＜a＜b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＞eq\r(2)，∴應(yīng)舍去e＝eq\f(2\r(3),3)，故所求離心率e＝2.9．求適合下列條件的雙曲線方程．(1)焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn)(3，－4eq\r(2))、eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5)).(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y＝0，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(eq\r(6)，2)．解(1)設(shè)所求雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則因?yàn)辄c(diǎn)(3，－4eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5))在雙曲線上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，由此得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(32,a2)－\f(9,b2)＝1，\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1.))令m＝eq\f(1,a2)，n＝eq\f(1,b2)，則方程組化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32m－9n＝1，25m－\f(81,16)n＝1.))解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,16)，n＝\f(1,9).))∴a2＝16，b2＝9.所求雙曲線方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)由雙曲線的漸近線方程y＝±eq\f(2,3)x，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0)．∵雙曲線過(guò)點(diǎn)P(eq\r(6)，2)，∴eq\f(6,9)－eq\f(4,4)＝λ，λ＝－eq\f(1,3)，故所求雙曲線方程為eq\f(3,4)y2－eq\f(1,3)x2＝1.10．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且F1F2＝2eq\r(13)，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比為3∶7.(1)求這兩曲線方程；(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值．解(1)由已知，得c＝eq\r(13)，設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a，b，雙曲線實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為m、n，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.故橢圓方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,36)＝1，雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.(2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，則PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2eq\r(13)，故cos∠F1PF2＝eq\f(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)－F1F\o\al(2,2),2PF1·PF2)eq\f(＝102＋42－2\r(13)2,2×10×4)＝eq\f(4,5).B級(jí)綜合創(chuàng)新備選(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．(2011·天津卷改編)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－1)，則雙曲線的焦距為________．解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(p,2)＝4，－\f(p,2)＝－2，－1＝－2·\f(b,a)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，a＝2，b＝1))?c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5).∴雙曲線的焦距2c＝2eq\r(5).答案2eq\r(5)2．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3PF1＝4PF2，則△PF1F2的面積是________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1－PF2＝2，3PF1＝4PF2，))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF1＝8，PF2＝6.))又由F1F2＝10可得△PF1F2是直角三角形，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1×PF2＝24.答案243．如圖，已知雙曲線以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A、B為左、右焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)C、D兩頂點(diǎn)．若AB＝4，BC＝3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由題意得B(2,0)，C(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝a2＋b2，\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，b2＝3，))∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.答案x2－eq\f(y2,3)＝14．過(guò)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B.若∠AOB＝120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為________．解析如圖，由題知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，又OA＝a，OF＝c，∴eq\f(a,c)＝eq\f(OA,OF)＝cos60°＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c,a)＝2.答案25．(2011·揚(yáng)州調(diào)研)已知點(diǎn)P是雙曲線x2－y2＝2上的點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝________.解析設(shè)P(x，y)，則Q(x，－y)，且x2－y2＝2.所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x，y)·(x，－y)＝x2－y2＝2.答案26．(2011·山東省濟(jì)寧模擬)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M(1，m)(m＞0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值是________．解析由拋物線定義，得1＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝8，從而M(1,4)，又A(－a,0)，于是由eq\f(4,1＋a)＝eq\f(1,a)，得a＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)二、解答題(每小題15分，共30分)7．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．(1)解∵e＝eq\r(2)，∴設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.又∵雙曲線過(guò)(4，－eq\r(10))點(diǎn)，∴λ＝16－10＝6，∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明法一由(1)知a＝b＝eq\r(6)，c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，∴kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝eq\f(m2,－3)，又點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，∴m2＝3，∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.法二∵eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq\r(3))(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2.∵M(jìn)在雙曲線上，∴9－m2＝6，∴m2＝3，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.(3)解∵在△F1MF2中，F(xiàn)1F2＝4eq\r(3)，且|m|＝eq\r(3)，∴S△F1MF2＝eq\f(1,2)·F1F2·|m|＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.8．(2011·廣東卷)設(shè)圓C與兩圓(x＋eq\r(5))2＋y2＝4，(x－eq\r(5))2＋y2＝4中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切．(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)，\f(4\r(5),5)))，F(xiàn)(eq\r(5)，0)，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求|MP－FP|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．解(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.圓(x＋eq\r(5))2＋y2＝4的圓心為F1(－eq\r(5)，0)，半徑為2.圓(x－eq\