線性代數(shù)第二章

第二章矩陣第一節(jié)矩陣的概念第二節(jié)矩陣的運算第三節(jié)逆陣第四節(jié)矩陣的初等變換第五節(jié)分塊矩陣

一、矩陣概念的引入

二、矩陣的定義

三、特殊矩陣

四、矩陣舉例

五、小結(jié)第一節(jié)矩陣的概念

1.線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項一、矩陣概念的引入對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究。線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為2.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B.四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站到站其中表示有航班.為了便于計算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表:這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.二、矩陣的定義由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.簡稱矩陣.記作簡記為元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣。例如是一個實矩陣,是一個復矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣.（1）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的。例如三、特殊矩陣

（2）只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量)。只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量)。例如是一個3階方陣。（3）行數(shù)與列數(shù)都等于

n

的矩陣

A，稱為

n

階方陣，也可記作

An。主對角線副對角線（4）三角方陣：非零元素只出現(xiàn)在主對角線及其上的方陣稱為上三角方陣；非零元素只出現(xiàn)在主對角線及其下的方陣稱為下三角方陣。

上三角方陣：下三角方陣：

稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（5）形如的方陣,不全為0記作（6）數(shù)量方陣：主對角線上是相同的非零元素，其余元素全為零的方陣稱為數(shù)量方陣，即

（7）方陣稱為單位矩陣（或單位陣）。全為1（8）對稱方陣：對于

n階方陣，如果

aij

=aji

，則稱之為對稱方陣，如：四、矩陣舉例矩陣在自然科學、工程技術(shù)及經(jīng)濟領(lǐng)域中常常被應用，在對許多實際問題作數(shù)學描述時，都要用到矩陣的概念，這里給出幾個簡單的例子。例1間的關(guān)系式線性變換.系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應關(guān)系.若線性變換為稱之為恒等變換.對應單位陣.線性變換對應這是一個以原點為中心旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換.例2甲地兩城鎮(zhèn)a、b與乙地三城鎮(zhèn)x、y、z的通路情況如圖，線上的數(shù)字表示通路的總數(shù)。由此可以用通路矩陣來表示這些信息，以便存儲、計算。43221abxyz通路矩陣的行表示甲地的城鎮(zhèn)，列表示乙地的城鎮(zhèn)，其中元素表示城鎮(zhèn)間的通路數(shù)。例3

天氣的馬爾可夫鏈：假設(shè)我們把某市的天氣分為3種狀態(tài)：晴，陰或下雨。若今天陰，則明天晴的概率為0.5，陰的概率為0.25，下雨的概率為0.25。如果今天晴，或今天下雨，則明天天氣會出現(xiàn)另外的概率。這些概率可以通過觀察本市以往幾年每天天氣的變化趨勢來確定。用矩陣來表示這些概率是很方便的，如矩陣中的概率稱為轉(zhuǎn)移概率，矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣。轉(zhuǎn)移矩陣必須滿足兩個條件：

矩陣中的每一個元素都是非負實數(shù)，并且每一列元素相加都等于1。以當前的狀態(tài)來預測下一段時間不同狀態(tài)的概率模型，稱為馬爾可夫鏈。五、小結(jié)(1)矩陣的概念(2)特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對角矩陣;零矩陣；三角方陣；對稱方陣；第二節(jié)

矩陣的運算

一、矩陣的線性運算

二、矩陣的乘法及方陣的冪

三、矩陣的轉(zhuǎn)置

四、方陣的行列式

五、小結(jié)一、矩陣的線性運算

（一）同型矩陣與矩陣相等

1.兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)相等時，稱為同型矩陣。例如為同型矩陣。

2.兩個矩陣A=(aij

)，B=(bij

)為同型矩陣，并且對應元素相等，即則稱矩陣A與B相等，記作A=B

。例1設(shè)解

1.定義：設(shè)有兩個m×n

矩陣A=(aij

)，B=(bij

)

，那末矩陣A與B

的和記作A+B，規(guī)定為（二）矩陣的加法說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算。例如2.矩陣加法的運算規(guī)律例2

已知求A+B和A－B

。解1.

定義（三）數(shù)與矩陣相乘數(shù)l

與矩陣A

的乘積記作lA

或

Al

，規(guī)定為2.數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算。（設(shè)為矩陣，為數(shù)）例3甲乙兩臺車床生產(chǎn)種1、2、3三型號的螺絲，一天的產(chǎn)量可以用下面矩陣表示如果要求產(chǎn)量提高10%，則一天的產(chǎn)量為：

甲乙123例4已知且A+2X=B，求X。解例5假設(shè)我們已知學生甲，乙，丙，丁4人數(shù)學、語文、英語3門課的成績。每個學生一學期考試3次，按100分為標準評定成績。對這3次考試，我們以學生為行，課程為列各構(gòu)成一個考試成績矩陣，即若期終總成績加權(quán)計分，前兩次測驗每次乘0.25，期終考試乘0.5，每個學生每門課程的總成績矩陣為某廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種型號的產(chǎn)品，矩陣

A

表示一年中的各車間生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量，矩陣B

表示各種產(chǎn)品的單位價格（元）及單位利潤（元），矩陣C

表示各車間的總收入和總利潤：

二、矩陣的乘法及方陣的冪（一）引例

則A、B、C

的元素之間的關(guān)系如右：這種由矩陣

A、B決定矩陣C

的方法就叫做矩陣的乘法。即（二）矩陣的乘法

1.定義：設(shè)A=(aij)是一個m×s

矩陣，B=(bij)是一個

s×n

矩陣，則規(guī)定矩陣A

與矩陣B

的乘積是

m×n

一個矩陣C=(cij)

，其中并把此乘積記為C=AB，即由此定義，一個1×s的行矩陣與一個s×1的列矩陣的乘積是一個一階方陣，也就是一個數(shù)：注意：（1）只有當左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才可以相乘；（2）乘積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)；（3）乘積矩陣的第

i

行第

j

列元素是左矩陣的第

i

行與右矩陣的第

j

列的對應元素的乘積之和。例6設(shè)例7故解只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘。例如不存在.解=(）例8

計算2.矩陣乘法的運算規(guī)律（其中為數(shù)）;(5)

一般不滿足交換律，即。例9已知，，求AB

及BA。解

例10已知，，求AB

及BA。解

注：兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。由于兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣，所以矩陣的乘法一般不滿足消去律：即當AB=AC且A≠

O

時，不一定有B=C。如

而矩陣的乘法一般不滿足交換律，但也有例外，比如設(shè)則有事實上，數(shù)量方陣與任何同階方陣都是可交換的。利用矩陣乘法與矩陣相等的概念，可以把線性變換寫成矩陣形式：Y=AX，其中同樣，也可以把線性方程組寫成矩陣形式：AX=B，其中例11如果今天股票市場的行情上揚，歷史數(shù)據(jù)表明明天上揚的概率為60%，持平的概率為20%，下滑的概率為20%；如果今天股票市場的行情持平，則明天上揚的概率為40%，持平的概率為20%，下滑的概率為40%；如果今天股票市場的行情下滑，明天上揚的概率為20%，持平的概率為20%，下滑的概率為60%（1）為上述問題建一個馬爾可夫鏈，即給出轉(zhuǎn)移矩陣A。解

（1）轉(zhuǎn)移矩陣為（2）如果今天股票上揚的概率為30%，持平的概率為10%，下滑的概率為60%，那么明天股票市場各種趨勢的概率是多少？后天呢？（3）長久下去，股票市場各種趨勢的概率是多少？（今天）上揚持平下滑（明天）上揚持平下滑（2）用p1，p2

，p3分別表示股票今天上揚，持平，下滑的概率，用q1，q2

，q3分別表示股票明天上揚，持平，下滑的概率，則有當p1=0.3，p2

=0.1，p3=0.6時，可得同理，用r1，r2

，r3分別表示股票后天上揚，持平，下滑的概率，則有（3）長久下去，股票市場各種趨勢的概率記為（顯然，。）設(shè)第n

天的股票市場各種趨勢的概率記為Xn

，則而

AXn

=Xn

+1，所以即(A-E)X=O

，于是可得如果一個馬爾可夫鏈能夠達到穩(wěn)定狀態(tài)，而其轉(zhuǎn)移矩陣為n

階方陣A，則其穩(wěn)定狀態(tài)就是滿足AX=X的

n×1矩陣X。但并不是所有的馬爾可夫鏈都能達到穩(wěn)定狀態(tài)，如

（三）方陣的冪利用矩陣的乘法，可以定義方陣的冪。定義設(shè)A為n

階方陣，k為正整數(shù)，則k

個A

的連乘積稱為方陣A

的k

次冪，記作Ak

，即（k個A）方陣的冪滿足下面運算律：

（2）（1）解例12由此歸納出用數(shù)學歸納法證明當時，顯然成立.假設(shè)時成立，則時，所以對于任意的都有注意：由于矩陣的乘法一般不滿足交換律，所以一般來講，此外，若Ak

=O，也不一定有A=O。如：而定義把矩陣A

的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

。例三、矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)例13

已知解法1解法2注意：（1）如果A

是對稱方陣，則A=AT

。（2）如果AT

=-A，則A

是反對稱方陣。四、方陣的行列式定義由n

階方陣A

的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣A的行列式，記作|A|

或detA

。運算性質(zhì)例14

設(shè)證明。

證

于是

而顯然矩陣運算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣方陣的行列式五、小結(jié)第三節(jié)

逆陣

一、概念的引入

二、逆陣的概念和性質(zhì)

三、逆陣的求法

四、小結(jié)則矩陣稱為的可逆矩陣或逆陣。一、概念的引入在數(shù)的運算中，當數(shù)a≠0

時，有其中為的倒數(shù)，（或稱的逆）；在矩陣的運算中，單位陣E

相當于數(shù)的乘法運算中的1，則對于矩陣A，如果存在一個矩陣A－1，使得它的系數(shù)矩陣是一個n

階方陣A，則這個線性變換的矩陣形式表示式為：Y=AX

，其中給定線性變換由克萊姆法則知，若|A|≠0，則從上面線性變換中可以唯一的解出變量

x1，x2，…，xn，且可以用變量y1，y2，…，yn

線性表示，即這是一個從y1，y2，…，yn

到

x1，x2，…，xn

的線性變換，稱為前面線性變換的逆變換。它的系數(shù)矩陣也是一個n

階方陣

B，則此線性變換的矩陣形式表示式為：

可見

AB=E。于是，BA=E

。這樣就有

AB=BA=E

。。

X=BY把X=BY代入Y=AX得Y=AX=A(BY)=(AB)Y把Y=AX代入X=BY得X=BY=B(AX)=(BA)X二、逆陣的概念和性質(zhì)定義對于n

階方陣A

，如果有一個n

階方陣B，使得AB=BA=E

，則說方陣A

是可逆的，并把方陣B

稱為A

的逆矩陣。例

1設(shè)（1）若A

是可逆矩陣，則A

的逆矩陣是唯一的。設(shè)B

和C

是A

的可逆矩陣，則有可得所以A

的逆矩陣是唯一的，即說明：（2）逆陣是相互的。，則，。若

例2

設(shè)解設(shè)是

的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法又因為所以伴隨矩陣的定義：行列式|A|

的各個元素的代數(shù)余子式Aij

所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A

的伴隨矩陣。故同理可得伴隨矩陣的性質(zhì)：證明則定理1

矩陣A可逆的充要條件是|A|≠0，且

證明若A

可逆，其中A*為矩陣A

的伴隨矩陣。按逆矩陣的定義得證畢。奇異矩陣與非奇異矩陣的定義：當

|A|=0時，A稱為奇異方陣，當

|A|≠0時，A

稱為非奇異方陣。

A

為可逆方陣|A|≠0A

為非奇異方陣推論證明逆矩陣的運算性質(zhì)證明證明三、逆陣的求法例3

當ad－bc

≠0時，求A的逆陣。解由于所以A可逆，而則于是

此題的結(jié)果可以看作二階方陣求逆陣的公式來記憶。如則

例4

求方陣的逆矩陣.解同理可得故解例5例6

設(shè)解于是例7例8解給方程兩端左乘矩陣給方程兩端右乘矩陣得給方程兩端左乘矩陣得給方程兩端右乘矩陣在逆陣存在的前提下，有下面結(jié)果：（1）若AX=B，則X=A－1B

；（2）若XA=B，則X=BA－1

；（3）若AXB=C，則X=A－1CB－1

；這是利用逆陣求解矩陣方程。解

例9事實上，對角方陣的逆陣仍為對角方陣。四、小結(jié)逆矩陣的概念及運算性質(zhì).逆矩陣的計算方法：逆矩陣存在第四節(jié)

矩陣的初等變換

一、初等變換的概念

二、矩陣的秩

三、初等方陣

四、利用初等變換求逆陣

五、小結(jié)一、初等變換的概念

利用消元法求解線性方程組時，常會：（1）將兩個方程位置對調(diào)；（2）一個方程的兩邊同乘一個非零常數(shù)；（3）將一個方程的兩邊同乘一個非零常數(shù)后加到另一個方程上。這三種變換稱為線性方程組的初等變換，線性方程組經(jīng)過初等變換后其解不變。從矩陣的角度去看方程組的初等變換，就會有矩陣的初等變換的概念。（1）對調(diào)變換：對調(diào)i，j

兩行（列），記作（2）數(shù)乘變換：第i

行（列）乘以k，記作（3）乘加變換：第j

行（列）乘以k

加到第i

行（列）上，記作矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。

定義對矩陣進行以下三種變換，稱為矩陣的初等行（列）變換：

定義若矩陣A

經(jīng)過有限次的初等變換變成矩陣B，則稱矩陣A

與B

等價，記作等價的性質(zhì)：（1）自反性：（2）對稱性：若，則（3）傳遞性：若，，則表示A

經(jīng)過一次對調(diào)變換得到B；表示A

經(jīng)過一次數(shù)乘變換得到B；表示A

經(jīng)過一次乘加變換得到B。這三種初等變換都是可逆的，其逆變換仍是同種變換。矩陣經(jīng)過初等變換后，所具有的某些特性保持不變。

定理非奇異方陣A

經(jīng)過有限次的初等變換后得到的方陣B

仍為非奇異方陣，反之亦然。例1

設(shè)，試用初等行變換判斷

A

是否可逆。解而所以|A|≠0，即A

可逆。我們也可以將

A

一直化為單位陣：這個過程具有一般性，而由此可得推論：

推論任何非奇異方陣都可以經(jīng)過有限次的初等行變換化為單位陣。顯然，k≤min{m，n}，且m×n

的矩陣A

的k

階子式共有個。二、矩陣的秩1.矩陣的k

階子式

定義在矩陣A

中任取k

行k

列，位于交叉點的k2

個元素按原次序構(gòu)成的一個k

階行列式，稱為矩陣A

的k

階子行列式，簡稱k

階子式。當子式的值不為零時，稱為非零子式。2.矩陣的秩的概念

定義矩陣A

的非零子式的最高階數(shù)r

稱為矩陣A

的秩，記作r(A)=r

。說明：（1）r(A)≤min{m，n}；（2）若A

有一個k

階子式不為零，則r(A)≥

k；（3）若A

的所有k+1階子式都為零，則r(A)≤

k；（4）規(guī)定零矩陣的秩為零；（5）矩陣的秩是唯一的；（6）r(A)=r(AT

)

。例2

求的秩。

解二階子式，而三階子式全為零，則r(A)=2

。

例3設(shè)A

為n

階非奇異方陣，求r(A)

。

解由于

A

為非奇異方陣，所以|A|

≠0即A

的n

階子式不為零，于是r(A)=n

。

定義當方陣的秩等于方陣的階數(shù)時，稱之為滿秩方陣；當方陣的秩小于方陣的階數(shù)時，稱之為降秩方陣。滿秩方陣可逆方陣非奇異方陣|A|≠0定義若矩陣滿足下列兩個條件：（1）若有零行，則零行位于非零行的下方；（2）每個非零行從左邊數(shù)第一個不為零的元素前面零的個數(shù)逐行增加，則稱之為行階梯形矩陣。如都是行階梯形矩陣。

定義每行第一個非零元素為1，且這些1所在列的其它元素都為零的行階梯形矩陣，稱為最簡行階梯形矩陣，簡稱行最簡形。如

就是行最簡形矩陣。任意的矩陣A，總可以經(jīng)過初等行變換化為行階梯形矩陣及行最簡形。任意的矩陣A

經(jīng)過初等行變換化成行最簡形是唯一的。例4用初等行變換將矩陣A

化成行階梯形矩陣和行最簡形。解這就是行階梯形矩陣。這就是行最簡形矩陣。例5解行階梯形矩陣的秩=非零行的行數(shù)顯然，非零行的行數(shù)為2，例6已知，求矩陣的秩。解對矩陣做初等行變換定理

初等變換不改變矩陣的秩?！舫醯茸儞Q求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。例7設(shè)，求矩陣的秩。解對矩陣

A

作初等行變換成行階梯形矩陣：由階梯形矩陣有三個非零行可知三種初等變換對應著三種初等矩陣。

定義

由單位方陣E

經(jīng)過一次初等變換而得到的方陣稱為初等方陣。三、初等方陣1.初等對調(diào)方陣←第i行←第j行左乘于A，相當于對

A施行了右乘于A，相當于對

A施行了←第i行←第j行2.初等數(shù)乘方陣左乘于A，相當于對

A施行了右乘于A，相當于對

A施行了←第i行3.初等乘加方陣↑第i列↑第j列←第i行←第j行例8解初等方陣的性質(zhì)：（1）初等方陣的轉(zhuǎn)置仍為初等方陣；（2）