（江蘇專用）高三數學一輪總復習 提升考能、階段驗收專練卷（四）理-人教高三數學試題

提升考能、階段驗收專練卷(四)立體幾何(時間：80分鐘滿分：120分)Ⅰ.小題提速練(限時35分鐘)填空題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．已知圓錐的軸截面為邊長為2的等邊三角形，則圓錐的體積等于________．解析：V＝eq\f(1,3)·π·eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).答案：eq\f(\r(3)π,3)2.如圖所示，E、F分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的平面ADD1A1、平面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的平面DCC1D答案：②3．(2016·鹽城中學調研)對于空間中的三條不同的直線，有下列三個條件：①三條直線兩兩平行；②三條直線共點；③有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，能作為這三條直線共面的充分條件的有________．解析：①中，三條直線兩兩平行有兩種情況：一是一條直線平行于其他兩條平行直線構成的平面；二是三條直線共面．②中，三條直線共點最多可確定3個平面，所以當三條直線共點時，三條直線的位置關系有兩種情況：一是一條直線與其他兩條直線構成的平面相交；二是三條直線共面．③中，條件一定能推出三條直線共面．故只有③是空間中三條不同的直線共面的充分條件．答案：③4．已知△ABC中，A∈α，BC∥α，BC＝6，∠BAC＝90°，AB，AC與平面α分別成30°，45°的角，則BC到平面α的距離為________．解析：令BC到α的距離為h，則AC＝eq\r(2)h，AB＝2h，所以6h2＝36，所以h＝eq\r(6).答案：eq\r(6)5．(2016·蘇北四市質檢)已知棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，M分別為線段BD1，B1C1上的點，若eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，則三棱錐M-PBC的體積為________．解析：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因為eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，所以點P到平面BCC1B1的距離為d＝eq\f(1,3)C1D1＝eq\f(1,3)×3＝1，所以VM-PBC＝VP-MBC＝eq\f(1,3)·S△MBC·d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×1＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)6．在三棱錐A-BCD中，側棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則該三棱錐外接球的表面積為________．解析：設兩兩垂直的三條側棱分別為a，b，c，可以得到eq\f(1,2)ab＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,2)bc＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)ac＝eq\f(\r(6),2)，解得a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3).所以2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)＝eq\r(6)，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π.答案：6π7．在正四面體ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足為O，設M是線段AO上一點，且∠BMC＝90°，則eq\f(AM,MO)的值為________．解析：如圖，連結OB，設正四面體的棱長為a，則OB＝eq\f(\r(3),3)a，MB＝eq\f(\r(2),2)a，故OM＝eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,2)AO，則eq\f(AM,MO)＝1.答案：18．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一個動點，則PM的最小值為________．解析：作CH⊥AB于H，連結PH.∵PC⊥平面ABC，∴PH⊥AB，PH為PM的最小值，則CH＝2eq\r(3)，PC＝4，∴PH＝2eq\r(7).答案：2eq\r(7)9．(2016·蘇州中學檢測)給定下列四個命題：①若一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中，為真命題的是________．解析：由面面平行的判定定理可知①不正確；由面面垂直的判定定理可知②正確；垂直于同一直線的兩條直線可能相互平行、相交，也可能異面，所以③不正確；由面面垂直的性質定理可知④正確．答案：②④10.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論為________(注：把你認為正確的結論的序號都填上)．解析：AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，所以①②錯誤，③④正確．答案：③④11．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP＝eq\f(a,3)，過B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ＝________.解析：∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D∴B1D1∥PQ.又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ.設PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，∴eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，∴eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，∴PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，∴PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a12．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若A1P∥平面AEF，則線段A1P解析：取B1C1的中點M，BB1的中點N，連結A1M，A1N，MN，可以證明平面A1MN∥平面AEF，所以點P位于線段MN上，把△A1MN置于平面上，則有A1M＝A1N＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，所以當點P位于M，N時，A1P最大，當P位于線段MN的中點O時，A1P最小，此時A1O＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，所以A1O≤A1P≤A1M，即eq\f(3\r(2),4)≤A1P≤eq\f(\r(5),2)，所以線段A1P長度的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))Ⅱ.大題規(guī)范練(限時45分鐘)解答題(本大題共4小題，共60分)13．(本小題滿分14分)(2016·鹽城調研)如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝BB1＝1，AB1＝eq\r(3)，求三棱錐A1-AB1C的體積．解：VA1-AB1C＝VABC-A1B1C1－VC-A1B1C1－VB1因為AB1＝eq\r(3)，B1B＝1，所以AB＝eq\r(2)，所以AC⊥BC，所以VABC-A1B1C1＝eq\f(1,2)×AC×BC×B1B＝eq\f(1,2).VC-A1B1C1＝VB1-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AC×BC×B1B＝eq\f(1,6)，所以VA1-AB1C＝eq\f(1,2)－eq\f(1,6)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,6).14．(本小題滿分14分)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O，E分別為B1D，AB(1)求證：OE∥平面BCC1B1；(2)求證：平面B1DC⊥平面B1DE.證明：(1)如圖，連結BC1，設BC1∩B1C＝F，連結OF因為O，F(xiàn)分別是B1D與B1C所以OF∥DC且OF＝eq\f(1,2)DC，又E為AB的中點，所以EB∥DC且EB＝eq\f(1,2)DC，從而OF∥EB，OF＝EB，即四邊形OEBF是平行四邊形，所以OE∥BF，又OE?平面BCC1B1，BF?平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因為DC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥DC.又BC1⊥B1C，且DC，B1C?平面B1DC，DC∩B1C所以BC1⊥平面B1DC，而BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC，又OE?平面B1DE，所以平面B1DC⊥平面B1DE.15.(本小題滿分16分)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積．解：(1)證明：由題設知，BB1綊DD1，∴四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1綊B1C1綊BC∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝1，又∵S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴VABD-A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.16．(本小題滿分16分)如圖(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD(1)求證：DE∥平面A1CB；(2)求證：A1F⊥BE(3)線段A1B上是否存在點Q，使A1C⊥平面DEQ解：(1)證明：因為D，E分別為AC，AB的中點，所以DE∥BC.又因為DE?平面A1CB，BC?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)證明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.又因為A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以