湖南省長(zhǎng)沙市重點(diǎn)大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

長(zhǎng)沙市重點(diǎn)大學(xué)附中2023-2024學(xué)年度高二第二學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)時(shí)量：120分鐘滿分：150分得分：______一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．某中學(xué)高二1班共有50名同學(xué)，其中男生30名，女生20名，采用按比例分層隨機(jī)抽樣方法，從全班學(xué)生中抽取20人測(cè)量其身高（單位：）．已知在抽取的樣本中，男生的平均身高為，女生的平均身高為，由此估計(jì)該班全體學(xué)生的平均身高約為（）A． B． C． D．4．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C．84 D．6725．函數(shù)的極值點(diǎn)是（）A． B．C． D．6．如圖，在下列各正方體中，為正方體的一條對(duì)角線，、分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿足的是（）A． B． C． D．7．直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．8．在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見(jiàn)到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1、2）；（與9互素有1、2、4、5、7、8）．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B．C． D．二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．拋物線的準(zhǔn)線方程是D．直線與圓相交10．已知函數(shù)，則（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的值域是C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．為偶函數(shù)11．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則下列判斷中正確的是（）A． B．C． D．12．在正方體中，，點(diǎn)滿足，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)平面時(shí)，不可能垂直B．若與平面所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．當(dāng)時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，為單位向量，且，則______．14．某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和4門(mén)藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有______種（用數(shù)字作答）．15．已知圓錐的底面半徑為6，側(cè)面積為，則該圓錐的內(nèi)切球（圓錐的側(cè)面和底面都與球相切）的體積為_(kāi)_____．16．已知雙曲線：，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交雙曲線左支于點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，，，，，，，，…，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（本小題滿分12分）2023年底，某商業(yè)集團(tuán)總公司根據(jù)相關(guān)評(píng)分細(xì)則，對(duì)其所屬25家商業(yè)連鎖店進(jìn)行了年度考核評(píng)估，將各連鎖店的評(píng)估分?jǐn)?shù)按，，，分成4組，其頻率分布直方圖如圖所示．總公司還依據(jù)評(píng)估得分，將這些連鎖店劃分為、、、四個(gè)等級(jí)，等級(jí)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)如表所示．評(píng)估分?jǐn)?shù)評(píng)定等級(jí)（1）估計(jì)該商業(yè)集團(tuán)各連鎖店評(píng)估得分的第64百分位數(shù)；（2）從評(píng)估分?jǐn)?shù)不小于80的連鎖店中隨機(jī)抽取2家介紹營(yíng)銷經(jīng)驗(yàn)，求至少抽到1家等級(jí)的概率．19．（本小題滿分12分）在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，．求：（1）的長(zhǎng)；（2）二面角的余弦值．20．（本小題滿分12分）在平面幾何中，通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì)：①線段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓；②銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓．已知曲線：，，，，為曲線上不同的四點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值及的最小覆蓋圓的方程；（2）求四邊形的最小覆蓋圓的方程；（3）求曲線的最小覆蓋圓的方程．21．（本小題滿分12分）已知橢圓：與拋物線：有公共的焦點(diǎn)，且拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在一定點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為定值？若存在，則求出點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．參考答案一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．題號(hào)12345678答案CBDBACCA1．C【解析】由已知，，且，所以．2．B【解析】由已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．3．D【解析】因?yàn)槌闃颖壤秊?，則樣本中男生有人，女生有人，所以樣本的平均身高為，由此估計(jì)該班全體學(xué)生的平均身高約為．4．B【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為．5．A【解析】，令，則，得．6．C【解析】如圖，在正方體中，，，則平面，所以．同理，，所以平面．若，則平面．在A，B，D中，都與平面相交，在C中，平面．所以．7．C【解析】①當(dāng)時(shí)，斜率不存在，傾斜角為；②當(dāng)時(shí)，斜率，傾斜角范圍為；③當(dāng)時(shí)，斜率，傾斜角范圍為．綜上，直線的傾斜角的取值范圍為．8．A【解析】因?yàn)榕c互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，共有，所以，則，于是①，②，由①②得，則，于是．二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．題號(hào)9101112答案ACBCDCDBD9．AC【解析】在橢圓中，因?yàn)?，，則，且焦點(diǎn)在軸上，A正確．雙曲線的頂點(diǎn)在軸上，B錯(cuò)誤．拋物線開(kāi)口向左，，準(zhǔn)線為，C正確．圓心到直線的距離，則直線與圓相切，D錯(cuò)誤．10．BCD【解析】由已知，．當(dāng)時(shí)，，則不單調(diào)；因?yàn)?，，則的值域是；因?yàn)?，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；為偶函數(shù)．11．CD【解析】令，，因?yàn)?，則，故在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，則，結(jié)合選項(xiàng)可知，，從而有，即，故A錯(cuò)誤，因?yàn)?，結(jié)合在上單調(diào)遞減可知，，從而有，由可得，故B錯(cuò)誤；，從而有，且，即．故C正確；，從而有，即．故D正確．12．BD【解析】A選項(xiàng)：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以，，則，，設(shè)平面的法向量為，所以令，則，即平面的一個(gè)法向量為．若平面，則，即，，令，解得．即為中點(diǎn)時(shí)，有平面，且，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)槠矫?，連接，則即為與平面所成角，若與平面所成角為，則，所以，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的個(gè)圓，于是點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；C選項(xiàng)：如圖，將平面與平面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：正方體經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的截面為平行四邊形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，所以點(diǎn)到直線的距離為，于是當(dāng)時(shí)，的面積取最小值，此時(shí)截面面積為；當(dāng)或1時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)截面面積為，故D正確．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．【解析】由已知，，即．因?yàn)?，則．14．64【解析】若選2門(mén)，則只能各選1門(mén)，有種，若選3門(mén)，則分體育類選修課選2門(mén)，藝術(shù)類選修課選1門(mén)，或體育類選修課選1門(mén)，藝術(shù)類選修課選2門(mén)，則有，綜上共有種不同的方案．15．【解析】作軸截面圖如圖．由已知，，，則，，在中，．設(shè)內(nèi)切球半徑為，由等面積法，得，所以內(nèi)切球體積．16．【解析】設(shè)，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，所以，，由雙曲線的定義知，，，所以，，又，所以，即，在中，由余弦定理知，，所以，即，整理得，，即，所以離心率．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，，整理得，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，．（2）因?yàn)?，，所以?shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：．18．【解析】（1）直方圖中從左至右第一、三、四個(gè)小矩形的面積分別為0.28，0.16，0.08，則第二個(gè)小矩形的面積為．因?yàn)?，則第64百分位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)．設(shè)第64百分位數(shù)為，則，得．所以第64百分位數(shù)估計(jì)為77.5分．（2）由直方圖知，等級(jí)的頻數(shù)為，等級(jí)的頻數(shù)為．從這6家連鎖店中任選2家，共有種選法，則．設(shè)事件“至少抽到1家等級(jí)”，因?yàn)檫x1家等級(jí)和1家等級(jí)的選法有種，選2家等級(jí)的選法只有1種，則．所以，即至少抽到1家等級(jí)的概率為．19．【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，所以，即，解得（負(fù)值舍去），故的長(zhǎng)為4．（2）設(shè)平面的法向量為，由題意知，則由令，可得，所以平面的一個(gè)法向量為，易得平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的余弦值為．20．【解析】（1）由題意，，由于為銳角三角形，外接圓就是的最小覆蓋圓．設(shè)外接圓方程為，則解得所以的最小覆蓋圓的方程為．（2）因?yàn)榈淖钚「采w圓就是以為直徑的圓，所以的最小覆蓋圓的方程為．又因?yàn)?，所以點(diǎn)，都在圓內(nèi)．所以四邊形的最小覆蓋圓的方程為．（3）由題意，曲線為中心對(duì)稱圖形．設(shè)，則．所以，且．故，所以當(dāng)時(shí)，，所以曲線的最小覆蓋圓的方程為．21．【解析】（1）拋物線：的焦點(diǎn)為，可得①，拋物線的準(zhǔn)線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為3，由代入橢圓方程可得，即有②，解①②可得，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與橢圓方程消去可得，則，，所以，，所以，直線：③，直線的方程中，令可得，所以，因?yàn)橹本€，所