2010年考研數(shù)學(xué)三真題答案解析(pdf)

2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題參考答案一、選擇題(1)【答案】(C).【解析】1exaxex1111xxxxlimaelim1e1axlim1eaxelimx0xx0x0x0xxxxxaxex1exlimlim1a1x0x0xx所以a2.(2)【答案】(A)．【解析】因y1y2是yPxy0的解,故y1y2Pxy1y20,所以y1Pxy1y2p(x)y20,而由已知y1Pxy1qx,y2Pxy2qx,所以qx0,①又由于一階次微分方程ypxyqx是非齊的,由此可知qx0,所以0．由于y1y2是非齊次微分方程yPxyqx的解,所以y1y2Pxy1y2qx,整理得即由①②求解得(3)【答案】(B).【解析】fg(x)fg(x)g(x),y1Pxy1y2Pxy2qx,qxqx,由qx0可知1,1,故應(yīng)選(A)．2②fg(x)fg(x)g(x)fg(x)g(x)fg(x)g(x)2由于g(x0)a是g(x)的極值,所以g(x0)0.所以fg(x)fg(x)g(x)fag(x)0000由于g(x0)0,要使fg(x)0,必須有f(a)0,故答案為B.(4)【答案】(C).xh(x)e1【解析】因為limlimlime10,所以,當(dāng)x充分大時,h(x)g(x).xg(x)xxx10x10又因為limxf(x)lnxlimlim10xg(x)xxln8x10ln9x19x10limlnxx1x109limx1x1092limlnx10!lim10.xxxx1所以當(dāng)x充分大時,f(x)g(x),故當(dāng)x充分大,f(x)g(x)h(x).(5)【答案】(A)．【解析】由于向量組I能由向量組II線性表示,所以r(I)r(II),即r(1,,r)r(1,,s)s若向量組I線性無關(guān),則r(1,,r)r,所以rr(1,,r)r(1,,s)s,即rs,選(A).(6)【答案】(D).【解析】設(shè)為A的特征值,由于AAO,所以0,即(1)0,這樣A的22特征值只能為-1或0.由于A為實對稱矩陣,故A可相似對角化,即A11,即A,r(A)r()3,因此,1011.10(7)【答案】(C).【解析】離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是跳躍的階梯形分段函數(shù),連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).觀察本題中F(x)的形式,得到隨機(jī)變量X既不是離散型隨機(jī)變量,也不是連續(xù)型隨機(jī)變量,所以求隨機(jī)變量在一點處的概率,只能利用分布函數(shù)的定義.根據(jù)分布函數(shù)的定義,函數(shù)在某一點的概率可以寫成兩個區(qū)間內(nèi)概率的差,即PX1PX1PX1F1F101e1(C).(8)【答案】(A).111e,故本題選22【解析】根據(jù)題意知,f1x1x12,1x3e(x),f2x420,其它fxdx1,故031aa3bf2xdxf1xdxbdxb104224利用概率密度的性質(zhì):fxdxaf1xdx0所以整理得到2a3b4,故本題應(yīng)選(A).二、填空題(9)【答案】1.【解析】xy0etdtxsint2dt,令x0,得y0,等式兩端對x求導(dǎo)：0xe(xy)xdy(1)sint2dtxsinx2．0dx將x0,y0代入上式,得1dydx0.所以x0dydx1.x02(10)【答案】.4【解析】根據(jù)繞x軸旋轉(zhuǎn)公式,有Vy2dxeedxx1ln2x2.244edlnxarctanlnxe1ln2x1P13(11)【答案】pe.【解析】由彈性的定義,得dR11dRp1p3,所以p2dp,即lnRlnpp2C,Rp3dpR1p11113又R11,所以C.故lnRlnpp,因此Rpe.333(12)【答案】b3.【解析】函數(shù)為yxaxbx1,它的一階導(dǎo)數(shù)為y3x2axb;二階導(dǎo)數(shù)為322y6x2a,又因為1,0是拐點,所以yx10,得過點1,0,所以將x1,y0代入曲線方程,得b3.a1,所以a3,又因為曲線3(13)【答案】3.【解析】由于A(AB)B11(EAB)B1B1A,所以AB1A(A1B)B1AA1BB1因為B2,所以B1B11,因此2AB1AA1BB132(14)【答案】.2213.21n21n212222【解析】ETEXiEXinEXEX.ni1ni1n三、解答題lnx1lnxlnx1limlnx1(15)【解析】limxx1x其中1lnxlimexeelne1limlnxln(e1)(elimxxlnxlim故原式e.11)e1x11lnx1e1lnxlimlim(e1)1.2xxlnxxlnxxx(16)【解析】積分區(qū)域DD1D2,其中D1D2Dx,y1y0,3D2yxx,y0y1,1y2232yx1y2xy3xD2dxdyx33x2y3xy2y3dxdy因為區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,被積函數(shù)3xyy是y的奇函數(shù),所以yy3dxdy0．332321y132xydxdyxxydxdyxxydxdydyxxydx323232y0DDD1132x4x2y20421y2y19114dy2y42y2dy.0415422(17)【解析】令Fx,y,z,xy2yzxyz10,用拉格朗日乘數(shù)法得2Fxy2x0,Fyx2z2y0,Fz2y2z0,Fx2y2z2100,求解得六個點：A1,5,2,B1,5,2,C1,5,2,D1,5,2,E22,0,2,F22,0,2.由于在點A與B點處,u55；在點C與D處,u55；在點E與F處,u0．又因為該問題必存在最值,并且不可能在其它點處,所以umax55,umin55．(18)【解析】(I)當(dāng)0x1時0ln(1x)x,故ln(1t)t,所以nnlntln(1t)lnttn,則(II)n110010lntln(1t)dtlnttndtn1,2,.0n1lnttndtlnttndt111n1lntdt,故由20n1n110unlnttndt01n12,根據(jù)夾逼定理得0limunlimn1nn120,所以limun0.n(19)【解析】(I)因為2f(0)20f(x)dx,又因為fx在0,2上連續(xù),所以由積分中值定理得,至少有一點0,2,使得fxdxf2002即2f02f,所以存在0,2,使得ff0.(Ⅱ)因為f2f32f0,即f2f32f0,又因為fx在2,3上連續(xù),由介值定理知,至少存在一點12,3使得f1f0.因為fx在0,2上連續(xù),在0,2上可導(dǎo),且f0f2,所以由羅爾中值定理知,Ｃ存在10,2,有f10.又因為fx在2,1上連續(xù),在2,1上可導(dǎo),且f2f0f1,所以由羅爾中值定理知,存在22,1,有f20.又因為fx在1,2上二階可導(dǎo),且f1f20,所以由羅爾中值定理,至少有一點Axb0,3,使得f0.(20)【解析】因為方程組有兩個不同的解,所以可以判斷方程組增廣矩陣的秩小于3,進(jìn)而可以通過秩的關(guān)系求解方程組中未知參數(shù),有以下兩種方法.方法1：(I)已知Axb有2個不同的解,故r(A)r(A)3,對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換,得11a11A01010101111111a1a111101001121111010a012011111111當(dāng)1時,A00010001,此時,r(A)r(A),故Axb無解(舍去)．000a00001111當(dāng)1時,A0201,由于r(A)r(A)3,所以a2,故1,a2.000a2方法2：已知Axb有2個不同的解,故r(A)r(A)3,因此A0,即11A010(1)2(1)0,11知1或-1.當(dāng)1時,r(A)1r(A)2,此時,Axb無解,因此1.由r(A)r(A),得a2.(II)對增廣矩陣做初等行變換31012111211121A0201020101021111000000003231x1x1x312可知原方程組等價為,寫成向量的形式,即x2x30.2x1x123023211因此Axb的通解為xk0,其中k為任意常數(shù).210014T(21)【解析】由于A13a,存在正交矩陣Q,使得QAQ為對角陣,且Q的第一4a0列為16(1,2,1)T,故A對應(yīng)于1的特征向量為116261616(1,2,1)T.根據(jù)特征值和特征向量的定義,有A162,即61601411014a1,2,由此可得.故A13113a2211.4a01141014由EA131(4)(2)(5)0,41可得A的特征值為12,24,35.414x1由(2EA)x0,即171x20,可解得對應(yīng)于24的線性無關(guān)的414x3特征向量為2(1,0,1).T514x1由(3EA)x0,即121x20,可解得對應(yīng)于35的特征向量為415x33(1,1,1)T.由于A為實對稱矩陣,1,2,3為對應(yīng)于不同特征值的特征向量,所以1,2,3相互正交,只需單位化：11111(1,2,1)T,22(1,0,1)T,33(1,1,1)T,123623162616120121321,則QTAQ313取Q,,1234.5(22)【解析】當(dāng)給出二維正態(tài)隨機(jī)變量的的概率密度fx,y后,要求條件概率密度fY|X(y|x),可以根據(jù)條件概率公式fY|X(y|x)數(shù),A要根據(jù)概率密度的性質(zhì)求解,具體方法如下.f(x,y)來進(jìn)行計算.本題中還有待定參fX(x)fXxfx,ydyAe2x2xyydyAe(yx)xdyAexe(yx)dyAex,x.根據(jù)概率密度性質(zhì)有1故fXxfXxdxAexdxA,即A1,1ex,x.當(dāng)x時,有條件概率密度fYXyxfx,yfXxAe2x2xyyAex1ex2xyy1e(xy),x,y.(23)【解析】(I)X的所有可能取值為0,1,Y的所有可能取值為0,1,2．C3231PX0,Y02,其中X0,Y0表示取到的兩個球都是黑球；C615511C2C362PX0,Y1,其中X0,Y1表示取到的一個是白球,一個是C62155黑球；2C21PX0,Y22,其中X0,Y2表示取到的兩個球都是白球；C61511C1C331PX1,Y0,其中X1