信號(hào)與系統(tǒng)課件：連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法4.1拉普拉斯變換4.2典型信號(hào)的拉普拉斯變換4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)4.4拉普拉斯反變換4.5拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系4.6系統(tǒng)函數(shù)H(s)4.7連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.8由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)特性4.9連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.10連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖習(xí)題4

在第3章中，我們研究了連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析(亦即傅里葉變換分析法)，它以虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，將輸入信號(hào)分解為不同頻率的虛指數(shù)分量之和。這種方法在信號(hào)分析和處理等方面(如分析諧波成分、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、波形失真、取樣、濾波等)是十分有效的。但是，頻域分析法也有一定的局限性。其一，雖然實(shí)用的大多數(shù)信號(hào)都能求得其傅里葉變換，但也有一些重要信號(hào)，例如階躍信號(hào)ε(

t)、斜坡信號(hào)tε(t)、單邊正弦信號(hào)sintε(t)等，它們并不滿足絕對(duì)可積條件，因而不能直接由定義式導(dǎo)出其傅里葉變換。

此外，還有一些信號(hào)，如單邊增長(zhǎng)指數(shù)信號(hào)eatε(t)(a>0)，則根本不存在傅里葉變換;其二，求取傅里葉變換有時(shí)也是比較困難的;其三，傅里葉變換分析法只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，這對(duì)具有初始狀態(tài)的系統(tǒng)確定其全響應(yīng)也是十分不便的。為此引出一種更有效而簡(jiǎn)便的方法，這便是拉普拉斯變換分析法，簡(jiǎn)稱拉氏變換分析法。

這便是拉普拉斯變換分析法，簡(jiǎn)稱拉氏變換分析法。

拉普拉斯變換分析法是分析連續(xù)、線性、非時(shí)變系統(tǒng)的有效工具。它與傅里葉變換分析法相比，把頻域擴(kuò)展為復(fù)頻域，從而簡(jiǎn)化了信號(hào)的變換式，擴(kuò)大了信號(hào)變換的范圍，而且求解較簡(jiǎn)便，因而應(yīng)用更為廣泛。

本章首先從傅里葉變換導(dǎo)出拉普拉斯變換，并對(duì)信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域、典型信號(hào)的拉普拉斯變換及拉普拉斯變換的一些基本性質(zhì)加以闡述，然后討論拉普拉斯反變換，

并以此為基礎(chǔ)，著重討論連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法。應(yīng)用系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的時(shí)域特性、頻域特性和穩(wěn)定性。最后介紹系統(tǒng)框圖和信號(hào)流圖的建立，并利用梅森公式求系統(tǒng)函數(shù)。

4.1拉普拉斯變換

4.1.1從傅里葉變換到拉普拉斯變換一個(gè)信號(hào)f(t)若滿足絕對(duì)可積條件，則其傅里葉變換一定存在，例如單邊衰減指數(shù)信號(hào)e-

atε(t)(a>0)。但有一些信號(hào)，例如單邊增長(zhǎng)指數(shù)信號(hào)eatε(t)(a>0)，由于不滿足絕對(duì)可積條件，其傅里葉變換不一定存在，甚至不存在。

為了克服以上困難，引入一收斂因子e-

σt

(σ為實(shí)數(shù))，選擇適當(dāng)?shù)摩抑?，使f(t)e-

σt

滿足絕對(duì)可積條件，則該信號(hào)的傅里葉變換存在。根據(jù)傅里葉變換定義式有

它是σ+jω的函數(shù)，可寫成

令s=σ+jω，稱為復(fù)頻率，則式(4.1-2)寫為

式(4.1-3)稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換?？紤]到實(shí)際中遇到的信號(hào)都是有始信號(hào)，即使f(t)=0，以及信號(hào)雖然不起始于t=0，而問題的討論只需考慮信號(hào)t≥0的部分。在這兩種情況下，式(4.1-3)可改寫為

式(4.1-4)稱為f(t)的單邊拉普拉斯變換，它是復(fù)頻率s的函數(shù)，記作L[

f(t)]。式中積分下限用0-

而不用0+，目的是可把t=0時(shí)刻出現(xiàn)的沖激及其各階導(dǎo)數(shù)包含到積分中去。

由于在分析因果系統(tǒng)，特別是具有非零初始條件的線性常系數(shù)微分方程時(shí)，單邊拉普拉斯變換具有重要價(jià)值，因而，本書只討論單邊拉普拉斯變換(簡(jiǎn)稱拉氏變換)，下面提到的拉氏變換均指單邊拉氏變換。

現(xiàn)在我們討論拉普拉斯反變換。

根據(jù)傅里葉反變換定義式及式(4.1-2)，有

將上式兩邊乘以eσt，得

因s=σ+jω，則ds=jdω，當(dāng)ω=±∞時(shí)，s=σ±j∞，于是上式可改寫為

式(4.1-5)稱為雙邊拉普拉斯反變換，它是時(shí)間t的函數(shù)，記作L-1[f(t)]。

式(4.1-3)和式(4.1-5)又稱為拉普拉斯變換對(duì)。F(s)是f(t)的象函數(shù)，f(t)是F(s)的原函數(shù)。f(t)與F(s)之間這種變換與反變換的關(guān)系可用雙箭頭簡(jiǎn)記為

從上述由傅里葉變換導(dǎo)出雙邊拉普拉斯變換的過(guò)程中可以看出，F(xiàn)(s)=F(σ+jω)對(duì)f(t)e-

σt

來(lái)說(shuō)，是f(t)e-

σt

的傅里葉變換，對(duì)f(t)來(lái)說(shuō)，則是f(t)的雙邊拉普拉斯變換，

或者說(shuō)F(s)是f(t)的廣義傅里葉變換。由于f(t)e-

σt較容易滿足絕對(duì)可積的條件，這就意味著許多原來(lái)不存在傅里葉變換的信號(hào)都存在廣義傅里葉變換，即雙邊拉普拉斯變換，

于是拉普拉斯變換擴(kuò)大了信號(hào)變換的范圍。

4.1.2拉普拉斯變換的收斂域

對(duì)于任意信號(hào)f(t)，為使其拉普拉斯變換存在，式(4.1-4)的積分必須收斂，即

顯然，拉普拉斯變換是否存在，取決于能否選取適當(dāng)?shù)摩抑怠Ｎ覀儼咽筬(t)e-

σt滿足絕對(duì)可積條件的σ取值范圍稱為拉普拉斯變換的收斂域。因?yàn)闈M足絕對(duì)可積條件意味著f(

te-

σt應(yīng)收斂，即

所以，可根據(jù)式(4.1-8)來(lái)確定其收斂域，亦即σ的取值范圍。我們把最低限度的σ值稱為收斂坐標(biāo)，用σ0表示。經(jīng)過(guò)σ0

的垂直線是收斂邊界，稱為收斂軸。由于單邊拉普拉斯變換的收斂域都位于收斂軸的右邊區(qū)域，那么收斂域可表示為

下面舉例說(shuō)明拉普拉斯變換收斂域的確定。圖4.1-1拉普拉斯變換的收斂域

故得其收斂域?yàn)棣?gt;0，收斂坐標(biāo)為σ0=0，如圖4.1-1(b)所示。

由于單邊拉普拉斯變換的收斂域是由Re[s]>σ0的半平面組成，收斂域比較容易確定，故在一般情況下，不再加注其收斂域。我們?cè)诖嗽購(gòu)?qiáng)調(diào)一下，以后討論的拉普拉斯變換是指單邊拉普拉斯變換。

4.2典型信號(hào)的拉普拉斯變換

下面給出一些典型信號(hào)的拉普拉斯變換。1.單邊指數(shù)信號(hào)e-atε(t)即收斂域?yàn)镽e[s]>-

a

2.單位階躍信號(hào)ε(t)

令式(4.2-1)中a=0，則有

收斂域?yàn)镽e[s]>0。

3.單位沖激信號(hào)δ(t)

即

收斂域?yàn)镽e[s]>-∞。

4.單邊正弦信號(hào)sinω0tε(t)

由于

利用式(4.2-1)，可得

即

收斂域?yàn)镽e[s]>-∞。

5.單邊余弦信號(hào)cosω0tε(t)

與單邊正弦信號(hào)sinω

0

tε(t)拉氏變換的推導(dǎo)方式相似，可推得

6.t的正冪信號(hào)tnε(t)(n為正整數(shù))

對(duì)上式進(jìn)行分部積分，有

即

以此類推，可導(dǎo)出

即

收斂域?yàn)镽e[s]>-∞。

7.單邊雙曲正弦函數(shù)shβtε(t)、余弦函數(shù)chβtε(t)

由于

利用式(4.2-1)可得到

收斂域?yàn)镽e[s]>-∞。

表4-1列出了典型信號(hào)的拉氏變換，以備查用。

4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)

在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常不是利用定義式計(jì)算拉氏變換，而是巧妙地利用拉氏變換的一些基本性質(zhì)。由于拉氏變換是傅里葉變換的推廣，所以兩種變換的性質(zhì)極為相似。在某些性質(zhì)中，只需把傅氏變換中的jω用s替代即可。但是要注意，傅氏變換是雙邊的，而這里討論的拉氏變換是單邊的，所以某些性質(zhì)又有差別。下面介紹拉氏變換的一些基本性質(zhì)，其中與傅氏變換相類同的性質(zhì)不再證明。

1.線性

若f1(t)?F1(s)，f2(t)?F2(s)，則

式中a1

和a2為任意常數(shù)。

2.比例性(尺度變換)

若，f(t)?F(s)，則

式中規(guī)定常數(shù)a>0是必要的，因?yàn)閒(t)為有始信號(hào)，若a<0，則f(at)的單邊拉氏變換為零。

【例4.3-1】求e-

tε(2t)的拉氏變換。

解

因

那么，應(yīng)用拉氏變換的比例性得

即

3.時(shí)移性

若f(t)?F(s)，則

上式t0>0的規(guī)定對(duì)于單邊拉氏變換是必要的，因?yàn)槿魌0<0，信號(hào)的波形有可能左移越過(guò)原點(diǎn)，這將導(dǎo)致原點(diǎn)以左部分不能包含在從0-

到∞的積分中去，從而造成錯(cuò)誤。

證明

【例4.3-2】已知信號(hào)f(t)=5ε(t)-e-3(t+1)ε(t+1)，試求其拉氏變換。

解因

應(yīng)用拉氏變換的時(shí)移性，有

由線性得

【例4.3-3】已知信號(hào)f(t)的波形如圖4.3-1所示，求其拉氏變換。圖4.3-1例4.3-3用圖

時(shí)移性的一種重要應(yīng)用是求有始周期信號(hào)的拉氏變換。若以T為周期的有始周期信號(hào)f(t)的第一周期、第二周期、第三周期…的波形分別用f1(t)、f2(t)、f3(t)…表示，

則有

若f1(t)?F1(s)，則根據(jù)時(shí)移性可得

即有始周期信號(hào)的拉氏變換為

【例4.3-4】試求圖4.3-2所示的正弦半波，求其拉氏變換周期信號(hào)的拉氏變換。圖4.3-2例4.3-4用圖(一)

解這是一個(gè)有始周期信號(hào)，要求其拉氏變換，需求第一周期波形的拉氏變換。第一周期波形可表示為兩個(gè)正弦波的疊加，如圖4.3-3所示。例4.3-3例4.3-3用圖(二)

這樣

其拉氏變換為

利用式(4.3-4)可得

綜合性質(zhì)2和3，有

證明先應(yīng)用時(shí)移性，有

再應(yīng)用比例性，得

4.頻移性

若f(t)?F(s)，則

此性質(zhì)表明，時(shí)間函數(shù)乘以因子e±s0t，相當(dāng)于其變換式在s域內(nèi)移動(dòng)?s0

。

5.時(shí)域微分

若f(t)?F(s)，則

證明根據(jù)拉氏變換的定義式(4.1-4)，有

同理可得

以此類推，可得式(4.3-9)。

【例4.3-7】信號(hào)f(t)如圖4.3-4(a)所示，求其拉氏變換F(s)。

解對(duì)于由直線段構(gòu)成的信號(hào)，均可用時(shí)域微分求其拉氏變換。對(duì)圖4.3-4(a)所示三角脈沖，其一階和二階導(dǎo)數(shù)如圖(b)、(c)所示。由圖(c)可寫出f″(t)的函數(shù)表達(dá)式為

應(yīng)用拉氏變換的時(shí)移性和時(shí)域微分，有

由圖(a)和(b)知，f(0-

)=0，f'(0-

)=0，于是得f(t)的拉氏變換例4.3-4例4.3-7用圖

【例4.3-8】已知信號(hào)f(t)波形如圖4.3-5(a)所示，求其拉氏變換F(s)。圖4.3-5例4.3-8用圖

解圖4.3-5(a)所示波形的一階導(dǎo)數(shù)如圖4.3-5(b)所示。由圖(b)寫出f'(t)的表達(dá)式為

應(yīng)用拉氏變換的時(shí)移性和時(shí)域微分，有

由圖(b)知，f(0

-

)=0，于是得圖4.3-6例4.3-9用圖圖4.3-7例4.3-10用圖

解我們討論的是單邊拉氏變換，先將圖4.3-7(a)改為單邊得圖4.3-7(b)，作圖4.3-7(b)的一階導(dǎo)數(shù)得圖4.3-7(c)。由圖4.3-7(c)，有

等式兩端作拉氏變換，得

由圖(b)知，f(0-

)=0，于是得

6.時(shí)域積分

若f(t)?F(s)，則

式中，

(1)證明式(4.3-10)。

根據(jù)拉氏變換的定義，有

應(yīng)用分部積分法，可得

當(dāng)t→∞和t→0-

時(shí)，上式右邊第一項(xiàng)為零，所以

(2)證明式(4.3-11)。

所以

7.初值定理

證明利用時(shí)域微分性質(zhì)

上式中右邊第一項(xiàng)積分限為(0+~∞)，在整個(gè)積分區(qū)間內(nèi)t=0，那么e-

stt=0=1，于是上式可寫成

即

對(duì)上式兩邊取極限，令s→∞，則左邊積分項(xiàng)為零，有

初值定理表明，信號(hào)f(t)在時(shí)域中的初值f(0+)可以在復(fù)頻域中求取，條件是)必須存在。這個(gè)復(fù)頻域中)存在的條件，在時(shí)域中對(duì)應(yīng)于f(t)在t=0處

不包含沖激及其導(dǎo)數(shù)，即F(s)必須是真分式。當(dāng)F(s)不是真分式時(shí)，不能直接利用式(4.3-12)求初值，而必須用長(zhǎng)除法將F(s)化為s多項(xiàng)式與一個(gè)真分式F0(s)之和，然后再由真分式F0(s)求初值。

解由于F(s)不是真分式，分子和分母的最高次冪相同，故必須先用長(zhǎng)除法將其分解為

然后對(duì)真分式部分用初值定理，得

解F(s)不是真分式，因分子的最高次冪高于分母的最高次冪，故必須先用長(zhǎng)除法將其分解為

然后對(duì)真分式部分用初值定理，得

因上式左邊

于是

即

終值定理表明，信號(hào)在時(shí)域中的終值f(∞)可在復(fù)頻域中求取，條件是limt→∞f(t)存在。這個(gè)時(shí)域中的條件相當(dāng)于在復(fù)頻域中F(s)的極點(diǎn)都位于S平面的左半平面和原點(diǎn)僅有單極點(diǎn)。

所謂極點(diǎn)，就是指使F(s)的分母等于零的根。

解F(s)有三個(gè)極點(diǎn)，分別為s1=0，s2

=-2，s3

=-1，第一個(gè)極點(diǎn)是位于原點(diǎn)的單極點(diǎn)，第二和第三極點(diǎn)都位于S平面的左半平面，故滿足應(yīng)用終值定理的條件，有

解F(s)的極點(diǎn)為s1=0，s2，3

=±j3，后兩個(gè)極點(diǎn)位于S平面的虛軸上，不滿足終值定理應(yīng)用的條件，f(∞)不存在。

9.卷積定理

(1)時(shí)域卷積。

證明

根據(jù)拉氏變換的時(shí)移性，有

于是得

10.復(fù)頻域微分

若f(t)?F(s)，則

證明根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義有

對(duì)上式兩邊關(guān)于s求一次導(dǎo)數(shù)，得

故得

重復(fù)運(yùn)用上述過(guò)程可得

【例4.3-17】求信號(hào)te-

αtε(t)的拉氏變換。

解由典型信號(hào)的拉氏變換知

利用復(fù)頻域微分，得

為了便于查閱和應(yīng)用，將單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)列于表4-2中。

4.4拉普拉斯反變換

從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的過(guò)程稱為拉普拉斯反變換。求拉普拉斯反變換除了應(yīng)用表4.2-1和4.3節(jié)討論的拉氏變換的性質(zhì)外，通常有兩種方法:部分分式展開法和留數(shù)法(圍線積分法)。前者是將復(fù)雜變換式F(s)分解為許多簡(jiǎn)單變換式之和，然后查表求得原時(shí)間函數(shù)f(t)，它適用于F(s)為有理函數(shù)的情況;后者則是直接進(jìn)行拉氏反變換積分，它的適用范圍較廣。下面分別討論這兩種方法。

4.4.1部分分式展開法

常見的拉氏變換式F(s)是s的有理分式，可表示為

式中，N(s)和D(s)分別為F(s)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式，系數(shù)ai

(i=0，1，…，n)和bj(j=0，1，…，m)均為實(shí)數(shù)。若m<n，則F(s)為真分式;若m≥n，則F(s)為假分式。

在應(yīng)用部分分式展開法之前，亦即在分解F(s)為許多簡(jiǎn)單變換式之前，首先應(yīng)判斷F(s)是否為真分式，若F(s)為假分式，則要用長(zhǎng)除法將F(

s)化成如下形式

式(4.4-2)中，為真分式，除此之外其余各項(xiàng)的拉氏反變換為沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)。例如

所以下面著重討論是真分式時(shí)的拉氏反變換，我們分三種情形來(lái)分析。

1.D(s)=0的根為相異實(shí)根(單實(shí)根)

若D(s)=0的根是個(gè)n相異實(shí)根，則F(s)可展開為如下部分分式之和，即

系數(shù)ki可這樣求得:將式(4.4-3)兩邊同乘以(s

-

si

)，且令s=si

，于是式(4.4-3)的右邊只留下ki項(xiàng)，即

由于

所以F(s)的單邊拉氏反變換可表示為

由此可見，當(dāng)D(s)=0具有相異實(shí)根時(shí)，F(xiàn)

(s)的拉氏反變換是許多實(shí)指數(shù)函數(shù)項(xiàng)之和。

2.D(s)=0的根有共軛復(fù)根且無(wú)重根

若D(s)=0的根有復(fù)根，則必然共軛成對(duì)出現(xiàn)，而且在部分分式展開式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)亦互為共軛。這種情況下求拉氏反變換可用配方法或部分分式展開法。現(xiàn)舉例說(shuō)明。

3.D(s)=0的根有重根

若D(s)=0的根有一個(gè)p重根s1，則F(s)重根所對(duì)應(yīng)的部分分式展開式為

令

則式(4.4-7)可寫為

解本題F(s)既含有重根，又含有復(fù)根，我們可按如下方式進(jìn)行解答:令Q=s2

，則F(s)部分分式展開為

所以

將Q=s2

代入上式，有

故得

將k1=1代入，得

所以

值得一提的是，除部分分式展開法外，應(yīng)用拉普拉斯變換的性質(zhì)并結(jié)合典型信號(hào)的拉氏變換也是求單邊拉普拉斯反變換的重要方法。下面舉例說(shuō)明之。

4.4.2留數(shù)法

拉普拉斯反變換式是

這是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的線積分，積分路徑是在S平面上F(

s)的收斂域內(nèi)平行于虛軸(jω軸)的直線，如圖4.4-1(a)所示，其中σ0是F(s)的收斂坐標(biāo)，直線AB為積分路徑。為了能應(yīng)用留數(shù)定理，必須補(bǔ)上一個(gè)半徑充分大的圓弧，使圓弧與直線構(gòu)成一閉合曲線(亦稱閉合圍線)。用圍線積分來(lái)代替線積分。當(dāng)t>0時(shí)，圓弧應(yīng)補(bǔ)在直線左邊，如圖4.4-1(b)中的CR1;而當(dāng)t<0時(shí)，圓弧應(yīng)補(bǔ)在直線右邊，如圖4.4-1(b)中的CR2

。圖4.4-1拉氏反變換的圍線積分路徑

根據(jù)約當(dāng)引理，若滿足條件

則

因我們討論的是單邊拉氏反變換，所以只需求t>0時(shí)的函數(shù)表達(dá)式。由上可看出，拉氏反變換積分等于圍線積分乘以于是得

留數(shù)定理指出，復(fù)平面上任意閉合圍線積分等于圍線內(nèi)被積函數(shù)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和乘以2πj。由于圖4.4-1(b)中積分圍線CR1

半徑充分大并在直線σ=c>σ0

的左邊，因而CR1和直線構(gòu)成的閉合圍線包圍了F(s)est

的所有極點(diǎn)si

，故有

由上式可知，拉氏反變換的運(yùn)算轉(zhuǎn)換為求被積函數(shù)F(

s)est

在各個(gè)極點(diǎn)上的留數(shù)。

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，當(dāng)F(s)為有理真分式時(shí)，其留數(shù)可作如下計(jì)算:

(1)若F(s)est的極點(diǎn)為單極點(diǎn)，則該極點(diǎn)的留數(shù)為

(2)若F(s)est的極點(diǎn)為p重極點(diǎn)，則該極點(diǎn)的留數(shù)為

解

F(s)有一個(gè)單極點(diǎn)s1=0和一個(gè)二重極點(diǎn)s2

=-1，按式(4.4-15)和式(4.4-16)分別求出相應(yīng)極點(diǎn)上的留數(shù)為

于是，根據(jù)式(4.4-14)得

4.5拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系

由于單邊拉氏變換是由傅氏變換推廣而來(lái)，若f(t)為有始信號(hào)，那么f(t)的這兩種變換之間必有聯(lián)系。下面我們研究單邊拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系。

若f(t)為因果信號(hào)，則f(t)的傅里葉變換F(jω)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為

設(shè)F(s)的收斂域?yàn)镽e[s]>σ0

，σ0

稱為收斂坐標(biāo)，為一實(shí)數(shù)。依據(jù)收斂坐標(biāo)σ0

的值，我們分三種情況討論F(jω)與F(s)的關(guān)系。

1.σ0<0

如果F(s)的收斂坐標(biāo)σ0<0，如圖4.5-1(a)所示，則F(s)的收斂域包含虛軸(jω軸)，傅里葉變換存在。在這種情況下，令拉氏變換式中σ=jω，就可得到傅氏變換，即

例如，f(t)=e-

atε(t)，a>0，其拉氏變換為

收斂域Re

[s]>-

a，由式(4.5-3)可得傅里葉變換為

又如，f(t)=e-

atsinω0tε(t)，a>0，其拉斯變換為

收斂域Re

[s]>-

a，其傅氏變換為圖4.5-1收斂坐標(biāo)σ0在復(fù)平面的位置

2.σ0>0

如果F(s)的收斂坐標(biāo)σ0>0，如圖4.5-1(b)所示，則虛軸在收斂域外，即在虛軸s=jω處，

不收斂。在這種情況下，f(t)傅里葉變換不存在。

例如，增長(zhǎng)函數(shù)f(t)=eatε(t)，a>0，其拉氏變換為

收斂域Re

[s]>a>0，但傅氏變換不存在。

3.σ0=0

如果F(s)的收斂坐標(biāo)σ0=0，如圖4.5-1(c)所示，那么函數(shù)f(t)既具有拉氏變換，也具有傅氏變換，但不能直接由式(4.5-3)求其傅氏變換。

因?yàn)槭諗孔鴺?biāo)σ0

=0，函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)收斂邊界與虛軸重合，意味著F(s)除了有一些極點(diǎn)位于S左半平面外，必有極點(diǎn)位于S平面的虛軸(jω軸)上。設(shè)F(s)為有理分式，F(xiàn)(s)在S左半平面和虛軸上都有極點(diǎn)，并且虛軸上的極點(diǎn)為N個(gè)單極點(diǎn)jω1，jω2，…，jωN，則F(s)可表示為

式中，F(xiàn)a(s)表示極點(diǎn)位于S左半平面對(duì)應(yīng)的分式。若Fa(s)的原函數(shù)為fa(t)，則上式的拉氏反變換為

現(xiàn)求f(t)的傅氏變換。先求式(4.5-5)右邊第一項(xiàng)的傅氏變換。由于

Fa(s)的極點(diǎn)都位于S左半平面，σ0<0，故由式(4.5-3)得fa(t)的傅氏變換為

4.6系統(tǒng)函數(shù)H(s)

4.6.1系統(tǒng)函數(shù)H(s)的定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換Yzs

(s)與激勵(lì)的拉氏變換X(s)之比定義為系統(tǒng)函數(shù)，用H(s)表示，即

一個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)，可用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述，即

在零狀態(tài)條件下，對(duì)上式兩邊取拉氏變換，并設(shè)x(t)為有始函數(shù)，即t

<0時(shí)，x(t)=0，利用時(shí)域微分性質(zhì)，移項(xiàng)整理得

從上式可以看出，系統(tǒng)函數(shù)H(s)僅取決于系統(tǒng)本身的特性，而與系統(tǒng)的激勵(lì)無(wú)關(guān)，它在系統(tǒng)分析與綜合中占有十分重要的地位。下面我們討論求取系統(tǒng)函數(shù)的方法。

4.6.2系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求取方法

1.給定沖激響應(yīng)求H(s)

在第2章已講過(guò)，系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，激勵(lì)為單位沖激信號(hào)δ(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為沖激響應(yīng)h(t)。由式(4.6-1)有

即

系統(tǒng)函數(shù)H(s)與沖激響應(yīng)h(t)是一對(duì)拉氏變換。h(t)和H(s)分別從時(shí)域和復(fù)頻域兩個(gè)方面表征了同一系統(tǒng)的特性。由式(4.6-4)知，若給定沖激響應(yīng)h(t)，對(duì)其取拉氏變換即可求得系統(tǒng)函數(shù)H(s

)；反之，若給定系統(tǒng)函數(shù)H(s)，則取其拉氏反變換即得沖激響應(yīng)h(t)。

2.給定系統(tǒng)微分方程求H(s)

在4.6.1節(jié)已介紹，若給定系統(tǒng)微分方程，則在零狀態(tài)條件下，對(duì)方程兩邊取拉氏變換得式(4.6-2)，系統(tǒng)函數(shù)H(s)便可求得。

【例4.6-1】已知描述系統(tǒng)的微分方程為

試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s

)。

解將給定系統(tǒng)的微分方程在零狀態(tài)下兩邊取拉氏變換，有

移項(xiàng)整理得

3.給定具體電路求H(s)

若給定的是一個(gè)具體電路的時(shí)域模型，首先由時(shí)域模型畫出電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型，然后根據(jù)式(4.6-2)求得系統(tǒng)函數(shù)H(s

)。

【例4.6-2】電路如圖4.6-1(a)所示，激勵(lì)為u1(t)，響應(yīng)為u2(t)，試求該電路的系統(tǒng)函數(shù)。圖4.6-1例4.6-2用圖

解首先畫出電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型，如圖4.6-1(b)所示。應(yīng)用阻抗分壓公式，有

所以系統(tǒng)函數(shù)

從本題分析再一次確知:系統(tǒng)函數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的特性(即電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù))，而與系統(tǒng)的激勵(lì)無(wú)關(guān)。

4.6.3系統(tǒng)框圖化簡(jiǎn)

在第1章中已指出，系統(tǒng)可以用框圖來(lái)表示。一個(gè)總系統(tǒng)可以由許多子系統(tǒng)作適當(dāng)聯(lián)接組成。當(dāng)各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)已知時(shí)，可通過(guò)框圖化簡(jiǎn)求得總系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。

子系統(tǒng)的基本聯(lián)接方式有級(jí)聯(lián)、并聯(lián)及反饋三種，下面分別討論之。

1.級(jí)聯(lián)

級(jí)聯(lián)如圖4.6-2所示，兩個(gè)子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為H

1(s)和H

2(s)，因?yàn)?/p>

所以

即子系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)函數(shù)為各子系統(tǒng)函數(shù)之積。圖4.6-2級(jí)聯(lián)

2.并聯(lián)

并聯(lián)如圖4.6-3所示。因?yàn)?/p>

所以

即子系統(tǒng)并聯(lián)時(shí)，總系統(tǒng)函數(shù)為各子系統(tǒng)函數(shù)之和。圖4.6-3并聯(lián)

3.反饋

反饋如圖4.6-4所示，其中子系統(tǒng)H1(s)稱為正向通路的系統(tǒng)函數(shù)，H2(s)稱為反饋通路的系統(tǒng)函數(shù)，“+”號(hào)表示正反饋，即輸入信號(hào)與反饋信號(hào)相加，“-

”號(hào)表示負(fù)反饋，即輸入信號(hào)與反饋信號(hào)相減。沒有反饋通路的系統(tǒng)稱為開環(huán)系統(tǒng)，有了反饋通路的系統(tǒng)稱為閉環(huán)系統(tǒng)。圖4.6-4反饋

從圖4.6-4中可以看出，因?yàn)?/p>

對(duì)于負(fù)反饋，式(4.6-7)分母中取正號(hào)，對(duì)于正反饋，式(4.6-7)分母中取負(fù)號(hào)。

常用的框圖化簡(jiǎn)規(guī)則列于表4-3，以便查閱應(yīng)用。

【例4.6-3】試用框圖化簡(jiǎn)的方法，求圖4.6-5(a)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s

)。

解首先利用表4-3中的分點(diǎn)后移規(guī)則將分點(diǎn)A后移，如圖4.6-5(b)所示。其次，根據(jù)子系統(tǒng)的聯(lián)接方式進(jìn)行逐一等效化簡(jiǎn)。由圖(b)知，Ha(s)和Hb(s)為負(fù)反饋聯(lián)接，應(yīng)用式(4.6-7)得

Hc(s)為并聯(lián)聯(lián)接，應(yīng)用式(4.6-6)得

最后，Hb(s)和Hc(s)為級(jí)聯(lián)聯(lián)接，由式(4.6-5)得總系統(tǒng)函數(shù)為圖4.6-5例4.6-3用圖

【例4.6-4】試用框圖化簡(jiǎn)的方法，求圖4.6-6(a)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s

)。

解首先利用表4.61中分點(diǎn)后移規(guī)則將分點(diǎn)A后移，如圖4.6-6(b)所示。其次，由圖(b)對(duì)各子系統(tǒng)進(jìn)行逐一等效化簡(jiǎn)，最后得總系統(tǒng)函數(shù)。

于是得總系統(tǒng)函數(shù)為

4.7連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

4.7.1微分方程的復(fù)頻域解描述線性非時(shí)變系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，而拉普拉斯變換是求解線性微分方程的有力工具。根據(jù)單邊拉普拉斯變換的時(shí)域微分性質(zhì)，可將描述系統(tǒng)的時(shí)域微分方程變?yōu)閺?fù)頻域代數(shù)方程，從而使求解變得簡(jiǎn)單易行。下面以二階系統(tǒng)為例，討論系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解。圖4.6-6例4.6-4用圖

設(shè)二階線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

對(duì)式(4.7-3)進(jìn)行拉氏反變換，可得全響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為

這種分析方法稱為微分方程的拉氏變換分析法，又稱為復(fù)頻域分析法。下面舉例說(shuō)明這種方法的運(yùn)用。

【例4.7-1】已知線性系統(tǒng)的微分方程為

激勵(lì)x(t)=e-

tε(t)，初始狀態(tài)y(0-

)=3，y'(0-

)=2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi

(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)和全響應(yīng)y(t)。

若直接對(duì)Y(s)取拉氏反變換，亦可求得全響應(yīng)，留給讀者自行練習(xí)。

必須指出，當(dāng)t<0時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=0，所以yzs(t)可注明t≥0，或乘以ε(t)。但零輸入響應(yīng)yzi

(t)，當(dāng)t<0時(shí)，yzi(t)不一定為零，所以y(t)只能注明t≥0，而不應(yīng)乘以ε(t)。

4.7.2電路的復(fù)頻域分析

對(duì)于一個(gè)具體電路，可先列出描述其輸入輸出關(guān)系的線性常系數(shù)微分方程，然后用前述的微分方程的復(fù)頻域解法求電路的響應(yīng)，但這一過(guò)程比較復(fù)雜。實(shí)際上，我們可不必先

列寫微分方程再取拉氏變換進(jìn)行分析，而是先將電路的時(shí)域模型轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域模型，然后應(yīng)用電路分析理論直接列寫求解復(fù)頻域響應(yīng)的代數(shù)方程，進(jìn)而求解并取拉氏反變換得所需

的響應(yīng)。下面我們先介紹三個(gè)基本電路元件R、L、C的復(fù)頻域模型。

1.電路元件的復(fù)頻域模型

1)電阻元件

設(shè)線性非時(shí)變電阻元件R上的電壓uR(t)和電流iR(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，其時(shí)域模型如圖4.7-1(a)所示。根據(jù)歐姆定律，電阻元件電壓電流關(guān)系(VAR)的時(shí)域形式為

對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得

由式(4.7-5)可得電阻元件的復(fù)頻域模型如圖4.7-1(b)所示。顯然電阻元件的復(fù)頻域模型與時(shí)域模型具有相同的形式。圖4.7-1電阻元件的時(shí)域模型和復(fù)頻域模型

2)電感元件

設(shè)線性非時(shí)變電感元件L上的電壓uL(t)和電流iL(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，其時(shí)域模型如圖4.7-2(a)所示。電感元件電壓電流關(guān)系的時(shí)域形式為

對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得

由式(4.7-6)可得電感元件的復(fù)頻域模型如圖4.7-2(b)所示，它為一個(gè)復(fù)頻感抗sL與一個(gè)大小為L(zhǎng)iL(0-

)的電壓源相串聯(lián)。圖4.7-2電感元件的時(shí)域模型和復(fù)頻域模型

3)電容元件

設(shè)線性非時(shí)變電容元件C上的電壓uC(t)和電流iC

(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，其時(shí)域模型如圖4.7-3(a)所示。電容元件電壓電流關(guān)系的時(shí)域形式為

對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得

由式(4.7-7)可得電容元件的復(fù)頻域模型如圖4.7-3(b)所示，它為一個(gè)復(fù)頻容抗與一個(gè)大小為的電壓源相串聯(lián)。圖4.7-3電容元件的時(shí)域模型和復(fù)頻域模型

2.電路的復(fù)頻域分析

利用拉普拉斯變換法分析電路，首先需由已知條件確定電路的初始狀態(tài);接著將電路的時(shí)域模型改畫為復(fù)頻域模型;對(duì)復(fù)頻域電路，應(yīng)用電路分析方法列出代數(shù)方程，解得響應(yīng)的復(fù)頻域表達(dá)式;最后取其拉氏反變換得響應(yīng)的時(shí)域解。下面舉例說(shuō)明復(fù)頻域分析法在電路分析中的應(yīng)用。

【例4.7-3】電路如圖4.7-5(a)所示，原已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S由1切換至2，試求輸出電壓uO(t)。

【例4.7-4】電路如圖4.7-6(a)所示，以u(píng)S(t)為輸入，i(t)為輸出，求該電路的沖激響應(yīng)h(t)。圖4.7-6例4.74用圖

解我們?cè)诘?章中已闡述，沖激響應(yīng)h(t)是單位沖激信號(hào)δ(t)作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?，F(xiàn)將圖4.7-6(a)中的輸入激勵(lì)令為uS(t)=δ(t)，輸出響應(yīng)i(t)=h(t)，畫出電路的復(fù)頻域模型如圖4.7-6(b)所示。由圖(b)得

取拉氏反變換得

4.8由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)特性

4.8.1系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)概念在第1章已講過(guò)，描述線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為常系數(shù)線性微分方程，在零狀態(tài)條件下對(duì)其取拉氏變換，并按系統(tǒng)函數(shù)H(s)的定義可得

系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式N(s)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)(zero)，用z1，z2，…，zm表示;分母多項(xiàng)式D(s)也稱特征多項(xiàng)式，D(s)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)(pole)，用p1，p2，…，pn表示。因此將式(4.8-1)進(jìn)行因式分解，又可表示為

H(s)的零點(diǎn)zj

和極點(diǎn)pi

可能是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。若極點(diǎn)(零點(diǎn))為虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必然是共軛成對(duì)的。

當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的全部零點(diǎn)、極點(diǎn)及H0

確定后，這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)就可以完全確定。由于H0

只是一個(gè)比例常數(shù)，對(duì)H(s)函數(shù)形式?jīng)]有影響，所以一個(gè)系統(tǒng)的特性可以完全由它的零點(diǎn)和極點(diǎn)表示。

把系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上的圖形，叫做系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)圖。其中零點(diǎn)用“o”表示，極點(diǎn)用“×”表示。若為n重極點(diǎn)，則注以(n)。

例如，

它有一個(gè)二重零點(diǎn)z1=0，一個(gè)零點(diǎn)z2

=-3，有一個(gè)三重極點(diǎn)p1

=-1和一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p2，3

=-2±j1

，由此繪出該系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)圖如圖4.8-1所示。

借助對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(s)在S平面的零、極點(diǎn)分布的研究，可以簡(jiǎn)明、直觀地得知系統(tǒng)響應(yīng)模式和系統(tǒng)的一些性能。例如，從系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布可以知道系統(tǒng)響應(yīng)所具有的模

式，是指數(shù)型、衰減振蕩型還是等幅振蕩型等等，從而可以了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定;又如，從系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布可以求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性?？傊?，系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來(lái)，下面我們就這兩方面進(jìn)行討論。

4.8.2由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的時(shí)域特性

由于系統(tǒng)函數(shù)H(s)的拉氏變換就是沖激響應(yīng)h(t)，因此根據(jù)H(s)零、極點(diǎn)分布就可以確定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)模式。于是我們先討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)模式的關(guān)系。

1.H(s)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)模式的關(guān)系

(1)若H(s)的極點(diǎn)位于S左半平面，則沖激響應(yīng)模式為衰減指數(shù)或減幅振蕩，如圖4.8-2(a)所示。

(2)若H(s)的極點(diǎn)位于S右半平面，則沖激響應(yīng)模式為增長(zhǎng)指數(shù)或增長(zhǎng)振蕩，如圖4.8-2(b)所示。

(3)若H(s)的單極點(diǎn)位于S平面虛軸上(包括原點(diǎn))，則沖激響應(yīng)模式為等幅振蕩或階躍函數(shù)，如圖4.8-2(c)所示。

(4)若H(s)的重極點(diǎn)位于S平面虛軸上(包括原點(diǎn))，則沖激響應(yīng)模式中含有tn-1

因子，呈增長(zhǎng)形式，如圖4.8-2(d)所示。圖4.8-2H(s)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)模式的關(guān)系

從以上分析可看出:

①若H(s)的極點(diǎn)位于S左半平面，則沖激響應(yīng)模式為衰減指數(shù)或減幅振蕩，系統(tǒng)屬于穩(wěn)定系統(tǒng);

②若H(s)的極點(diǎn)位于S右半平面，則沖激響應(yīng)模式為增長(zhǎng)指數(shù)或增長(zhǎng)振蕩，系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng);

③若H(s)的單極點(diǎn)位于S平面虛軸上(包括原點(diǎn))，則沖激響應(yīng)模式為等幅振蕩或階躍函數(shù)，系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng);

④若H(s)的重極點(diǎn)位于S平面虛軸上(包括原點(diǎn))，則沖激響應(yīng)呈增長(zhǎng)形式，系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。

因此，根據(jù)H(s)的極點(diǎn)在S平面上的分布情況即可判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別將在4.9節(jié)中研究。

2.H(s)的零點(diǎn)分布對(duì)沖激響應(yīng)模式的影響

系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)分布只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，對(duì)響應(yīng)模式無(wú)影響。

4.8.3由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

前面討論了借助系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零、極點(diǎn)分布可以確定系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)模式，下面討論從系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的

由式(4.8-2)知，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的表達(dá)式為

若H(s)的極點(diǎn)均位于S左半平面，則頻率響應(yīng)特性

于是有

可以看出，頻響特性取決于系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布，即取決于zj、pi的位置。式(4.8-4)分子中任一因式(jω-

zj

)相當(dāng)于由零點(diǎn)zj引向虛軸上某點(diǎn)jω的一個(gè)矢量，稱為零點(diǎn)矢量;分母中任一因式(jω-

pi

)相當(dāng)于由極點(diǎn)pi

引向虛軸上某點(diǎn)jω的一個(gè)矢量，稱為極點(diǎn)矢量，如圖4.8-3所示。

令

則式(4.8-4)可寫為

幅頻特性為

相頻特性為

當(dāng)角頻率ω從零(原點(diǎn))沿虛軸逐漸增大并趨于無(wú)窮大時(shí)，各零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量的模和輻角都隨之改變，于是由H(s)的零、極點(diǎn)圖，借助圖解的方法便可畫出系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。

【例4.8-1】一階RC電路如圖4.8-4(a)所示，試粗略畫出其幅頻特性和相頻特性曲線。圖4.8-4例4.81用圖(一)

解首先由電路的時(shí)域模型畫出其復(fù)頻域模型，如圖4.

8-4(b)所示。由圖(b)得系統(tǒng)函數(shù)

它有一個(gè)零點(diǎn)z1=0，一個(gè)極點(diǎn)如圖4.8-5(a)所示。由于極點(diǎn)在S左半平面，故該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

于是幅頻特性

相頻特性

現(xiàn)在我們來(lái)分析，當(dāng)ω沿虛軸從0→∞時(shí)，圖4.8-5例4.81用圖(二)

由此可粗略畫出系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖4.8-5(b)、(c)所示?？梢?，該電路為RC高通濾波電路。圖4.8-6例4.82用圖

4.9連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.9.1穩(wěn)定系統(tǒng)的概念穩(wěn)定系統(tǒng)是指對(duì)于有界的激勵(lì)產(chǎn)生有界的響應(yīng)(BIBO)的系統(tǒng)。如果對(duì)于有界的激勵(lì)產(chǎn)生無(wú)限增長(zhǎng)的響應(yīng)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身特性的反映，可以通過(guò)表征系統(tǒng)本身特性的系統(tǒng)函數(shù)H(s)或沖激響應(yīng)h(t)來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入信號(hào)x(t)為有界，即

為有界正值，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

則有

若沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積，即

那么由式(4.91)，有

故對(duì)任意輸入信號(hào)x(t)，只要沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積，則輸出yzs

(t)是有界的，為有界輸出。式(4.9-2)是線性非時(shí)變因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。

系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)和系統(tǒng)函數(shù)H(s)從不同側(cè)面表征系統(tǒng)的本性。判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，既可從時(shí)域方面也可從復(fù)頻域方面進(jìn)行，即通過(guò)研究H(s)的極點(diǎn)位于S平面的位置，可以很方便地給出系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。

在4.8節(jié)我們分析了系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)分布與響應(yīng)模式的關(guān)系，從中知道:

(2)特征方程

極點(diǎn)

顯然，極點(diǎn)p1具有正實(shí)部，位于S右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4.9.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定準(zhǔn)則

如上所述，為了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先要求解出特征方程的根，對(duì)于低階系統(tǒng)是方便的，但對(duì)于高階系統(tǒng)要計(jì)算出全部特征根則十分麻煩。因此希望應(yīng)用一種直接判斷系統(tǒng)特征方程的根是否全部位于S左半平面的方法，羅斯霍爾維茲準(zhǔn)則(Routh-Hurwitzcriterion)就是這樣一種方法。

羅斯霍爾維茲準(zhǔn)則指出，若系統(tǒng)的特征方程為

①D(s)的各項(xiàng)系數(shù)為正值，且不為零;

②按下述規(guī)則排出的羅斯表中第1列元素的符號(hào)相同。

羅斯表排寫規(guī)則如下:

表中第1行的元素是D(s)多項(xiàng)式的第一、第三、第五…項(xiàng)的系數(shù)，第2行的元素是D

(s)多項(xiàng)式的第二、第四、第六…項(xiàng)的系數(shù)。第3行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算:

依此類推，直到第n+1行。

如果羅斯表第1列元素的符號(hào)不完全相同，那么其符號(hào)改變的次數(shù)即為特征方程的根(極點(diǎn))位于S右半平面的數(shù)目。

【例4.9-2】已知某系統(tǒng)的特征方程為

試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解特征方程D(s)=0的各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且不為零，接下來(lái)排出羅斯表

因?yàn)榈?列中元素的符號(hào)改變兩次(從1到-7，又從-7到45/7)，故該系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)位于S右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

由前面所述判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的羅斯霍爾維茲準(zhǔn)則可知，對(duì)于二階線性連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為:特征方程D(s)=0的各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且不為零。

當(dāng)用羅斯表來(lái)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到兩種特殊情況，需要作特殊處理:

①羅斯表中某一行的第1列元素為0，而其余元素不全為0，這樣就不能繼續(xù)計(jì)算下一行的第1列元素。這種特殊情況可這樣處理:將第1列中出現(xiàn)的0用一個(gè)任意小的正數(shù)ε來(lái)代替，然后繼續(xù)排寫下去。

②羅斯表尚未排寫完畢時(shí)出現(xiàn)某一行的元素全為0，這種特殊情況的處理方法是:利用全0行的前一行的元素組成一個(gè)s的輔助多項(xiàng)式A(s)，然后對(duì)這個(gè)輔助多項(xiàng)式求一階導(dǎo)數(shù)并用一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替全0行，再繼續(xù)排寫下去。

【例4.9-4】已知某系統(tǒng)的特征方程為

試分析其穩(wěn)定性。

解

D(s)的各項(xiàng)系數(shù)均為正值，且不為零，排出羅斯表

s1行第1列元素為0，用一個(gè)小的正數(shù)ε來(lái)代替。當(dāng)ε→0時(shí)，羅斯表中第1列元素的符號(hào)改變了兩次，因此系統(tǒng)的兩個(gè)特征根位于S右半平面，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

【例4.9-5】已知某一系統(tǒng)的特征方程為

試分析其穩(wěn)定性。

解排出其羅斯表

此時(shí)在s1行出現(xiàn)所有元素全為0，這種情況通常出現(xiàn)在連續(xù)兩行元素相等或成比例時(shí)，說(shuō)明特征方程有共軛虛根。處理方法是將前一行(s2行)的元素組成一個(gè)輔助多項(xiàng)式A(

s)=將求導(dǎo)后的系數(shù)8、0代替全0行的元素，繼續(xù)排寫羅斯表:

s1行原為所有元素0行，現(xiàn)用的系數(shù)代替。從排寫完畢的羅斯表看出，表中第1列元素全大于0，故系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，這是因?yàn)?/p>

其中有兩個(gè)特征根p1，2=±j，單根位于S平面虛軸上。

4.10連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖

我們知道，線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述，可以用系統(tǒng)模擬框圖較直觀地表示。但當(dāng)系統(tǒng)較復(fù)雜時(shí)，模擬框圖的化簡(jiǎn)過(guò)程將會(huì)復(fù)雜，此時(shí)應(yīng)用信號(hào)流圖和梅森(Mason)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)會(huì)變得方便些。

4.10.1連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示

線性連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖是由點(diǎn)和有向線段組成的線圖，用來(lái)表示系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，是系統(tǒng)框圖表示的一種簡(jiǎn)化形式，可從模擬框圖演變出來(lái)。圖4.10-1(a)所示為一個(gè)

系統(tǒng)的模擬框圖表示，將其變成信號(hào)流圖形式，如圖4.10-1(b)所示。圖(b)中，箭頭指示信號(hào)流動(dòng)方向，線段的權(quán)值就是該區(qū)間的系統(tǒng)函數(shù)。圖4.10-1系統(tǒng)的模擬框圖和信號(hào)流圖表示

關(guān)于信號(hào)流圖，有一些術(shù)語(yǔ)定義如下:

(1)節(jié)點(diǎn):表示系統(tǒng)中的變量或信號(hào)的點(diǎn)。

(2)支路:連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的有向線段。

(3)源點(diǎn)與匯點(diǎn):僅有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)(或輸入節(jié)點(diǎn))，它對(duì)應(yīng)的是輸入信號(hào)，如圖4.10-1(b)中的X

(s);僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)(或輸出節(jié)點(diǎn))，它對(duì)應(yīng)的是輸

出信號(hào)，如圖4.10-1(b)中的Y(s)。

(4)混合節(jié)點(diǎn):既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。僅有一條輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”;僅