信號與系統(tǒng)課件：連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法

連續(xù)信號與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法4.1拉普拉斯變換4.2典型信號的拉普拉斯變換4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)4.4拉普拉斯反變換4.5拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系4.6系統(tǒng)函數(shù)H(s)4.7連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.8由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)特性4.9連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.10連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖習(xí)題4

在第3章中，我們研究了連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析(亦即傅里葉變換分析法)，它以虛指數(shù)信號ejωt為基本信號，將輸入信號分解為不同頻率的虛指數(shù)分量之和。這種方法在信號分析和處理等方面(如分析諧波成分、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、波形失真、取樣、濾波等)是十分有效的。但是，頻域分析法也有一定的局限性。其一，雖然實(shí)用的大多數(shù)信號都能求得其傅里葉變換，但也有一些重要信號，例如階躍信號ε(

t)、斜坡信號tε(t)、單邊正弦信號sintε(t)等，它們并不滿足絕對可積條件，因而不能直接由定義式導(dǎo)出其傅里葉變換。

此外，還有一些信號，如單邊增長指數(shù)信號eatε(t)(a>0)，則根本不存在傅里葉變換;其二，求取傅里葉變換有時也是比較困難的;其三，傅里葉變換分析法只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，這對具有初始狀態(tài)的系統(tǒng)確定其全響應(yīng)也是十分不便的。為此引出一種更有效而簡便的方法，這便是拉普拉斯變換分析法，簡稱拉氏變換分析法。

這便是拉普拉斯變換分析法，簡稱拉氏變換分析法。

拉普拉斯變換分析法是分析連續(xù)、線性、非時變系統(tǒng)的有效工具。它與傅里葉變換分析法相比，把頻域擴(kuò)展為復(fù)頻域，從而簡化了信號的變換式，擴(kuò)大了信號變換的范圍，而且求解較簡便，因而應(yīng)用更為廣泛。

本章首先從傅里葉變換導(dǎo)出拉普拉斯變換，并對信號拉普拉斯變換的收斂域、典型信號的拉普拉斯變換及拉普拉斯變換的一些基本性質(zhì)加以闡述，然后討論拉普拉斯反變換，

并以此為基礎(chǔ)，著重討論連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法。應(yīng)用系統(tǒng)函數(shù)及其零極點(diǎn)分析系統(tǒng)的時域特性、頻域特性和穩(wěn)定性。最后介紹系統(tǒng)框圖和信號流圖的建立，并利用梅森公式求系統(tǒng)函數(shù)。

4.1拉普拉斯變換

4.1.1從傅里葉變換到拉普拉斯變換一個信號f(t)若滿足絕對可積條件，則其傅里葉變換一定存在，例如單邊衰減指數(shù)信號e-

atε(t)(a>0)。但有一些信號，例如單邊增長指數(shù)信號eatε(t)(a>0)，由于不滿足絕對可積條件，其傅里葉變換不一定存在，甚至不存在。

為了克服以上困難，引入一收斂因子e-

σt

(σ為實(shí)數(shù))，選擇適當(dāng)?shù)摩抑?，使f(t)e-

σt

滿足絕對可積條件，則該信號的傅里葉變換存在。根據(jù)傅里葉變換定義式有

它是σ+jω的函數(shù)，可寫成

令s=σ+jω，稱為復(fù)頻率，則式(4.1-2)寫為

式(4.1-3)稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換?？紤]到實(shí)際中遇到的信號都是有始信號，即使f(t)=0，以及信號雖然不起始于t=0，而問題的討論只需考慮信號t≥0的部分。在這兩種情況下，式(4.1-3)可改寫為

式(4.1-4)稱為f(t)的單邊拉普拉斯變換，它是復(fù)頻率s的函數(shù)，記作L[

f(t)]。式中積分下限用0-

而不用0+，目的是可把t=0時刻出現(xiàn)的沖激及其各階導(dǎo)數(shù)包含到積分中去。

由于在分析因果系統(tǒng)，特別是具有非零初始條件的線性常系數(shù)微分方程時，單邊拉普拉斯變換具有重要價值，因而，本書只討論單邊拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)，下面提到的拉氏變換均指單邊拉氏變換。

現(xiàn)在我們討論拉普拉斯反變換。

根據(jù)傅里葉反變換定義式及式(4.1-2)，有

將上式兩邊乘以eσt，得

因s=σ+jω，則ds=jdω，當(dāng)ω=±∞時，s=σ±j∞，于是上式可改寫為

式(4.1-5)稱為雙邊拉普拉斯反變換，它是時間t的函數(shù)，記作L-1[f(t)]。

式(4.1-3)和式(4.1-5)又稱為拉普拉斯變換對。F(s)是f(t)的象函數(shù)，f(t)是F(s)的原函數(shù)。f(t)與F(s)之間這種變換與反變換的關(guān)系可用雙箭頭簡記為

從上述由傅里葉變換導(dǎo)出雙邊拉普拉斯變換的過程中可以看出，F(xiàn)(s)=F(σ+jω)對f(t)e-

σt

來說，是f(t)e-

σt

的傅里葉變換，對f(t)來說，則是f(t)的雙邊拉普拉斯變換，

或者說F(s)是f(t)的廣義傅里葉變換。由于f(t)e-

σt較容易滿足絕對可積的條件，這就意味著許多原來不存在傅里葉變換的信號都存在廣義傅里葉變換，即雙邊拉普拉斯變換，

于是拉普拉斯變換擴(kuò)大了信號變換的范圍。

4.1.2拉普拉斯變換的收斂域

對于任意信號f(t)，為使其拉普拉斯變換存在，式(4.1-4)的積分必須收斂，即

顯然，拉普拉斯變換是否存在，取決于能否選取適當(dāng)?shù)摩抑?。我們把使f(t)e-

σt滿足絕對可積條件的σ取值范圍稱為拉普拉斯變換的收斂域。因為滿足絕對可積條件意味著f(

te-

σt應(yīng)收斂，即

所以，可根據(jù)式(4.1-8)來確定其收斂域，亦即σ的取值范圍。我們把最低限度的σ值稱為收斂坐標(biāo)，用σ0表示。經(jīng)過σ0

的垂直線是收斂邊界，稱為收斂軸。由于單邊拉普拉斯變換的收斂域都位于收斂軸的右邊區(qū)域，那么收斂域可表示為

下面舉例說明拉普拉斯變換收斂域的確定。圖4.1-1拉普拉斯變換的收斂域

故得其收斂域為σ>0，收斂坐標(biāo)為σ0=0，如圖4.1-1(b)所示。

由于單邊拉普拉斯變換的收斂域是由Re[s]>σ0的半平面組成，收斂域比較容易確定，故在一般情況下，不再加注其收斂域。我們在此再強(qiáng)調(diào)一下，以后討論的拉普拉斯變換是指單邊拉普拉斯變換。

4.2典型信號的拉普拉斯變換

下面給出一些典型信號的拉普拉斯變換。1.單邊指數(shù)信號e-atε(t)即收斂域為Re[s]>-

a

2.單位階躍信號ε(t)

令式(4.2-1)中a=0，則有

收斂域為Re[s]>0。

3.單位沖激信號δ(t)

即

收斂域為Re[s]>-∞。

4.單邊正弦信號sinω0tε(t)

由于

利用式(4.2-1)，可得

即

收斂域為Re[s]>-∞。

5.單邊余弦信號cosω0tε(t)

與單邊正弦信號sinω

0

tε(t)拉氏變換的推導(dǎo)方式相似，可推得

6.t的正冪信號tnε(t)(n為正整數(shù))

對上式進(jìn)行分部積分，有

即

以此類推，可導(dǎo)出

即

收斂域為Re[s]>-∞。

7.單邊雙曲正弦函數(shù)shβtε(t)、余弦函數(shù)chβtε(t)

由于

利用式(4.2-1)可得到

收斂域為Re[s]>-∞。

表4-1列出了典型信號的拉氏變換，以備查用。

4.3拉普拉斯變換的性質(zhì)

在實(shí)際應(yīng)用中，人們常常不是利用定義式計算拉氏變換，而是巧妙地利用拉氏變換的一些基本性質(zhì)。由于拉氏變換是傅里葉變換的推廣，所以兩種變換的性質(zhì)極為相似。在某些性質(zhì)中，只需把傅氏變換中的jω用s替代即可。但是要注意，傅氏變換是雙邊的，而這里討論的拉氏變換是單邊的，所以某些性質(zhì)又有差別。下面介紹拉氏變換的一些基本性質(zhì)，其中與傅氏變換相類同的性質(zhì)不再證明。

1.線性

若f1(t)?F1(s)，f2(t)?F2(s)，則

式中a1

和a2為任意常數(shù)。

2.比例性(尺度變換)

若，f(t)?F(s)，則

式中規(guī)定常數(shù)a>0是必要的，因為f(t)為有始信號，若a<0，則f(at)的單邊拉氏變換為零。

【例4.3-1】求e-

tε(2t)的拉氏變換。

解

因

那么，應(yīng)用拉氏變換的比例性得

即

3.時移性

若f(t)?F(s)，則

上式t0>0的規(guī)定對于單邊拉氏變換是必要的，因為若t0<0，信號的波形有可能左移越過原點(diǎn)，這將導(dǎo)致原點(diǎn)以左部分不能包含在從0-

到∞的積分中去，從而造成錯誤。

證明

【例4.3-2】已知信號f(t)=5ε(t)-e-3(t+1)ε(t+1)，試求其拉氏變換。

解因

應(yīng)用拉氏變換的時移性，有

由線性得

【例4.3-3】已知信號f(t)的波形如圖4.3-1所示，求其拉氏變換。圖4.3-1例4.3-3用圖

時移性的一種重要應(yīng)用是求有始周期信號的拉氏變換。若以T為周期的有始周期信號f(t)的第一周期、第二周期、第三周期…的波形分別用f1(t)、f2(t)、f3(t)…表示，

則有

若f1(t)?F1(s)，則根據(jù)時移性可得

即有始周期信號的拉氏變換為

【例4.3-4】試求圖4.3-2所示的正弦半波，求其拉氏變換周期信號的拉氏變換。圖4.3-2例4.3-4用圖(一)

解這是一個有始周期信號，要求其拉氏變換，需求第一周期波形的拉氏變換。第一周期波形可表示為兩個正弦波的疊加，如圖4.3-3所示。例4.3-3例4.3-3用圖(二)

這樣

其拉氏變換為

利用式(4.3-4)可得

綜合性質(zhì)2和3，有

證明先應(yīng)用時移性，有

再應(yīng)用比例性，得

4.頻移性

若f(t)?F(s)，則

此性質(zhì)表明，時間函數(shù)乘以因子e±s0t，相當(dāng)于其變換式在s域內(nèi)移動?s0

。

5.時域微分

若f(t)?F(s)，則

證明根據(jù)拉氏變換的定義式(4.1-4)，有

同理可得

以此類推，可得式(4.3-9)。

【例4.3-7】信號f(t)如圖4.3-4(a)所示，求其拉氏變換F(s)。

解對于由直線段構(gòu)成的信號，均可用時域微分求其拉氏變換。對圖4.3-4(a)所示三角脈沖，其一階和二階導(dǎo)數(shù)如圖(b)、(c)所示。由圖(c)可寫出f″(t)的函數(shù)表達(dá)式為

應(yīng)用拉氏變換的時移性和時域微分，有

由圖(a)和(b)知，f(0-

)=0，f'(0-

)=0，于是得f(t)的拉氏變換例4.3-4例4.3-7用圖

【例4.3-8】已知信號f(t)波形如圖4.3-5(a)所示，求其拉氏變換F(s)。圖4.3-5例4.3-8用圖

解圖4.3-5(a)所示波形的一階導(dǎo)數(shù)如圖4.3-5(b)所示。由圖(b)寫出f'(t)的表達(dá)式為

應(yīng)用拉氏變換的時移性和時域微分，有

由圖(b)知，f(0

-

)=0，于是得圖4.3-6例4.3-9用圖圖4.3-7例4.3-10用圖

解我們討論的是單邊拉氏變換，先將圖4.3-7(a)改為單邊得圖4.3-7(b)，作圖4.3-7(b)的一階導(dǎo)數(shù)得圖4.3-7(c)。由圖4.3-7(c)，有

等式兩端作拉氏變換，得

由圖(b)知，f(0-

)=0，于是得

6.時域積分

若f(t)?F(s)，則

式中，

(1)證明式(4.3-10)。

根據(jù)拉氏變換的定義，有

應(yīng)用分部積分法，可得

當(dāng)t→∞和t→0-

時，上式右邊第一項為零，所以

(2)證明式(4.3-11)。

所以

7.初值定理

證明利用時域微分性質(zhì)

上式中右邊第一項積分限為(0+~∞)，在整個積分區(qū)間內(nèi)t=0，那么e-

stt=0=1，于是上式可寫成

即

對上式兩邊取極限，令s→∞，則左邊積分項為零，有

初值定理表明，信號f(t)在時域中的初值f(0+)可以在復(fù)頻域中求取，條件是)必須存在。這個復(fù)頻域中)存在的條件，在時域中對應(yīng)于f(t)在t=0處

不包含沖激及其導(dǎo)數(shù)，即F(s)必須是真分式。當(dāng)F(s)不是真分式時，不能直接利用式(4.3-12)求初值，而必須用長除法將F(s)化為s多項式與一個真分式F0(s)之和，然后再由真分式F0(s)求初值。

解由于F(s)不是真分式，分子和分母的最高次冪相同，故必須先用長除法將其分解為

然后對真分式部分用初值定理，得

解F(s)不是真分式，因分子的最高次冪高于分母的最高次冪，故必須先用長除法將其分解為

然后對真分式部分用初值定理，得

因上式左邊

于是

即

終值定理表明，信號在時域中的終值f(∞)可在復(fù)頻域中求取，條件是limt→∞f(t)存在。這個時域中的條件相當(dāng)于在復(fù)頻域中F(s)的極點(diǎn)都位于S平面的左半平面和原點(diǎn)僅有單極點(diǎn)。

所謂極點(diǎn)，就是指使F(s)的分母等于零的根。

解F(s)有三個極點(diǎn)，分別為s1=0，s2

=-2，s3

=-1，第一個極點(diǎn)是位于原點(diǎn)的單極點(diǎn)，第二和第三極點(diǎn)都位于S平面的左半平面，故滿足應(yīng)用終值定理的條件，有

解F(s)的極點(diǎn)為s1=0，s2，3

=±j3，后兩個極點(diǎn)位于S平面的虛軸上，不滿足終值定理應(yīng)用的條件，f(∞)不存在。

9.卷積定理

(1)時域卷積。

證明

根據(jù)拉氏變換的時移性，有

于是得

10.復(fù)頻域微分

若f(t)?F(s)，則

證明根據(jù)單邊拉普拉斯變換的定義有

對上式兩邊關(guān)于s求一次導(dǎo)數(shù)，得

故得

重復(fù)運(yùn)用上述過程可得

【例4.3-17】求信號te-

αtε(t)的拉氏變換。

解由典型信號的拉氏變換知

利用復(fù)頻域微分，得

為了便于查閱和應(yīng)用，將單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)列于表4-2中。

4.4拉普拉斯反變換

從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的過程稱為拉普拉斯反變換。求拉普拉斯反變換除了應(yīng)用表4.2-1和4.3節(jié)討論的拉氏變換的性質(zhì)外，通常有兩種方法:部分分式展開法和留數(shù)法(圍線積分法)。前者是將復(fù)雜變換式F(s)分解為許多簡單變換式之和，然后查表求得原時間函數(shù)f(t)，它適用于F(s)為有理函數(shù)的情況;后者則是直接進(jìn)行拉氏反變換積分，它的適用范圍較廣。下面分別討論這兩種方法。

4.4.1部分分式展開法

常見的拉氏變換式F(s)是s的有理分式，可表示為

式中，N(s)和D(s)分別為F(s)的分子多項式和分母多項式，系數(shù)ai

(i=0，1，…，n)和bj(j=0，1，…，m)均為實(shí)數(shù)。若m<n，則F(s)為真分式;若m≥n，則F(s)為假分式。

在應(yīng)用部分分式展開法之前，亦即在分解F(s)為許多簡單變換式之前，首先應(yīng)判斷F(s)是否為真分式，若F(s)為假分式，則要用長除法將F(

s)化成如下形式

式(4.4-2)中，為真分式，除此之外其余各項的拉氏反變換為沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)。例如

所以下面著重討論是真分式時的拉氏反變換，我們分三種情形來分析。

1.D(s)=0的根為相異實(shí)根(單實(shí)根)

若D(s)=0的根是個n相異實(shí)根，則F(s)可展開為如下部分分式之和，即

系數(shù)ki可這樣求得:將式(4.4-3)兩邊同乘以(s

-

si

)，且令s=si

，于是式(4.4-3)的右邊只留下ki項，即

由于

所以F(s)的單邊拉氏反變換可表示為

由此可見，當(dāng)D(s)=0具有相異實(shí)根時，F(xiàn)

(s)的拉氏反變換是許多實(shí)指數(shù)函數(shù)項之和。

2.D(s)=0的根有共軛復(fù)根且無重根

若D(s)=0的根有復(fù)根，則必然共軛成對出現(xiàn)，而且在部分分式展開式中對應(yīng)項系數(shù)亦互為共軛。這種情況下求拉氏反變換可用配方法或部分分式展開法?，F(xiàn)舉例說明。

3.D(s)=0的根有重根

若D(s)=0的根有一個p重根s1，則F(s)重根所對應(yīng)的部分分式展開式為

令

則式(4.4-7)可寫為

解本題F(s)既含有重根，又含有復(fù)根，我們可按如下方式進(jìn)行解答:令Q=s2

，則F(s)部分分式展開為

所以

將Q=s2

代入上式，有

故得

將k1=1代入，得

所以

值得一提的是，除部分分式展開法外，應(yīng)用拉普拉斯變換的性質(zhì)并結(jié)合典型信號的拉氏變換也是求單邊拉普拉斯反變換的重要方法。下面舉例說明之。

4.4.2留數(shù)法

拉普拉斯反變換式是

這是一個復(fù)變函數(shù)的線積分，積分路徑是在S平面上F(

s)的收斂域內(nèi)平行于虛軸(jω軸)的直線，如圖4.4-1(a)所示，其中σ0是F(s)的收斂坐標(biāo)，直線AB為積分路徑。為了能應(yīng)用留數(shù)定理，必須補(bǔ)上一個半徑充分大的圓弧，使圓弧與直線構(gòu)成一閉合曲線(亦稱閉合圍線)。用圍線積分來代替線積分。當(dāng)t>0時，圓弧應(yīng)補(bǔ)在直線左邊，如圖4.4-1(b)中的CR1;而當(dāng)t<0時，圓弧應(yīng)補(bǔ)在直線右邊，如圖4.4-1(b)中的CR2

。圖4.4-1拉氏反變換的圍線積分路徑

根據(jù)約當(dāng)引理，若滿足條件

則

因我們討論的是單邊拉氏反變換，所以只需求t>0時的函數(shù)表達(dá)式。由上可看出，拉氏反變換積分等于圍線積分乘以于是得

留數(shù)定理指出，復(fù)平面上任意閉合圍線積分等于圍線內(nèi)被積函數(shù)所有極點(diǎn)的留數(shù)之和乘以2πj。由于圖4.4-1(b)中積分圍線CR1

半徑充分大并在直線σ=c>σ0

的左邊，因而CR1和直線構(gòu)成的閉合圍線包圍了F(s)est

的所有極點(diǎn)si

，故有

由上式可知，拉氏反變換的運(yùn)算轉(zhuǎn)換為求被積函數(shù)F(

s)est

在各個極點(diǎn)上的留數(shù)。

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，當(dāng)F(s)為有理真分式時，其留數(shù)可作如下計算:

(1)若F(s)est的極點(diǎn)為單極點(diǎn)，則該極點(diǎn)的留數(shù)為

(2)若F(s)est的極點(diǎn)為p重極點(diǎn)，則該極點(diǎn)的留數(shù)為

解

F(s)有一個單極點(diǎn)s1=0和一個二重極點(diǎn)s2

=-1，按式(4.4-15)和式(4.4-16)分別求出相應(yīng)極點(diǎn)上的留數(shù)為

于是，根據(jù)式(4.4-14)得

4.5拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系

由于單邊拉氏變換是由傅氏變換推廣而來，若f(t)為有始信號，那么f(t)的這兩種變換之間必有聯(lián)系。下面我們研究單邊拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系。

若f(t)為因果信號，則f(t)的傅里葉變換F(jω)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為

設(shè)F(s)的收斂域為Re[s]>σ0

，σ0

稱為收斂坐標(biāo)，為一實(shí)數(shù)。依據(jù)收斂坐標(biāo)σ0

的值，我們分三種情況討論F(jω)與F(s)的關(guān)系。

1.σ0<0

如果F(s)的收斂坐標(biāo)σ0<0，如圖4.5-1(a)所示，則F(s)的收斂域包含虛軸(jω軸)，傅里葉變換存在。在這種情況下，令拉氏變換式中σ=jω，就可得到傅氏變換，即

例如，f(t)=e-

atε(t)，a>0，其拉氏變換為

收斂域Re

[s]>-

a，由式(4.5-3)可得傅里葉變換為

又如，f(t)=e-

atsinω0tε(t)，a>0，其拉斯變換為

收斂域Re

[s]>-

a，其傅氏變換為圖4.5-1收斂坐標(biāo)σ0在復(fù)平面的位置

2.σ0>0

如果F(s)的收斂坐標(biāo)σ0>0，如圖4.5-1(b)所示，則虛軸在收斂域外，即在虛軸s=jω處，

不收斂。在這種情況下，f(t)傅里葉變換不存在。

例如，增長函數(shù)f(t)=eatε(t)，a>0，其拉氏變換為

收斂域Re

[s]>a>0，但傅氏變換不存在。

3.σ0=0

如果F(s)的收斂坐標(biāo)σ0=0，如圖4.5-1(c)所示，那么函數(shù)f(t)既具有拉氏變換，也具有傅氏變換，但不能直接由式(4.5-3)求其傅氏變換。

因為收斂坐標(biāo)σ0

=0，函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)收斂邊界與虛軸重合，意味著F(s)除了有一些極點(diǎn)位于S左半平面外，必有極點(diǎn)位于S平面的虛軸(jω軸)上。設(shè)F(s)為有理分式，F(xiàn)(s)在S左半平面和虛軸上都有極點(diǎn)，并且虛軸上的極點(diǎn)為N個單極點(diǎn)jω1，jω2，…，jωN，則F(s)可表示為

式中，F(xiàn)a(s)表示極點(diǎn)位于S左半平面對應(yīng)的分式。若Fa(s)的原函數(shù)為fa(t)，則上式的拉氏反變換為

現(xiàn)求f(t)的傅氏變換。先求式(4.5-5)右邊第一項的傅氏變換。由于

Fa(s)的極點(diǎn)都位于S左半平面，σ0<0，故由式(4.5-3)得fa(t)的傅氏變換為

4.6系統(tǒng)函數(shù)H(s)

4.6.1系統(tǒng)函數(shù)H(s)的定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換Yzs

(s)與激勵的拉氏變換X(s)之比定義為系統(tǒng)函數(shù)，用H(s)表示，即

一個線性非時變系統(tǒng)，可用常系數(shù)線性微分方程來描述，即

在零狀態(tài)條件下，對上式兩邊取拉氏變換，并設(shè)x(t)為有始函數(shù)，即t

<0時，x(t)=0，利用時域微分性質(zhì)，移項整理得

從上式可以看出，系統(tǒng)函數(shù)H(s)僅取決于系統(tǒng)本身的特性，而與系統(tǒng)的激勵無關(guān)，它在系統(tǒng)分析與綜合中占有十分重要的地位。下面我們討論求取系統(tǒng)函數(shù)的方法。

4.6.2系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求取方法

1.給定沖激響應(yīng)求H(s)

在第2章已講過，系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，激勵為單位沖激信號δ(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為沖激響應(yīng)h(t)。由式(4.6-1)有

即

系統(tǒng)函數(shù)H(s)與沖激響應(yīng)h(t)是一對拉氏變換。h(t)和H(s)分別從時域和復(fù)頻域兩個方面表征了同一系統(tǒng)的特性。由式(4.6-4)知，若給定沖激響應(yīng)h(t)，對其取拉氏變換即可求得系統(tǒng)函數(shù)H(s

)；反之，若給定系統(tǒng)函數(shù)H(s)，則取其拉氏反變換即得沖激響應(yīng)h(t)。

2.給定系統(tǒng)微分方程求H(s)

在4.6.1節(jié)已介紹，若給定系統(tǒng)微分方程，則在零狀態(tài)條件下，對方程兩邊取拉氏變換得式(4.6-2)，系統(tǒng)函數(shù)H(s)便可求得。

【例4.6-1】已知描述系統(tǒng)的微分方程為

試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s

)。

解將給定系統(tǒng)的微分方程在零狀態(tài)下兩邊取拉氏變換，有

移項整理得

3.給定具體電路求H(s)

若給定的是一個具體電路的時域模型，首先由時域模型畫出電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型，然后根據(jù)式(4.6-2)求得系統(tǒng)函數(shù)H(s

)。

【例4.6-2】電路如圖4.6-1(a)所示，激勵為u1(t)，響應(yīng)為u2(t)，試求該電路的系統(tǒng)函數(shù)。圖4.6-1例4.6-2用圖

解首先畫出電路的零狀態(tài)復(fù)頻域模型，如圖4.6-1(b)所示。應(yīng)用阻抗分壓公式，有

所以系統(tǒng)函數(shù)

從本題分析再一次確知:系統(tǒng)函數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的特性(即電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù))，而與系統(tǒng)的激勵無關(guān)。

4.6.3系統(tǒng)框圖化簡

在第1章中已指出，系統(tǒng)可以用框圖來表示。一個總系統(tǒng)可以由許多子系統(tǒng)作適當(dāng)聯(lián)接組成。當(dāng)各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)已知時，可通過框圖化簡求得總系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。

子系統(tǒng)的基本聯(lián)接方式有級聯(lián)、并聯(lián)及反饋三種，下面分別討論之。

1.級聯(lián)

級聯(lián)如圖4.6-2所示，兩個子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為H

1(s)和H

2(s)，因為

所以

即子系統(tǒng)級聯(lián)時，總系統(tǒng)函數(shù)為各子系統(tǒng)函數(shù)之積。圖4.6-2級聯(lián)

2.并聯(lián)

并聯(lián)如圖4.6-3所示。因為

所以

即子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)函數(shù)為各子系統(tǒng)函數(shù)之和。圖4.6-3并聯(lián)

3.反饋

反饋如圖4.6-4所示，其中子系統(tǒng)H1(s)稱為正向通路的系統(tǒng)函數(shù)，H2(s)稱為反饋通路的系統(tǒng)函數(shù)，“+”號表示正反饋，即輸入信號與反饋信號相加，“-

”號表示負(fù)反饋，即輸入信號與反饋信號相減。沒有反饋通路的系統(tǒng)稱為開環(huán)系統(tǒng)，有了反饋通路的系統(tǒng)稱為閉環(huán)系統(tǒng)。圖4.6-4反饋

從圖4.6-4中可以看出，因為

對于負(fù)反饋，式(4.6-7)分母中取正號，對于正反饋，式(4.6-7)分母中取負(fù)號。

常用的框圖化簡規(guī)則列于表4-3，以便查閱應(yīng)用。

【例4.6-3】試用框圖化簡的方法，求圖4.6-5(a)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s

)。

解首先利用表4-3中的分點(diǎn)后移規(guī)則將分點(diǎn)A后移，如圖4.6-5(b)所示。其次，根據(jù)子系統(tǒng)的聯(lián)接方式進(jìn)行逐一等效化簡。由圖(b)知，Ha(s)和Hb(s)為負(fù)反饋聯(lián)接，應(yīng)用式(4.6-7)得

Hc(s)為并聯(lián)聯(lián)接，應(yīng)用式(4.6-6)得

最后，Hb(s)和Hc(s)為級聯(lián)聯(lián)接，由式(4.6-5)得總系統(tǒng)函數(shù)為圖4.6-5例4.6-3用圖

【例4.6-4】試用框圖化簡的方法，求圖4.6-6(a)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s

)。

解首先利用表4.61中分點(diǎn)后移規(guī)則將分點(diǎn)A后移，如圖4.6-6(b)所示。其次，由圖(b)對各子系統(tǒng)進(jìn)行逐一等效化簡，最后得總系統(tǒng)函數(shù)。

于是得總系統(tǒng)函數(shù)為

4.7連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

4.7.1微分方程的復(fù)頻域解描述線性非時變系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程，而拉普拉斯變換是求解線性微分方程的有力工具。根據(jù)單邊拉普拉斯變換的時域微分性質(zhì)，可將描述系統(tǒng)的時域微分方程變?yōu)閺?fù)頻域代數(shù)方程，從而使求解變得簡單易行。下面以二階系統(tǒng)為例，討論系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解。圖4.6-6例4.6-4用圖

設(shè)二階線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

對式(4.7-3)進(jìn)行拉氏反變換，可得全響應(yīng)的時域表達(dá)式為

這種分析方法稱為微分方程的拉氏變換分析法，又稱為復(fù)頻域分析法。下面舉例說明這種方法的運(yùn)用。

【例4.7-1】已知線性系統(tǒng)的微分方程為

激勵x(t)=e-

tε(t)，初始狀態(tài)y(0-

)=3，y'(0-

)=2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi

(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)和全響應(yīng)y(t)。

若直接對Y(s)取拉氏反變換，亦可求得全響應(yīng)，留給讀者自行練習(xí)。

必須指出，當(dāng)t<0時，零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)=0，所以yzs(t)可注明t≥0，或乘以ε(t)。但零輸入響應(yīng)yzi

(t)，當(dāng)t<0時，yzi(t)不一定為零，所以y(t)只能注明t≥0，而不應(yīng)乘以ε(t)。

4.7.2電路的復(fù)頻域分析

對于一個具體電路，可先列出描述其輸入輸出關(guān)系的線性常系數(shù)微分方程，然后用前述的微分方程的復(fù)頻域解法求電路的響應(yīng)，但這一過程比較復(fù)雜。實(shí)際上，我們可不必先

列寫微分方程再取拉氏變換進(jìn)行分析，而是先將電路的時域模型轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域模型，然后應(yīng)用電路分析理論直接列寫求解復(fù)頻域響應(yīng)的代數(shù)方程，進(jìn)而求解并取拉氏反變換得所需

的響應(yīng)。下面我們先介紹三個基本電路元件R、L、C的復(fù)頻域模型。

1.電路元件的復(fù)頻域模型

1)電阻元件

設(shè)線性非時變電阻元件R上的電壓uR(t)和電流iR(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，其時域模型如圖4.7-1(a)所示。根據(jù)歐姆定律，電阻元件電壓電流關(guān)系(VAR)的時域形式為

對上式兩邊取拉氏變換，得

由式(4.7-5)可得電阻元件的復(fù)頻域模型如圖4.7-1(b)所示。顯然電阻元件的復(fù)頻域模型與時域模型具有相同的形式。圖4.7-1電阻元件的時域模型和復(fù)頻域模型

2)電感元件

設(shè)線性非時變電感元件L上的電壓uL(t)和電流iL(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，其時域模型如圖4.7-2(a)所示。電感元件電壓電流關(guān)系的時域形式為

對上式兩邊取拉氏變換，得

由式(4.7-6)可得電感元件的復(fù)頻域模型如圖4.7-2(b)所示，它為一個復(fù)頻感抗sL與一個大小為LiL(0-

)的電壓源相串聯(lián)。圖4.7-2電感元件的時域模型和復(fù)頻域模型

3)電容元件

設(shè)線性非時變電容元件C上的電壓uC(t)和電流iC

(t)取關(guān)聯(lián)參考方向，其時域模型如圖4.7-3(a)所示。電容元件電壓電流關(guān)系的時域形式為

對上式兩邊取拉氏變換，得

由式(4.7-7)可得電容元件的復(fù)頻域模型如圖4.7-3(b)所示，它為一個復(fù)頻容抗與一個大小為的電壓源相串聯(lián)。圖4.7-3電容元件的時域模型和復(fù)頻域模型

2.電路的復(fù)頻域分析

利用拉普拉斯變換法分析電路，首先需由已知條件確定電路的初始狀態(tài);接著將電路的時域模型改畫為復(fù)頻域模型;對復(fù)頻域電路，應(yīng)用電路分析方法列出代數(shù)方程，解得響應(yīng)的復(fù)頻域表達(dá)式;最后取其拉氏反變換得響應(yīng)的時域解。下面舉例說明復(fù)頻域分析法在電路分析中的應(yīng)用。

【例4.7-3】電路如圖4.7-5(a)所示，原已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S由1切換至2，試求輸出電壓uO(t)。

【例4.7-4】電路如圖4.7-6(a)所示，以uS(t)為輸入，i(t)為輸出，求該電路的沖激響應(yīng)h(t)。圖4.7-6例4.74用圖

解我們在第2章中已闡述，沖激響應(yīng)h(t)是單位沖激信號δ(t)作用下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)?，F(xiàn)將圖4.7-6(a)中的輸入激勵令為uS(t)=δ(t)，輸出響應(yīng)i(t)=h(t)，畫出電路的復(fù)頻域模型如圖4.7-6(b)所示。由圖(b)得

取拉氏反變換得

4.8由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)特性

4.8.1系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)概念在第1章已講過，描述線性非時變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為常系數(shù)線性微分方程，在零狀態(tài)條件下對其取拉氏變換，并按系統(tǒng)函數(shù)H(s)的定義可得

系統(tǒng)函數(shù)分子多項式N(s)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)(zero)，用z1，z2，…，zm表示;分母多項式D(s)也稱特征多項式，D(s)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)(pole)，用p1，p2，…，pn表示。因此將式(4.8-1)進(jìn)行因式分解，又可表示為

H(s)的零點(diǎn)zj

和極點(diǎn)pi

可能是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。若極點(diǎn)(零點(diǎn))為虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必然是共軛成對的。

當(dāng)一個系統(tǒng)函數(shù)的全部零點(diǎn)、極點(diǎn)及H0

確定后，這個系統(tǒng)函數(shù)就可以完全確定。由于H0

只是一個比例常數(shù)，對H(s)函數(shù)形式?jīng)]有影響，所以一個系統(tǒng)的特性可以完全由它的零點(diǎn)和極點(diǎn)表示。

把系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)表示在S平面上的圖形，叫做系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)圖。其中零點(diǎn)用“o”表示，極點(diǎn)用“×”表示。若為n重極點(diǎn)，則注以(n)。

例如，

它有一個二重零點(diǎn)z1=0，一個零點(diǎn)z2

=-3，有一個三重極點(diǎn)p1

=-1和一對共軛復(fù)極點(diǎn)p2，3

=-2±j1

，由此繪出該系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)圖如圖4.8-1所示。

借助對系統(tǒng)函數(shù)H(s)在S平面的零、極點(diǎn)分布的研究，可以簡明、直觀地得知系統(tǒng)響應(yīng)模式和系統(tǒng)的一些性能。例如，從系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布可以知道系統(tǒng)響應(yīng)所具有的模

式，是指數(shù)型、衰減振蕩型還是等幅振蕩型等等，從而可以了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定;又如，從系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布可以求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性?？傊?，系統(tǒng)的時域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來，下面我們就這兩方面進(jìn)行討論。

4.8.2由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的時域特性

由于系統(tǒng)函數(shù)H(s)的拉氏變換就是沖激響應(yīng)h(t)，因此根據(jù)H(s)零、極點(diǎn)分布就可以確定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)模式。于是我們先討論系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)模式的關(guān)系。

1.H(s)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)模式的關(guān)系

(1)若H(s)的極點(diǎn)位于S左半平面，則沖激響應(yīng)模式為衰減指數(shù)或減幅振蕩，如圖4.8-2(a)所示。

(2)若H(s)的極點(diǎn)位于S右半平面，則沖激響應(yīng)模式為增長指數(shù)或增長振蕩，如圖4.8-2(b)所示。

(3)若H(s)的單極點(diǎn)位于S平面虛軸上(包括原點(diǎn))，則沖激響應(yīng)模式為等幅振蕩或階躍函數(shù)，如圖4.8-2(c)所示。

(4)若H(s)的重極點(diǎn)位于S平面虛軸上(包括原點(diǎn))，則沖激響應(yīng)模式中含有tn-1

因子，呈增長形式，如圖4.8-2(d)所示。圖4.8-2H(s)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)模式的關(guān)系

從以上分析可看出:

①若H(s)的極點(diǎn)位于S左半平面，則沖激響應(yīng)模式為衰減指數(shù)或減幅振蕩，系統(tǒng)屬于穩(wěn)定系統(tǒng);

②若H(s)的極點(diǎn)位于S右半平面，則沖激響應(yīng)模式為增長指數(shù)或增長振蕩，系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng);

③若H(s)的單極點(diǎn)位于S平面虛軸上(包括原點(diǎn))，則沖激響應(yīng)模式為等幅振蕩或階躍函數(shù)，系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng);

④若H(s)的重極點(diǎn)位于S平面虛軸上(包括原點(diǎn))，則沖激響應(yīng)呈增長形式，系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。

因此，根據(jù)H(s)的極點(diǎn)在S平面上的分布情況即可判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別將在4.9節(jié)中研究。

2.H(s)的零點(diǎn)分布對沖激響應(yīng)模式的影響

系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)分布只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，對響應(yīng)模式無影響。

4.8.3由系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性

前面討論了借助系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零、極點(diǎn)分布可以確定系統(tǒng)的時域響應(yīng)模式，下面討論從系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零、極點(diǎn)分布確定系統(tǒng)的

由式(4.8-2)知，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的表達(dá)式為

若H(s)的極點(diǎn)均位于S左半平面，則頻率響應(yīng)特性

于是有

可以看出，頻響特性取決于系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布，即取決于zj、pi的位置。式(4.8-4)分子中任一因式(jω-

zj

)相當(dāng)于由零點(diǎn)zj引向虛軸上某點(diǎn)jω的一個矢量，稱為零點(diǎn)矢量;分母中任一因式(jω-

pi

)相當(dāng)于由極點(diǎn)pi

引向虛軸上某點(diǎn)jω的一個矢量，稱為極點(diǎn)矢量，如圖4.8-3所示。

令

則式(4.8-4)可寫為

幅頻特性為

相頻特性為

當(dāng)角頻率ω從零(原點(diǎn))沿虛軸逐漸增大并趨于無窮大時，各零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量的模和輻角都隨之改變，于是由H(s)的零、極點(diǎn)圖，借助圖解的方法便可畫出系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。

【例4.8-1】一階RC電路如圖4.8-4(a)所示，試粗略畫出其幅頻特性和相頻特性曲線。圖4.8-4例4.81用圖(一)

解首先由電路的時域模型畫出其復(fù)頻域模型，如圖4.

8-4(b)所示。由圖(b)得系統(tǒng)函數(shù)

它有一個零點(diǎn)z1=0，一個極點(diǎn)如圖4.8-5(a)所示。由于極點(diǎn)在S左半平面，故該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

于是幅頻特性

相頻特性

現(xiàn)在我們來分析，當(dāng)ω沿虛軸從0→∞時，圖4.8-5例4.81用圖(二)

由此可粗略畫出系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線如圖4.8-5(b)、(c)所示。可見，該電路為RC高通濾波電路。圖4.8-6例4.82用圖

4.9連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.9.1穩(wěn)定系統(tǒng)的概念穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于有界的激勵產(chǎn)生有界的響應(yīng)(BIBO)的系統(tǒng)。如果對于有界的激勵產(chǎn)生無限增長的響應(yīng)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身特性的反映，可以通過表征系統(tǒng)本身特性的系統(tǒng)函數(shù)H(s)或沖激響應(yīng)h(t)來判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入信號x(t)為有界，即

為有界正值，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

則有

若沖激響應(yīng)h(t)絕對可積，即

那么由式(4.91)，有

故對任意輸入信號x(t)，只要沖激響應(yīng)h(t)絕對可積，則輸出yzs

(t)是有界的，為有界輸出。式(4.9-2)是線性非時變因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。

系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)和系統(tǒng)函數(shù)H(s)從不同側(cè)面表征系統(tǒng)的本性。判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，既可從時域方面也可從復(fù)頻域方面進(jìn)行，即通過研究H(s)的極點(diǎn)位于S平面的位置，可以很方便地給出系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。

在4.8節(jié)我們分析了系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)分布與響應(yīng)模式的關(guān)系，從中知道:

(2)特征方程

極點(diǎn)

顯然，極點(diǎn)p1具有正實(shí)部，位于S右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

4.9.2連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定準(zhǔn)則

如上所述，為了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先要求解出特征方程的根，對于低階系統(tǒng)是方便的，但對于高階系統(tǒng)要計算出全部特征根則十分麻煩。因此希望應(yīng)用一種直接判斷系統(tǒng)特征方程的根是否全部位于S左半平面的方法，羅斯霍爾維茲準(zhǔn)則(Routh-Hurwitzcriterion)就是這樣一種方法。

羅斯霍爾維茲準(zhǔn)則指出，若系統(tǒng)的特征方程為

①D(s)的各項系數(shù)為正值，且不為零;

②按下述規(guī)則排出的羅斯表中第1列元素的符號相同。

羅斯表排寫規(guī)則如下:

表中第1行的元素是D(s)多項式的第一、第三、第五…項的系數(shù)，第2行的元素是D

(s)多項式的第二、第四、第六…項的系數(shù)。第3行及以后各行的元素按以下規(guī)則計算:

依此類推，直到第n+1行。

如果羅斯表第1列元素的符號不完全相同，那么其符號改變的次數(shù)即為特征方程的根(極點(diǎn))位于S右半平面的數(shù)目。

【例4.9-2】已知某系統(tǒng)的特征方程為

試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解特征方程D(s)=0的各項系數(shù)均為正值，且不為零，接下來排出羅斯表

因為第1列中元素的符號改變兩次(從1到-7，又從-7到45/7)，故該系統(tǒng)有兩個極點(diǎn)位于S右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

由前面所述判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的羅斯霍爾維茲準(zhǔn)則可知，對于二階線性連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為:特征方程D(s)=0的各項系數(shù)均為正值，且不為零。

當(dāng)用羅斯表來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性時，有時會遇到兩種特殊情況，需要作特殊處理:

①羅斯表中某一行的第1列元素為0，而其余元素不全為0，這樣就不能繼續(xù)計算下一行的第1列元素。這種特殊情況可這樣處理:將第1列中出現(xiàn)的0用一個任意小的正數(shù)ε來代替，然后繼續(xù)排寫下去。

②羅斯表尚未排寫完畢時出現(xiàn)某一行的元素全為0，這種特殊情況的處理方法是:利用全0行的前一行的元素組成一個s的輔助多項式A(s)，然后對這個輔助多項式求一階導(dǎo)數(shù)并用一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替全0行，再繼續(xù)排寫下去。

【例4.9-4】已知某系統(tǒng)的特征方程為

試分析其穩(wěn)定性。

解

D(s)的各項系數(shù)均為正值，且不為零，排出羅斯表

s1行第1列元素為0，用一個小的正數(shù)ε來代替。當(dāng)ε→0時，羅斯表中第1列元素的符號改變了兩次，因此系統(tǒng)的兩個特征根位于S右半平面，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

【例4.9-5】已知某一系統(tǒng)的特征方程為

試分析其穩(wěn)定性。

解排出其羅斯表

此時在s1行出現(xiàn)所有元素全為0，這種情況通常出現(xiàn)在連續(xù)兩行元素相等或成比例時，說明特征方程有共軛虛根。處理方法是將前一行(s2行)的元素組成一個輔助多項式A(

s)=將求導(dǎo)后的系數(shù)8、0代替全0行的元素，繼續(xù)排寫羅斯表:

s1行原為所有元素0行，現(xiàn)用的系數(shù)代替。從排寫完畢的羅斯表看出，表中第1列元素全大于0，故系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，這是因為

其中有兩個特征根p1，2=±j，單根位于S平面虛軸上。

4.10連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖

我們知道，線性非時變連續(xù)系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，可以用系統(tǒng)模擬框圖較直觀地表示。但當(dāng)系統(tǒng)較復(fù)雜時，模擬框圖的化簡過程將會復(fù)雜，此時應(yīng)用信號流圖和梅森(Mason)公式進(jìn)行化簡會變得方便些。

4.10.1連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖表示

線性連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖是由點(diǎn)和有向線段組成的線圖，用來表示系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，是系統(tǒng)框圖表示的一種簡化形式，可從模擬框圖演變出來。圖4.10-1(a)所示為一個

系統(tǒng)的模擬框圖表示，將其變成信號流圖形式，如圖4.10-1(b)所示。圖(b)中，箭頭指示信號流動方向，線段的權(quán)值就是該區(qū)間的系統(tǒng)函數(shù)。圖4.10-1系統(tǒng)的模擬框圖和信號流圖表示

關(guān)于信號流圖，有一些術(shù)語定義如下:

(1)節(jié)點(diǎn):表示系統(tǒng)中的變量或信號的點(diǎn)。

(2)支路:連接兩個節(jié)點(diǎn)間的有向線段。

(3)源點(diǎn)與匯點(diǎn):僅有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)(或輸入節(jié)點(diǎn))，它對應(yīng)的是輸入信號，如圖4.10-1(b)中的X

(s);僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)(或輸出節(jié)點(diǎn))，它對應(yīng)的是輸

出信號，如圖4.10-1(b)中的Y(s)。

(4)混合節(jié)點(diǎn):既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。僅有一條輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”;僅