山東省濰坊市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

山東省濰坊市20202021學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4)，則tanα=（A.

-34

B.

-43

C.

-452.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z=3-2i（其中i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限3.敲擊如圖1所示的音叉時(shí)，在一定時(shí)間內(nèi)，音叉發(fā)出的純音振動(dòng)可以用三角函數(shù)表達(dá)為y=Asinωt（其中A>0，t表示時(shí)間，y表示純音振動(dòng)時(shí)音叉的位移）．圖2是該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可確定A和ω的值分別為（

A.

1500和800π

B.

1500和400π

C.

11000和800π

D.

11000和4.若a=sinπ12，b=log2(sinπ12)，c=tanπ12，則aA.

a<b<c

B.

c<b<a

C.

b<a<c

D.

b<c<a5.已知水平放置的四邊形OABC按斜二測(cè)畫(huà)法得到如圖所示的直觀圖，其中O'A'//B'C'，∠O'A'B'=90°A.

322

B.

32

C.

6.設(shè)α為銳角，若cos(α+π4)=12，則A.

6-2

B.

6+27.南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”，其求法是：“以少?gòu)V求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2]，其中a、b、c是△ABC內(nèi)角A、A.

3

B.

22

C.

4

D.

428.如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地出發(fā)，向河對(duì)岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|=8km/h，水流速度v2的大小為|v2|=2A.

船頭方向與水流方向垂直

B.

cos<v1,v2>=-14

C.

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9.如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”．若復(fù)數(shù)z=a+i（a∈R，i為虛數(shù)單位）為“等部復(fù)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（A.

a=1

B.

|z|=1

C.

z=1-i

D.

復(fù)數(shù)(a-1)+(10.如圖，若ABCDEF-A1B1A.

直線AB與C1D1是異面直線

B.

直線AB與D1E1平行

C.

線段BB1與FF1的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)

D.

點(diǎn)F1到底面11.如圖，已知點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足GA+GB+GC=0，過(guò)點(diǎn)G的直線l分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．設(shè)AD=λABA.

AG=13AB+14AC

B.

點(diǎn)G為△ABC的重心12.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足f(A.

函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π

B.

函數(shù)f(x)的圖像向右平移π6個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x-π12)的圖像

C.

若ω>0時(shí)，函數(shù)f(ωx)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知a=(1,m)，b=(3,-2)，a⊥14.能夠說(shuō)明“設(shè)α∈(0,π)，β∈(0,π)，若α>β，則sinα>sinβ”是假命題的一組角α，15.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=102m，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角θ為30°，則塔高16.如圖，已知圓錐PO的底面半徑OA的長(zhǎng)度為1，母線PA的長(zhǎng)度為2，半徑為R1的球O1與圓錐的側(cè)面相切，并與底面相切于點(diǎn)O，則R1=________；若球O2與球O1、圓錐的底面和側(cè)面均相切，則球四、解答題(本大題共6小題,共70分)17.已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z（1）求z1+z2和（2）若z1=1+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，18.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，_______________，從①(b+c)2-a2=3bc（1）求角A的大小；（2）若b=4，△ABC的面積S=63，求△ABC19.某同學(xué)在勞動(dòng)實(shí)踐課上制作了一個(gè)如圖所示的容器，其上半部分是一個(gè)正四棱錐，下半部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，已知正四棱錐S-ABCD的高是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1高的12（1）求AC1（2）求正四棱錐的斜高和體積．20.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，b=26，3sin（1）求角B的大小及△ABC外接圓的半徑R的值；（2）若AD是∠BAC的內(nèi)角平分線，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求AD21.如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=5k，AC=8k，AA1=2k(k>0)，D，D1分別為AC（1）若兩個(gè)新直三棱柱的表面積之和為72，求實(shí)數(shù)k的值；（2）將圖2和圖3兩個(gè)直三棱柱重新組合成一個(gè)直四棱柱，若組成的所有直四棱柱的表面積都小于132，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．22.已知向量m=(sin2x,cos2x)，n=(3（1）求函數(shù)f(x)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，f(A)=1，b=2，a∈[（3）若x∈[-π6,2π6]時(shí)，關(guān)于x的方程f(x+π6)+(λ+1)sinx=λ恰有三個(gè)不同的實(shí)根x1，x答案解析部分一、單選題1.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4)，則tanα=（A.

-34

B.

-43

C.

-45【答案】B【考點(diǎn)】任意角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,-4)所以tanα=y故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合正切函數(shù)的定義，從而求出角α的正切值。2.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z=3-2i（其中i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限【答案】D【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【解析】【解答】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得復(fù)數(shù)z=3-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(3,故答案為：D.

【分析】利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)z的幾何意義，從而求出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)所在的象限。3.敲擊如圖1所示的音叉時(shí)，在一定時(shí)間內(nèi)，音叉發(fā)出的純音振動(dòng)可以用三角函數(shù)表達(dá)為y=Asinωt（其中A>0，t表示時(shí)間，y表示純音振動(dòng)時(shí)音叉的位移）．圖2是該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可確定A和ω的值分別為（

A.

1500和800π

B.

1500和400π

C.

11000和800π

D.

11000和【答案】D【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，y=Asin（ωx+φ）中參數(shù)的物理意義【解析】【解答】解：由題意得A=11000，T4=1800

則T=1200

則ω=2πT4.若a=sinπ12，b=log2(sinπ12)，c=tanπ12，則aA.

a<b<c

B.

c<b<a

C.

b<a<c

D.

b<c<a【答案】C【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系【解析】【解答】∵a=sinπ12∈(0,1)因?yàn)閏osπ12∈(0,1)，故c=tanπ故答案為：C.

【分析】利用正弦函數(shù)的圖像、余弦函數(shù)的圖像、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出a,b,c的大小。5.已知水平放置的四邊形OABC按斜二測(cè)畫(huà)法得到如圖所示的直觀圖，其中O'A'//B'C'，∠O'A'B'=90°A.

322

B.

32

C.

【答案】B【考點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法直觀圖【解析】【解答】根據(jù)直觀圖知SO'A又因?yàn)镾OABCS所以SOABC=故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)直觀圖的方法，從而利用三角形的面積和直角梯形的面積的關(guān)系，從而求出原四邊形OABC的面積。6.設(shè)α為銳角，若cos(α+π4)=12，則A.

6-2

B.

6+2【答案】C【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切公式【解析】【解答】因?yàn)?<α<π2，可得π4由cos(α+π4)=12，所以α+所以tanα=tan故答案為：C.

【分析】因?yàn)?<α<π2，可得π4<α+π4<3π4，由7.南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”，其求法是：“以少?gòu)V求之，以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪減上，為實(shí)；一為從隅，開(kāi)平方得積．”若把以上這段文字寫(xiě)成公式，即S=14[c2a2-(c2+a2-b22)2]，其中a、b、c是△ABC內(nèi)角A、A.

3

B.

22

C.

4

D.

42【答案】A【考點(diǎn)】余弦定理，三角形中的幾何計(jì)算【解析】【解答】由余弦定理可得cosB=c2+a2-所以，S=14故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合余弦定理得出c2+a2-b2=2accosB，再利用計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)8.如圖所示，一條河兩岸平行，河的寬度為400米，一艘船從河岸的A地出發(fā)，向河對(duì)岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|=8km/h，水流速度v2的大小為|v2|=2A.

船頭方向與水流方向垂直

B.

cos<v1,v2>=-14

C.

【答案】B【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角【解析】【解答】由題意可知，v=v1+v2，當(dāng)船的航程最短時(shí)，v⊥由v?v2=(v1+v2)?v2=|v|=|v1該船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間為60×0.4215=故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合平行四邊形法則和數(shù)量積求向量夾角公式，再結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的定義，從而找出說(shuō)法正確的選項(xiàng)。二、多選題9.如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”．若復(fù)數(shù)z=a+i（a∈R，i為虛數(shù)單位）為“等部復(fù)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（A.

a=1

B.

|z|=1

C.

z=1-i

D.

復(fù)數(shù)(a-1)+(【答案】A,C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)求?！窘馕觥俊窘獯稹恳?yàn)閺?fù)數(shù)z=a+i（a∈R，i為虛數(shù)單位）為“等部復(fù)數(shù)根據(jù)“等部復(fù)數(shù)”的定義，可得a=1，即z=1+i，所以A由|z|=12+1由z=1+i，可得z=1-i由(a-1)+(a2-故答案為：AC.

【分析】利用“等部復(fù)數(shù)”的定義求出a的值；再利用復(fù)數(shù)求模公式求出復(fù)數(shù)的模；再利用復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，從而求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)；再結(jié)合復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的判斷方法，從而選出說(shuō)法正確的選項(xiàng)。10.如圖，若ABCDEF-A1B1A.

直線AB與C1D1是異面直線

B.

直線AB與D1E1平行

C.

線段BB1與FF1的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)

D.

點(diǎn)F1到底面【答案】A,B,C【考點(diǎn)】異面直線的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【解析】【解答】解：若ABCDEF-A1對(duì)于A，由不共線的三點(diǎn)A,B,C1共面，D1不在這個(gè)面內(nèi)，故直線AB與對(duì)于B，因?yàn)橹本€AB與DE平行，直線DE與D1E1平行，則直線AB與D1對(duì)于C，因?yàn)锳BCDEF-A1B1C1D1E對(duì)于D，點(diǎn)F1到底面ABCDEF的距離和點(diǎn)B1到底面ABCDEF的距離都等于棱臺(tái)的高，故應(yīng)該相等，故答案為：ABC.

【分析】利用正六棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合已知條件，再利用異面直線的判斷方法、兩直線平行的判斷方法、點(diǎn)到平面的距離求解方法和比較法，從而找出說(shuō)法正確的選項(xiàng)。11.如圖，已知點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足GA+GB+GC=0，過(guò)點(diǎn)G的直線l分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．設(shè)AD=λABA.

AG=13AB+14AC

B.

點(diǎn)G為△ABC的重心【答案】B,D【考點(diǎn)】向量的模，平面向量的基本定理及其意義，三點(diǎn)共線，三角形五心【解析】【解答】解：取AB的中點(diǎn)M，BC的中點(diǎn)N，則GA+GB∵GA+GB+GC=∴C，M，G同理A，G，N三點(diǎn)共線，∴G是ΔABCB符合題意；∴AN=3∴AB+AC=2AN=3A不符合題意；所以|AG|=D符合題意；因?yàn)锳D=λAB，AE所以AB=1λAD，所以AG=1又因D,G,E三點(diǎn)共線，所以13λ+13μ=1C不符合題意.故答案為：BD．

【分析】利用已知條件結(jié)合等邊三角形的結(jié)構(gòu)特征，再利用向量共線定理和平面向量基本定理，推出AG=13AB+13AC；再利用重心的定義推出點(diǎn)G為△ABC12.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足f(A.

函數(shù)y=f(x)的最小正周期為π

B.

函數(shù)f(x)的圖像向右平移π6個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x-π12)的圖像

C.

若ω>0時(shí)，函數(shù)f(ωx)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是【答案】A,B,D【考點(diǎn)】函數(shù)的值域，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性及其求法，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換【解析】【解答】由題意，函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=5π8對(duì)稱，可得f(x)=解得5π4+φ=π2+kπ,k∈因?yàn)閨φ|<π2，可得φ=π4，所以可得函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=2π2=π函數(shù)f(x)的圖像向右平移π6個(gè)單位，可得函數(shù)g(x)=sin[2(x-由ω=18時(shí)，可得函數(shù)當(dāng)x∈[π2,π]時(shí)，可得14因?yàn)楹瘮?shù)f(18x)=sin(14x+由y=f(x)+f(2x=22令t=sin2x+cos2x∈[所以y=t2+22t當(dāng)t=-24時(shí)，可得ymin=-98；當(dāng)即函數(shù)y=f(x)+f(2x-π8)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋篈BD.

【分析】利用已知條件結(jié)合代入法，從而求出φ的值，進(jìn)而求出正弦型函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式，從而求出正弦型函數(shù)的最小正周期；再利用正弦型函數(shù)的圖象變換得出函數(shù)f(x)的圖像向右平移π6個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x-π12)的圖像；再利用已知條件結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而利用已知條件函數(shù)f(ωx)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)ω的取值范圍；再利用函數(shù)求值域的方法求出函數(shù)三、填空題13.已知a=(1,m)，b=(3,-2)，a⊥【答案】3【考點(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】由題a=(1,m)，b=(3,-2)，a⊥b故答案為：32

【分析】利用已知條件結(jié)合向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求出m的值。14.能夠說(shuō)明“設(shè)α∈(0,π)，β∈(0,π)，若α>β，則sinα>sinβ”是假命題的一組角α，【答案】56π；π3【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【解析】【解答】解：因?yàn)棣痢?0,π)，β∈(0,π)，且α>β，如α=56π；β=π3，滿足α>β，但是sinα=sin故答案為：56π；π

【分析】利用已知條件結(jié)合命題真假的判斷方法，從而得出一組角α，β的值。15.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C與D．現(xiàn)測(cè)得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=102m，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角θ為30°，則塔高【答案】10【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用【解析】【解答】在△BCD中，因?yàn)椤螧CD=75°，∠BDC=60°，可得由正弦定理，可得BC=102在直角Rt△ABC中，可得AB=BC即塔高AB為10(m)。故答案為：10。

【分析】利用已知條件結(jié)合三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，從而求出∠CBD的值，再利用正弦定理求出BC的長(zhǎng)，在直角Rt△ABC16.如圖，已知圓錐PO的底面半徑OA的長(zhǎng)度為1，母線PA的長(zhǎng)度為2，半徑為R1的球O1與圓錐的側(cè)面相切，并與底面相切于點(diǎn)O，則R1=________；若球O2與球O1、圓錐的底面和側(cè)面均相切，則球【答案】33；【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)），球的體積和表面積【解析】【解答】解：該幾何體的軸截面如圖所示，由題意可知△PAB為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，圓O1與三角形的三邊都相切，圓O1的半徑等于球O1的半徑為12(2+2+2)R1=1因?yàn)椤螼1所以AO2因?yàn)锳O1所以2R1=2R2+所以球O2的表面積為4πR故答案為：33，4

【分析】由題意可知三角形△PAB為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，圓O1與三角形的三邊都相切，圓O1的半徑等于球O1的半徑為R1，再利用兩三角形面積相等結(jié)合三角形的面積公式，解得R1=33，因?yàn)椤螼1AO=30°，所以AO2=2O2C=2R四、解答題17.已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z（1）求z1+z2和（2）若z1=1+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，【答案】（1）由題意，復(fù)數(shù)z1=1+i，z所以z1+z1z

（2）因?yàn)閦1=1+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x所以(1+i)2+m(1+i)+n=0可得{m+n=0m+2=0，解得{m=-2n=2，所以m=【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合復(fù)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算法則，從而求出z1+z2和z1z2的值。

（2）利用z1=1+i是關(guān)于18.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，_______________，從①(b+c)2-a2=3bc（1）求角A的大小；（2）若b=4，△ABC的面積S=63，求△ABC【答案】（1）選①：∵(b+c)2-a2=3bc，∴b∵A∈(0,π)，選②：由正弦定理得：sinAsin在△ABC中，∵0<B<π，∴sinB≠0∴sinA=12sinA+32cosA∵A∈(0,π)，

（2）由（1）知A=π3，b=4，S△ABC=12由余弦定理可得a2=b2+c因此，△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=10+27【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，余弦定理，三角形中的幾何計(jì)算【解析】【分析】（1）從①(b+c)2-a2=3bc，②asinB=bsin(A+π3選②：利用已知條件結(jié)合正弦定理得出sinAsinB=sinBsin(A+π3)，在△ABC中，因?yàn)?<B<π，所以

（2）由（1）知A=π3，b=4，再利用三角形的面積公式結(jié)合已知條件，從而求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，再結(jié)合三角形的周長(zhǎng)公式，從而求出三角形△ABC19.某同學(xué)在勞動(dòng)實(shí)踐課上制作了一個(gè)如圖所示的容器，其上半部分是一個(gè)正四棱錐，下半部分是一個(gè)長(zhǎng)方體，已知正四棱錐S-ABCD的高是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1高的12（1）求AC1（2）求正四棱錐的斜高和體積．【答案】（1）∵幾何體ABCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體且∴AC1記長(zhǎng)方體外接球的半徑為R，線段AC1則2R=6，∴R=3，∴外接球的體積為V=43

（2）如圖，設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)SO，則SO為正四棱錐的高，∵S-ABCD為正四棱錐，∴SO又長(zhǎng)方體的高為AA1=2，∴取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)OE、SE，則SE為正四棱錐的斜高，在Rt△SOE中，SO=1，OE=12AD=2∵SABCD=4×4=16，SO=1，∴正四棱錐的斜高為5，體積為163【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，球的體積和表面積【解析】【分析】（1）因?yàn)閹缀误wABCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體且AB=BC=4，AA1=2，再利用勾股定理求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，進(jìn)而求出（2）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)SO，則SO為正四棱錐的高，因?yàn)镾-ABCD為正四棱錐，所以SO為正四棱錐的高，又因?yàn)殚L(zhǎng)方體的高為AA1=2，所以利用中點(diǎn)的性質(zhì)求出SO=12×2=1，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)OE、SE，則SE為正四棱錐的斜高，在Rt△SOE中，SO=1，OE=120.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，b=26，3sin（1）求角B的大小及△ABC外接圓的半徑R的值；（2）若AD是∠BAC的內(nèi)角平分線，當(dāng)△ABC面積最大時(shí)，求AD【答案】（1）由3sinB-2cos2B∴2(32sinB-1∵0<B<π，∴-π6<B-π6<5π6由正弦定理得，bsinB=263

（2）在△ABC中，由余弦定理得，b2=∴24≥2ac+ac=3ac，∴ac≤8，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)S△ABC最大，且△ABC為等腰三角形，∠BAC=π6，∴∠在△ABD中，由正弦定理得：ADsin2π3=AB【考點(diǎn)】三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，二倍角的余弦公式，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用三角形中角B的取值范圍，進(jìn)而求出角B的值，再結(jié)合正弦定理的性質(zhì)，從而求出三角形△ABC外接圓的半徑R的值。

（2）在△ABC中，由余弦定理和均值不等式求最值的方法得出ac≤8，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=22時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)S△ABC最大，且△ABC為等腰三角形，∠BAC=π6，所以∠BAD=21.如圖1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=5k，AC=8k，AA1=2k(k>0)，D，D1分別為AC（1）若兩個(gè)新直三棱柱的表面積之和為72，求實(shí)數(shù)k的值；（2）將圖2和圖3兩個(gè)直三棱柱重新組合成一個(gè)直四棱柱，若組成的所有直四棱柱的表面積都小于132，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）解：∵AB=BC，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC又AB=BC=5k，AC=8k，∴BD=3k，易知三棱柱被平面BB1每個(gè)直三棱柱的表面積為：12×∴兩個(gè)新直三棱柱的表面積之和S=24k2+48=72，解得：

（2）由題可知：圖2、圖3的兩個(gè)直三棱柱重新組合成一個(gè)直四棱柱時(shí)，共有4種可能的情形：①當(dāng)?shù)酌媸沁呴L(zhǎng)為3k，4k的矩形，側(cè)棱長(zhǎng)為2k表面積S1=2②當(dāng)?shù)酌媸沁呴L(zhǎng)為5k，4k的平行四邊形，側(cè)棱長(zhǎng)為2k表面積S2=2③當(dāng)?shù)酌媸沁呴L(zhǎng)為5k，3k的平行四邊形，側(cè)棱長(zhǎng)為2k表面積S3=2④當(dāng)?shù)酌媸沁呴L(zhǎng)為3k，4k的四邊形（非矩形），側(cè)棱長(zhǎng)為2k表面積S4=2由上可知：表面積的最大值為24k2+36，由題意得：24k2+36<132∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,2)．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積【解析】【分析】（1）因?yàn)锳B=B