第九章期權(quán)定價

第九章期權(quán)定價2024/3/59.1期權(quán)價格的特性

一、期權(quán)價格的構(gòu)成期權(quán)價格等于期權(quán)的內(nèi)在價值加上時間價值。

１，內(nèi)在價值內(nèi)在價值是指期權(quán)持有者立即行使該期權(quán)合約所賦予的權(quán)利時所能獲得的總收益。看漲期權(quán)的內(nèi)在價值為max{S-X,0}看跌期權(quán)的內(nèi)在價值為max{X-S,0}2024/3/5按照有無內(nèi)在價值，期權(quán)可呈現(xiàn)三種狀態(tài)：實(shí)值期權(quán)、虛值期權(quán)和平價期權(quán)。把Ｓ>Ｘ〔S<X〕時的看漲(跌)期權(quán)稱為實(shí)值期權(quán)；把Ｓ＝Ｘ的看漲〔跌〕期權(quán)稱為平價期權(quán)；把S<X〔Ｓ>Ｘ〕時的看漲(跌)期權(quán)稱為虛值期權(quán)；2024/3/52，期權(quán)的時間價值期權(quán)的時間價值〔TimeValue〕是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價格波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。X時間價值圖9.1看漲期權(quán)時間價值與|S-X|的關(guān)系Ｓ到期日時間價值5432102024/3/53,期權(quán)價格與內(nèi)在價值和時間價值間的關(guān)系

期權(quán)合約的價值是由期權(quán)價格決定的，即由內(nèi)在價值和時間價值所決定。三者之間的關(guān)系如圖9-2所示。2024/3/5ATM期權(quán)費(fèi)變動曲線OTMITMXIVTVTVTV0標(biāo)的資產(chǎn)市價S期權(quán)費(fèi)圖9.2看漲期權(quán)的期權(quán)費(fèi)、內(nèi)在價值、時間價值的關(guān)系2024/3/5二、期權(quán)價格的影響因素〔一〕標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格對于看漲期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越高、協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格就越高。對于看跌期權(quán)而言，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格就越高。2024/3/5〔二〕期權(quán)的有效期對于美式期權(quán)而言，由于它可以在有效期內(nèi)任何時間執(zhí)行，有效期越長，多頭獲利時機(jī)就越大，而且有效期長的期權(quán)包含了有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行時機(jī)，因此有效期越長，期權(quán)價格越高。對于歐式期權(quán)而言，由于它只能在期末執(zhí)行，有效期長的期權(quán)就不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行時機(jī)。這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)價格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。2024/3/5但在一般情況下〔即剔除標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況〕，由于有效期越長，標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險就越大，空頭虧損的風(fēng)險也越大，因此即使是歐式期權(quán)，有效期越長，其期權(quán)價格也越高，即期權(quán)的邊際時間價值〔MarginalTimeValue〕為正值。我們應(yīng)注意到，隨著時間的延長，期權(quán)時間價值的增幅是遞減的。這就是期權(quán)的邊際時間價值遞減規(guī)律。2024/3/5〔三〕標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率 標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率是用來衡量標(biāo)的資產(chǎn)未來價格變動不確定性的指標(biāo)。由于期權(quán)多頭的最大虧損額僅限于期權(quán)價格，而最大盈利額那么取決于執(zhí)行期權(quán)時標(biāo)的資產(chǎn)市場價格與協(xié)議價格的差額，因此波動率越大，對期權(quán)多頭越有利，期權(quán)價格也應(yīng)越高。

在定價時，波動性只能通過人們對未來的價格波動程度的估計(jì)求得，主要有兩種方法：歷史波動法和隱含波動法。2024/3/5〔四〕無風(fēng)險利率從比較靜態(tài)的角度看。無風(fēng)險利率越高，看跌期權(quán)的價值越低；而看漲期權(quán)的價值那么越高。從動態(tài)的角度看，當(dāng)無風(fēng)險利率提高時，看漲期權(quán)價格下降，而看跌期權(quán)的價格卻上升。2024/3/5〔五〕標(biāo)的資產(chǎn)的收益由于標(biāo)的資產(chǎn)分紅付息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價格，而協(xié)議價格并未進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整，因此在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益將使看漲期權(quán)價格下降，而使看跌期權(quán)價格上升。

2024/3/5期權(quán)價格的影響因素

變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌標(biāo)的資產(chǎn)的市價＋－＋－期權(quán)協(xié)議價格－＋－＋期權(quán)的有效期？？＋＋波動率＋＋＋＋無風(fēng)險利率？？？？標(biāo)的資產(chǎn)的收益－＋－＋注：＋：互補(bǔ)關(guān)系：－：抵消關(guān)系；？：關(guān)系不明確。2024/3/5我們首先將本章后面所用到的符號及其含義開列如下：X：期權(quán)的執(zhí)行價格；T：期權(quán)的到期時刻；t：現(xiàn)在的時刻；S：標(biāo)的資產(chǎn)在t時的市場價格；ST：標(biāo)的資產(chǎn)在T時的市場價格；C：美式看漲期權(quán)的價格；c：歐式看漲期權(quán)的價格；P：美式看跌期權(quán)的價格；p：歐式看跌期權(quán)的價格；r：t到T期間的市場無風(fēng)險利率〔連續(xù)復(fù)利〕；三、期權(quán)價格的上下限

:標(biāo)的股票價格的波動率，一般用標(biāo)的股票連續(xù)復(fù)利收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差表示。2024/3/5〔一〕期權(quán)價格的上限1,看漲期權(quán)價格的上限對于美式和歐式看漲期權(quán)來說，標(biāo)的資產(chǎn)價格就是看漲期權(quán)價格的上限：其中，c代表歐式看漲期權(quán)價格，C代表美式看漲期權(quán)價格，S代表標(biāo)的資產(chǎn)價格。〔下同〕（9.1）2024/3/52,看跌期權(quán)價格的上限美式看跌期權(quán)價格〔P〕的上限為X：

其中，r代表T時刻到期的無風(fēng)險利率，t代表現(xiàn)在時刻。（9.2）歐式看跌期權(quán)的上限為：（9.3）2024/3/5〔二〕期權(quán)價格的下限1,歐式看漲期權(quán)價格的下限〔1〕無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)2024/3/5由于期權(quán)的價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格下限為：

在T時刻，組合A的價值為：

由于，因此，在t時刻組合A的價值也應(yīng)大于等于組合B，即:

或組合B的價值為ST。（9.4）2024/3/5例題考慮一個不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，此時股票價格為20元，執(zhí)行價格為18元，期權(quán)價格為3元，距離到期日還有1年，無風(fēng)險年利率10%。問此時市場存在套利時機(jī)嗎？如果存在，該如何套利？〔2〕有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限（9.5）

我們只要將上述組合A的現(xiàn)金改為，其中D為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為：2024/3/52,歐式看跌期權(quán)價格的下限〔1〕無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)在T時刻，組合C的價值為：max〔ST，X〕，組合D的價值為X。組合D：金額為的現(xiàn)金

2024/3/5

由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應(yīng)大于等于組合D，即：

由于期權(quán)價值一定為正，因此無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格下限為：（9.6）2024/3/5〔2〕有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限（9.7）

我們只要將上述組合D的現(xiàn)金改為就可得到有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為：

2024/3/5四、提前執(zhí)行美式期權(quán)的合理性

〔一〕提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性1,看漲期權(quán)由于現(xiàn)金會產(chǎn)生收益，而提前執(zhí)行看漲期權(quán)得到的標(biāo)的資產(chǎn)無收益，再加上美式期權(quán)的時間價值總是為正的，因此我們可以直觀地判斷提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。因此，C=c〔9.8〕2024/3/5根據(jù)〔9.4〕，我們可以得到無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的下限：（9.9）2024/3/5是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實(shí)值額〔X-S〕、無風(fēng)險利率水平等因素。一般來說，只有當(dāng)S相對于X來說較低，或者r較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。美式看跌期權(quán)的下限為：2,看跌期權(quán)2024/3/5〔二〕提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的合理性

1,看漲期權(quán)

由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式期權(quán)可較早獲得標(biāo)的資產(chǎn)，從而獲得現(xiàn)金收益，而現(xiàn)金收益可以派生利息，因此在一定條件下，提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)有可能是合理的。由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價值大于等于歐式看漲期權(quán)，其下限為：2024/3/52,看跌期權(quán)

由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為：2024/3/5所謂看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系是指看漲期權(quán)的價格與看跌期權(quán)的價格，必須維持在無套利時機(jī)的均衡水平的價格關(guān)系上。如果這一關(guān)系被打破，那么在這兩種價格之間，就存在無風(fēng)險的套利時機(jī)，而套利者的套利行為又必將這種不正常的價格關(guān)系拉回到正常水平。下面我們?nèi)匀挥脽o套利均衡分析法來推導(dǎo)這一關(guān)系。五、看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系

2024/3/5〔一〕歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系1，無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)考慮如下兩個組合：

組合B：一份有效期和協(xié)議價格與看漲期權(quán)相同的歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金2024/3/5

在期權(quán)到期時，兩個組合的價值均為max(ST,X)。由于歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行，因此兩組合在時刻t必須具有相等的價值，即：這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系〔Parity〕。如果式〔9.10〕不成立，那么存在無風(fēng)險套利時機(jī)。套利活動將最終促使式〔9.10〕成立。（9.10）2024/3/5套利時機(jī)

市場情況：某投資者剛剛獲得如下股票歐式期權(quán)的報(bào)價，股票市場價格為31美元，3個月期無風(fēng)險年利率為10％，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價格都是30美元，3個月后到期。3個月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價格分別為3美元和2.25美元。策略：1，購置看漲期權(quán)；2，出售看跌期權(quán)；3，賣空一股股票。2024/3/5結(jié)果：這個策略給出的初始現(xiàn)金流為：31.00－3.00＋2.25＝30.25美元。將這筆資金按無風(fēng)險利率投資3個月，3個月末本息和為30.25e0.1*0.25=31.02美元。在3個月末，有如下兩種可能：1，如果股票價格大于30美元，該投資者執(zhí)行看漲期權(quán)。即按照30美元價格購置一份股票，將空頭平倉，那么可獲利＝31.02－30＝1.02美元。2，如果股票價格小于30美元，該投資者的對手執(zhí)行看跌期權(quán)。即按照30美元價格購置一份股票，將空頭平倉，那么可獲利＝31.02－30＝1.02美元。2024/3/5練習(xí)：假設(shè)同樣的市場條件，但3個月期歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的價格分別為3美元和1美元。問是否有套利的時機(jī)？假設(shè)有，如何構(gòu)筑套利策略？并分析套利結(jié)果。2024/3/52.有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)（9.11）

在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，我們只要把前面的組合A中的現(xiàn)金改為，我們就可推導(dǎo)有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的平價關(guān)系：2024/3/5〔二〕美式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的關(guān)系

1.無收益資產(chǎn)情形2.有收益資產(chǎn)情形2024/3/59.2期權(quán)的定價原理一，Black-Scholes期權(quán)定價公式〔一〕Black-Scholes模型的假設(shè)條件(1)期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)是股票，其現(xiàn)行價格為S。這種資產(chǎn)可以被自由買賣；(2)期權(quán)是歐式看漲期權(quán)，在期權(quán)有效期內(nèi)其標(biāo)的資產(chǎn)不存在現(xiàn)金股利的支付。其協(xié)定價格為X，期權(quán)期限為T〔以年表示〕；2024/3/5(3)市場不存在交易本錢和稅收，所有證券均完全可以分割；(4)市場不存在無風(fēng)險的套利時機(jī)；(5)市場提供了連續(xù)交易的時機(jī);(6)存在著一個固定的、無風(fēng)險的利率，投資者可以以此利率無限制地借入或貸出；(7)期權(quán)的標(biāo)的股票的價格遵循幾何布朗運(yùn)動，呈對數(shù)正態(tài)分布。2024/3/5

這就是著名的Black-Scholes微分分程，它適用于其價格取決于標(biāo)的證券價格S的所有衍生證券的定價。

2024/3/5〔二〕Black-Scholes歐式看漲期權(quán)定價公式2024/3/5由歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價關(guān)系，我們很容易推算出具有相同標(biāo)的資產(chǎn)、相同到期日和相同執(zhí)行價格的歐式看跌期權(quán)的價格。2024/3/5例9.1

考慮一種期權(quán)，有效期為6個月，股票價格為42美元，期權(quán)的執(zhí)行價格為40美元，無風(fēng)險年利率為10％，波動率為每年20％。即S=42，X＝40，2024/3/5并且因此，假設(shè)該期權(quán)為歐式看漲期權(quán)，它的價格為：又因?yàn)镹〔0.7693〕＝0.7791，N〔0.6278〕=0.7349所以c=4.762024/3/5二、波動率確實(shí)定方法例9.2假設(shè)一只股票當(dāng)前的價格為30元，6個月期國債的年利率為3％，一投資者購置一份執(zhí)行價格為35元的6個月后到期的看漲期權(quán)，假設(shè)在6個月內(nèi)股票不派發(fā)紅利。問題：他要支付多少期權(quán)費(fèi)？由題設(shè)知：S=30，X＝35，但還需要知道一個無法直接得到的變量：波動率2024/3/5解題步驟：（1）波動率的計(jì)算方法一：從股票的歷史交易數(shù)據(jù)中計(jì)算波動率。假設(shè)在過去n周里的第t周股票收盤價為St，第t-1周的收盤價為St－1，那么第t周的股票復(fù)利收益率為那么，周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差可用下面的公式計(jì)算其中：表示這n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的標(biāo)準(zhǔn)差作為周波動率的估計(jì)值。由歷史的股價數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)算得到此股票的周波動率為0.045。2024/3/5我們?nèi)＝50周，即1年的交易周數(shù)，可得年波動率或：方法二：把實(shí)際的市場期權(quán)價格代入B－S公式而計(jì)算出的波動率即隱含波動率。交易員通常從交易活潑的期權(quán)中計(jì)算隱含波動率，然后利用計(jì)算出的隱含波動率來估算基于同樣股票的不太活潑的期權(quán)的價格。更常見的是，可以同時得到基于同樣股票的幾種不同期權(quán)的幾個隱含波動率，然后對這些隱含波動率進(jìn)行恰當(dāng)?shù)募訖?quán)平均就可以計(jì)算出該股票的綜合隱含波動率。2024/3/5投資者可以通過比照當(dāng)前市場的波動率與期權(quán)的隱含波動率的大小來進(jìn)行期權(quán)交易。如果認(rèn)為實(shí)際的市場波動率高于隱含波動率，那么當(dāng)前的期權(quán)價格被低估了，可以買進(jìn)期權(quán)。反之可以賣出期權(quán)?！?〕計(jì)算N〔d1〕和N(d2)先計(jì)算：2024/3/5然后查正態(tài)分布累積概率表，得到和〔3〕計(jì)算期權(quán)價格C2024/3/5三、B-S公式的根本推廣〔一〕有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式〔9.6〕式是針對無收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的，對于標(biāo)的資產(chǎn)在期權(quán)到期日之前產(chǎn)生收益的情況，我們下面分兩種情況給予簡單分析。2024/3/51，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益的情況假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)將在時刻產(chǎn)生已知現(xiàn)值為I的收益，且。這時，標(biāo)的資產(chǎn)的價值可分解為兩個部分：發(fā)生在時刻的已知收益的現(xiàn)值部分和產(chǎn)生收益后到T時刻時標(biāo)的資產(chǎn)的價值的現(xiàn)值部分。其中后一部分是有風(fēng)險的，記為于是我們可以直接利用（9.6）式來定價了，只要用來代替S即可，

2024/3/52，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生收益率的情況我們假定在任何時間段dt，標(biāo)的資產(chǎn)都產(chǎn)生收益qSdt，這等價于在每一刻都將剩余股票價值的比例為qdt的部分分走。以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，意味著在期權(quán)到期日，還剩下原來資產(chǎn)價值的。所以，在現(xiàn)在時刻t，標(biāo)的資產(chǎn)的價值由兩部分組成：比例為的部分作為收益在到期日T之前發(fā)放，剩下比例為的部分是一單位標(biāo)的資產(chǎn)在到期日T的價值的現(xiàn)值。2024/3/5我們可用來代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解2024/3/5〔二〕期貨看漲期權(quán)的定價公式如果標(biāo)的資產(chǎn)為各種期貨合約的話，上述期權(quán)定價公式必須做相應(yīng)修正，因?yàn)楝F(xiàn)貨期權(quán)與期貨期權(quán)有著不同的交易規(guī)那么。為此，我們設(shè)F為期貨價格，表示期貨價格的波動率，其他符號與上述相同，那么只要期貨價格和標(biāo)的資產(chǎn)價格一樣遵循幾何布朗運(yùn)動的話，就有2024/3/5〔三〕美式期權(quán)價格的近似解假定標(biāo)的資產(chǎn)在時刻t1有收益，這里t＜t1＜T。美式看漲期權(quán)的多頭要么在臨近時刻t1執(zhí)行期權(quán)，要么在到期日時刻T執(zhí)行期權(quán)。因此，這個美式看漲期權(quán)的價值可以近似地看作兩個歐式看漲期權(quán)中較大的那一個。這兩個歐式看漲期權(quán)是1〕時刻t1到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)無收益；2〕時刻T到期的歐式看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)在時刻t1產(chǎn)生現(xiàn)值為I的收益2024/3/59.3期權(quán)定價的數(shù)值方法——二叉樹定價法

在很多情形中，我們無法得到期權(quán)價格的解析解，這時，人們經(jīng)常采用數(shù)值方法為期權(quán)定價，其中包括二叉樹方法、蒙特卡羅模擬和有限差分方法。蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是模擬標(biāo)的資產(chǎn)價格在風(fēng)險中性世界中的隨機(jī)運(yùn)動，預(yù)測期權(quán)的平均回報(bào)，并由此得到期權(quán)價格的一個概率解。有限差分方法將標(biāo)的變量滿足的偏微分方程轉(zhuǎn)化成差分方程來求解，具體的方法包括隱性有限差分法、顯性有限差分法等。2024/3/5一、單步二叉樹定價法〔一〕一個簡單案例例9.3假設(shè)某只股票當(dāng)前的市場價格為20元。投資者預(yù)期3個月后股價有可能是22元，也有可能是18元。再假設(shè)該股票不分紅利且無風(fēng)險利率為10%。投資者打算對3個月后以21元執(zhí)行價格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。我們知道，假設(shè)到期時股票價格為22元，期權(quán)的價值為1元；假設(shè)股票價格為18元，期權(quán)的價值將是0。如圖9.3所示2024/3/5圖9.3股票價格與期權(quán)價格變動示意圖

182022C10在無套利假設(shè)下，二叉樹期權(quán)定價法的根本思路是：首先，以某種方式構(gòu)造一個只包含股票和期權(quán)的無風(fēng)險證券組合；其次，根據(jù)到期日的股票和期權(quán)價格得出組合的價值；再次，利用無風(fēng)險組合的收益率只能是無風(fēng)險收益率，得出構(gòu)造該組合的初始本錢，于是得出該期權(quán)的價格。2024/3/5我們首先假設(shè)無風(fēng)險證券組合里包含一個股股票多頭頭寸和一單位看漲期權(quán)的空頭頭寸。根據(jù)假設(shè)，3個月后市場只會出現(xiàn)兩種可能結(jié)果：股票價格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票價格上升到22元，期權(quán)的價值為1元，那么組合的總價值為；如果股票價格下降到18元，期權(quán)的價值為0，那么組合的總價值為。因?yàn)榻M合為無風(fēng)險證券組合，到期日的價值是確定的。這意味著即2024/3/5因此，0.25股股票多頭和一單位看漲期權(quán)空頭就組成一個無風(fēng)險的證券組合。在期權(quán)到期日，組合的價值總是=4.5元。根據(jù)無套利均衡原理，

由于當(dāng)前的股價為20元，假設(shè)期權(quán)的價格為，那么該組合當(dāng)前的價值為2024/3/5〔二〕一般結(jié)論設(shè)看漲期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)行價格為S，在期權(quán)到期日，標(biāo)的資產(chǎn)的價格要么上漲至現(xiàn)價的u倍，要么下跌至現(xiàn)價的d倍。這里u>1、d<1，如圖9.4所示。

再設(shè)當(dāng)前歐式看漲期權(quán)的價值為C、執(zhí)行價格為X，在標(biāo)的資產(chǎn)價格的上述兩種變化下，其價值分別為、。如圖9.5所示。2024/3/5SuSdS圖9.4標(biāo)的資產(chǎn)價格變動

C圖9.5

單期看漲期權(quán)的價值變動

顯然2024/3/5為確定唯一的未知量C，我們構(gòu)造如下的一個投資組合：〔a〕以價格C賣出一份看漲期權(quán)；〔b〕買入h份標(biāo)的資產(chǎn)。其中h為套期保值比率，其大小是要保證該投資組合成為一個無風(fēng)險的投資組合。也就是說，不管市場如何變化，該投資組合在到期日是的價值是確定的。建立組合的初始成本是購買股票的成本hS減去賣出期權(quán)收到的期權(quán)費(fèi)Ｃ，即。而標(biāo)的資產(chǎn)價格上漲時，該投資組合的最終價值為；當(dāng)價格下跌時，該投資組合的最終價值為。2024/3/5因?yàn)樵撏顿Y組合為無風(fēng)險投資組合。從而有：

即〔9.12〕如果期權(quán)的有效期限里的無風(fēng)險利率為r，則以該組合的當(dāng)前價值進(jìn)行無風(fēng)險投資到期權(quán)到期日的收益應(yīng)和該投資組合的最終價值相等，即有

2024/3/5從而再將h代入，得〔9.13〕其中〔9.14〕在市場無套利機(jī)會存在的前提下，一定有d<1+r<u，從而。另外，還可以看出，只與標(biāo)的資產(chǎn)價格的上漲或下跌幅度有關(guān)，而與某一時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格的大小無關(guān)。

2024/3/5例9.4接著例9.3〔如圖9.3所示〕，u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd=0。由〔9.14〕式，我們得出由〔9.13〕式，我們得出2024/3/5〔三〕風(fēng)險中性概率如果我們將〔9.14〕式中的p解釋為標(biāo)的資產(chǎn)價格上升的概率，于是1-p就是標(biāo)的資產(chǎn)價格下降的概率，那么標(biāo)的資產(chǎn)在T時刻的預(yù)期值由下式給出再將〔9.14〕式中的p代入上式，化簡得2024/3/5〔9.14〕式的p就是的風(fēng)險中性概率，而〔9.13〕式可以表述為：在風(fēng)險中性世界里，期權(quán)的價值就是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。根據(jù)風(fēng)險中性假設(shè)，風(fēng)險中性世界里的無套利均衡價格也是真實(shí)世界里的均衡價格。因而，上述的二叉樹定價法就等價于風(fēng)險中性定價法。在二叉樹定價中也沒有用到標(biāo)的資產(chǎn)價格上升和下降的概率。當(dāng)然，這并不意味期權(quán)定價與標(biāo)的資產(chǎn)價格上升和下降的概率無關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)的資產(chǎn)價格未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在標(biāo)的資產(chǎn)價格中了。2024/3/5

我們可以把一年分成4個3個月、或者12個1個月，或者365天……每一個時點(diǎn)上都對應(yīng)一個單步二叉樹，然后做和單步二叉樹定價法相同的工作：建立不同的無風(fēng)險資產(chǎn)組合或利用風(fēng)險中性定價法求不同狀態(tài)下期權(quán)的收益，再從最終的結(jié)點(diǎn)一步一步逆推，最后計(jì)算出初始狀態(tài)下期權(quán)的價格。二、多步二叉樹定價法2024/3/5我們先將二叉樹從單步推廣到兩步，然后再推廣到多步情形。設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)價為S，每一期間均可能上漲至原來的u倍，或下跌至原來的d倍。這樣，在期權(quán)的有效期限內(nèi)，看漲期限的價值及其變動如圖9.6所示：〔一〕兩步二叉樹定價法2024/3/5SuSdSu2SudSd2S圖9.6兩步二叉樹中的標(biāo)的資產(chǎn)價格與期權(quán)價格變動

C2024/3/5由圖很容易得到：

我們將期權(quán)到期時標(biāo)的資產(chǎn)價格的三種可能價位與看漲期權(quán)的三種可能價值對應(yīng)起來，由前面同樣的方法，可以求出：

2024/3/5在求出Cu和Cd之后，我們可用相同的方法求出C，即〔9.15〕

這就是兩步二叉樹定價公式。

例9.5

假設(shè)一只不分紅股票，其當(dāng)前的市場價格為20元，在二叉樹中的任一步之間，股價要么上漲10%要么下跌10%。我們假設(shè)二叉樹中每一步的時間長度為3個月，市場的無風(fēng)險利率為10%?，F(xiàn)在我們對執(zhí)行價格為21元的歐式看漲期權(quán)估值。2024/3/5圖9.7標(biāo)的股票價格與期權(quán)價格變動示意圖20221824.219.816.2C3.20.00.02024/3/5由題設(shè)知，u=1.1，d=0.9，r=0.1，由〔9.14〕式，我們得出將上述所有參數(shù)代入〔9.15〕式，可得執(zhí)行價格為21元的歐式看漲期權(quán)的價值為2024/3/5按同樣的方法，我們可以把兩期的二叉樹模型擴(kuò)展到多期的情況。隨著期數(shù)的增加，股價變化的可能范圍越來越大，越來越接近于實(shí)際情況，所以二叉樹模型的準(zhǔn)確性也越來越高。假設(shè)將期權(quán)的到期期限分割成n