數(shù)學(xué)教案 誘導(dǎo)公式

一、教學(xué)內(nèi)容分析：《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)·數(shù)學(xué)(必修5)》(人教B版)第一章《解三角形》：“正弦定理和余弦定理”的第1課?！敖馊切巍奔仁歉咧袛?shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性，在這次課程改革中，被保留下來(lái)，并獨(dú)立成為一章。解三角形作為幾何度量問(wèn)題，應(yīng)突出幾何的作用和數(shù)量化的思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。本課“正弦定理”，作為單元的起始課，為后續(xù)內(nèi)容作知識(shí)與方法的準(zhǔn)備，是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解決簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，通過(guò)探索發(fā)現(xiàn)、合情推理與演繹證明的過(guò)程，提高學(xué)生的思辨能力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：由于本課內(nèi)容和一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題相關(guān)，教學(xué)中若能注意課程與生活實(shí)際的聯(lián)系，注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，定能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然本課涉及代數(shù)推理，定理證明中可能涉及多方面的知識(shí)方法，綜合性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)方面有一定困難。三、設(shè)計(jì)思想：定理教學(xué)中有一種簡(jiǎn)陋的處理方式：簡(jiǎn)單直接的定理呈現(xiàn)、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)。本課采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)、合作交流的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值。從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。四、教學(xué)目標(biāo)：讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，猜想，比較，推導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識(shí)，同時(shí)通過(guò)三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)幫助學(xué)生初步樹(shù)立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)是正弦定理的探索、證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)是正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，判斷解的個(gè)數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。435mCBA六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：（一）創(chuàng)設(shè)情境:問(wèn)題1、在建設(shè)水口電站閩江橋時(shí),需預(yù)先測(cè)量橋長(zhǎng)AB,于是在江邊選取一個(gè)測(cè)量點(diǎn)C,測(cè)得CB=435m,∠CBA=,∠BCA=。由以上數(shù)據(jù)，能測(cè)算出橋長(zhǎng)AB嗎？這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題?引出：解三角形——已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程。[設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題。]師：解三角形，需要用到許多三角形的知識(shí)，你對(duì)三角形中的邊角知識(shí)知多少？生：······，“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角”師：“a＞b＞c←→A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？引出課題：“正弦定理[設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。]（二）猜想、實(shí)驗(yàn)：1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？[學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)“a＞b＞c←→A＞B＞C”，可能出現(xiàn)以下答案情形。如a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC,a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，······等等。][設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力]2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出a\sinA=b\sinB=c\sinC。3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是否成立呢？請(qǐng)學(xué)生以量角器、刻度尺、計(jì)算器為工具，對(duì)一般三角形的上述關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，教師用幾何畫(huà)板演示。在此基礎(chǔ)上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有a\sinA=b\sinB=c\sinC。[設(shè)計(jì)意圖：著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究意識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能力]（三）證明探究：對(duì)此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學(xué)需要理性思維。如何通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明正弦定理呢？1、特殊入手，探究證明：在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有，，又,則，從而在直角三角形ABC中，。2、推廣拓展，探究證明：?jiǎn)栴}2：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示“a與、b與sinB”的關(guān)系呢？探究1：能否構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題？[學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能出現(xiàn)以下答案情形。學(xué)生對(duì)直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過(guò)以下三種方法構(gòu)造直角三角形。生1：如圖1，過(guò)C作BC邊上的線CD，交BA的延長(zhǎng)線于D，得到直角三角形DBC。生2：如圖2，過(guò)A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個(gè)直角三角形問(wèn)題。生3：如圖3，分別過(guò)B、C作AB、AC邊上的垂線，交于D，連接AD，也得到兩個(gè)直角三角形······]經(jīng)過(guò)師生討論指出：方法2，簡(jiǎn)單明了，容易得到“c與、b與sinB”的關(guān)系式。[知識(shí)鏈接：根據(jù)化歸——這一解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問(wèn)題是自然不過(guò)的。而方法3將把問(wèn)題延伸到四點(diǎn)共圓，深究下去，可得=2R，對(duì)此，可留做課后思考解決]探究2：能否引入向量，歸結(jié)為向量運(yùn)算？（1）圖2中蘊(yùn)涵哪些向量關(guān)系式？學(xué)生探究，師生、生生之間交流討論，得（這三個(gè)式子本質(zhì)上是相同的）,等,（2）如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系？(施以什么運(yùn)算?)生：施以數(shù)量積運(yùn)算（3）可取與哪些向量的數(shù)量積運(yùn)算？[學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能會(huì)做如下種種嘗試，如兩邊自乘平方、兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量（或），均無(wú)法如愿。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量,并說(shuō)出理由：數(shù)量積運(yùn)算產(chǎn)生余弦，垂直則實(shí)現(xiàn)了余弦與正弦的轉(zhuǎn)換。][知識(shí)鏈接：過(guò)渡教材中，證明方法所引用的單位向量就是與向量共線的單位向量。過(guò)去，學(xué)生常對(duì)此感到費(fèi)解，經(jīng)如此鋪墊方顯自然]探究3：能否引入向量的坐標(biāo)形式，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算？（1）如圖4，建立直角坐標(biāo)系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量的坐標(biāo)=？（bcosA-c，bsinA）（3）哪一點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同？由三角函數(shù)的定義，該點(diǎn)的坐標(biāo)又為多少？根據(jù)平行四邊形法則，D（），從而建立等量關(guān)系：bcosA－c=bsinA=,整理，得c=bcosA+acosB（這其實(shí)是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。[知識(shí)鏈接：向量，融數(shù)與形于一體，是重要的數(shù)學(xué)工具，我們可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如角與距離等），這里學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)向量，可根據(jù)學(xué)生素質(zhì)情況決定是否采用探究2與3]問(wèn)題3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？（留做課后作業(yè)）（四）理解定理、基本應(yīng)用：

1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即問(wèn)題4、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？（1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，成正比例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。（2）從方程的觀點(diǎn)看：每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求一。從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。2、例題分析例1．在中，已知，，cm，解三角形。評(píng)述：定理的直接應(yīng)用，對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2．在中，已知，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）。評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？為什么？3、課堂練習(xí)：（1）、引題（問(wèn)題1）（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)二個(gè)課堂練習(xí)，練習(xí)（1）目的是首尾呼應(yīng)、學(xué)以致用；練習(xí)（2）則是將正弦定理、簡(jiǎn)易邏輯與平面幾何知識(shí)整合，及時(shí)鞏固定理，運(yùn)用定理。]（五）課堂小結(jié)：?jiǎn)栴}5：請(qǐng)同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受。生1：原來(lái)我只會(huì)解直角三角形，現(xiàn)在我會(huì)解一般三角形了師：通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己更強(qiáng)大了。生2：原來(lái)我以為正弦定理的證明，只有書(shū)上一種方法，今天我們學(xué)到了課本以外的眾多方法。師：我們學(xué)習(xí)過(guò)兩個(gè)重要數(shù)學(xué)工具，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。生3：公式很美。師：美在哪里？生3：體現(xiàn)了公式的對(duì)稱美，和諧美······在同學(xué)們的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)：1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊(yùn)涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴(yán)格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運(yùn)算角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性。2、正弦定理反映了邊與其對(duì)角正弦成正比的規(guī)律,據(jù)此，可以用角的正弦替代對(duì)邊，具有美學(xué)價(jià)值3、利用正弦定理解決三類三角形問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角。（3）實(shí)現(xiàn)邊與角的正弦的互化。[設(shè)計(jì)意圖：通常，課堂小結(jié)均由老師和盤托出，學(xué)生接受現(xiàn)成的結(jié)論。本設(shè)計(jì)充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結(jié)成為點(diǎn)睛之筆。]（六）作業(yè)布置：1、書(shū)面作業(yè)：P10習(xí)題1.11、22、研究類作業(yè)：1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。2）在△ABC中，，研究k的幾何意義3）已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？[設(shè)計(jì)意圖：對(duì)問(wèn)題3），根據(jù)分散難點(diǎn)，循序漸進(jìn)原則，在例2中初步涉及，在課后讓學(xué)生先行思考，在“正、余弦定理”第三課時(shí)中予以下圖的剖析闡述。]七、教學(xué)反思：1、本課就新課程理念下定理教學(xué)課的課堂模式，做了一些探索。以問(wèn)題解決為中心，通過(guò)提出問(wèn)題，完善問(wèn)題，解決問(wèn)題，拓展問(wèn)題，采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成與證明的探究上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力。改變了定理教學(xué)中簡(jiǎn)陋的處理方式（簡(jiǎn)單直接呈現(xiàn)、照本宣科證明，大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)）。2、“用教材教，而不是教教材”，盡管教材中對(duì)本課知識(shí)方法的要求并不高，只介紹了通過(guò)作高將一般三角形變換為直角三角形，再將三角比變換得到等式的化歸方法，但教學(xué)不僅是忠實(shí)執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，而且是師生共同開(kāi)發(fā)課程，將教材有機(jī)裁剪，并融入個(gè)性見(jiàn)解的過(guò)程。如在正弦定理的證明探究中，學(xué)生完全可能圍繞“如何構(gòu)造直角三角形？”，八方聯(lián)系，廣泛聯(lián)想，分別應(yīng)用平面幾何四點(diǎn)共圓、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)方法。本課設(shè)計(jì)充分預(yù)設(shè)各種課堂生成，盡量滿足不同思維層次學(xué)生的需求。3、突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。正弦定理的本質(zhì)是“定量地描寫三角形邊角之間的關(guān)系”，是“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的定量化。但量、算、猜不能代替數(shù)學(xué)思考與邏輯證明，而定理的證明實(shí)質(zhì)是：用垂直做媒介，將一般三角形化為直角三角形處理。本課設(shè)計(jì)既講類比聯(lián)想，又講邏輯推理，讓學(xué)生知其然，知其所以然。4、來(lái)源于生活實(shí)際，又回到生活中，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。一、教學(xué)內(nèi)容分析人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》。通過(guò)利用向量的數(shù)量積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問(wèn)題，初步體會(huì)余弦定理解決“邊、邊、角”，體會(huì)方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識(shí)和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣。總體上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問(wèn)題不深入，知識(shí)的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時(shí)，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。三、設(shè)計(jì)思想新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時(shí)要求教師從知識(shí)的傳授者向課堂的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱摺⑻骄块_(kāi)發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動(dòng)合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的潛能。四、教學(xué)目標(biāo)繼續(xù)探索三角形的邊長(zhǎng)與角度間的具體量化關(guān)系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)形式，體會(huì)向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過(guò)實(shí)踐演算運(yùn)用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問(wèn)題；深化與細(xì)化方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)。通過(guò)相關(guān)教學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時(shí)的思路。六、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)合作探究活動(dòng)學(xué)情分析與設(shè)計(jì)意圖知識(shí)回顧1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？2、三角形的正弦定理內(nèi)容，主要解決哪幾類問(wèn)題的三角形？回顧舊知，防止遺忘創(chuàng)設(shè)引入你能判斷下列三角形的類型嗎？1、以3，4，5為各邊長(zhǎng)的三角形是_____三角形以2，3，4為各邊長(zhǎng)的三角形是_____三角形以4，5，6為各邊長(zhǎng)的三角形是_____三角形2、在△ABC中a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求c邊長(zhǎng)嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實(shí)踐作圖方面進(jìn)行估計(jì)判斷。學(xué)生可能比較茫然，幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問(wèn)題，用實(shí)踐進(jìn)行檢驗(yàn)。提出問(wèn)題你能夠有更好的具體的量化方法嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡(jiǎn)潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識(shí)入手，選擇簡(jiǎn)潔的工具。合作探究ABC利用向量法推導(dǎo)余弦定理：如圖：設(shè)，由三角形法則有同理，讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)向量知識(shí)可能遺忘，注意復(fù)習(xí)；在利用數(shù)量積時(shí)，角度可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，鞏固向量知識(shí)，明確向量工具的作用。同時(shí)，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。歸納概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。知識(shí)歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強(qiáng)識(shí)記結(jié)構(gòu)分析觀察余弦定理，指明了三邊長(zhǎng)與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對(duì)應(yīng)表述，同時(shí)發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)的平方在余弦定理中同時(shí)出現(xiàn)使學(xué)生明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，樹(shù)立方程思想，解決“邊、角、邊”問(wèn)題知識(shí)聯(lián)系余弦定理的推論：解決“邊、邊、邊”問(wèn)題方法應(yīng)用怎樣準(zhǔn)確地解答引入中的兩個(gè)問(wèn)題？怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？用準(zhǔn)確的量化關(guān)系去解決問(wèn)題，用邊長(zhǎng)去判斷三角形形狀，勾股定理是余弦定理特例。知識(shí)應(yīng)用例1：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，求解三角形（角度精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）例2：在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形（角度精確到1′）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問(wèn)題加強(qiáng)計(jì)算器的運(yùn)算功能，同時(shí)，鞏固好正弦定理，余弦定理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)兩種知識(shí)方法在解三角形中的綜合應(yīng)用。知識(shí)深化例3：已知△ABC中求c邊長(zhǎng)分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問(wèn)題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問(wèn)題優(yōu)越于余弦定理。并讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)“邊、邊、角”問(wèn)題解法，為下節(jié)學(xué)習(xí)輔墊。練習(xí)檢測(cè)1、某人站在山頂向下看一列車隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛與第三輛車的俯角差，則第一輛車與第二輛車的距離與第二輛車的距離之間關(guān)系為（）A：>B：=C：<D：大小不確定2、銳角△ABC中b＝1，c＝2，則a取值為（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在△ABC中若有，你能判斷這個(gè)三角形的形狀嗎？若呢？用練習(xí)去鞏固所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生逐步形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。課堂小結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類型問(wèn)題？各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些知識(shí)和方法？通過(guò)知識(shí)回顧，使學(xué)生各自體會(huì)收獲。板書(shū)設(shè)計(jì)1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例3、例43、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識(shí)課題：余弦定理（一）【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)目標(biāo)：掌握余弦定理及其證明；使學(xué)生能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形．能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生理解、分析、歸納、解決問(wèn)題的能力．情感目標(biāo)：認(rèn)識(shí)事物的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．【教學(xué)過(guò)程】一．問(wèn)題情境正弦定理在解三角形中能夠解決的兩類問(wèn)題，即已知兩角和一邊、已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角；在實(shí)際解題中，還會(huì)碰到如已知三邊、已知兩邊和兩邊的夾角的三角形，顯然正弦定理不能解決．那么三角形中還有沒(méi)有其他的關(guān)系呢？二．學(xué)生活動(dòng)問(wèn)題：在上節(jié)中，通過(guò)等式的兩邊與（為中邊上的高）作數(shù)量積，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而推出了正弦定理，還有其他途徑將向量等式數(shù)量化嗎？1.2余弦定理（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題。

2.能夠運(yùn)用余弦定理理解解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題

3.通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)間聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

二、過(guò)程與方法

利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問(wèn)題

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；

2.通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：向量方法證明余弦定理.

【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.

【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.正弦定理的內(nèi)容？

2.由正弦定理可解決哪幾類斜三角形的問(wèn)題？

二、研探新知

1．余弦定理的向量證明：

方法1：如圖，在中，、、的長(zhǎng)分別為、、．∵，

∴

+，

即；

同理可證：，．

方法2：建立直角坐標(biāo)系，則．所以

，同理可證，

注意：此法的優(yōu)點(diǎn)在于不必對(duì)是銳角、直角、鈍角進(jìn)行分類討論．

于是得到以下定理

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即................................................................★等差數(shù)列教案等差數(shù)列教案（第一課時(shí)）[教學(xué)目的]：1、培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算的能力；2、通過(guò)對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的觀察力及歸納推理能力；3、通過(guò)等差數(shù)列變形公式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性；[教學(xué)重點(diǎn)]：等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的運(yùn)用。[教學(xué)難點(diǎn)]：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。[教學(xué)過(guò)程]：一、引入：觀察數(shù)列：8，5，2，（）－4，…猜一猜括號(hào)內(nèi)的數(shù)是幾？第六項(xiàng)是幾？這個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)？教師指出象這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列。由學(xué)生歸納出等差數(shù)列的概念。二、等差數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。常數(shù)d稱為等差數(shù)列的公差。即：an-an-1=d（d為常數(shù)）（n≥2）[練習(xí)1]：說(shuō)出上述等差數(shù)列的公差。[練習(xí)2]：請(qǐng)分別舉一個(gè)等差數(shù)列的例子，使它的公差大于（等于或小于）0。教師向?qū)W生說(shuō)明以下幾點(diǎn)；1、等差數(shù)列中，公差是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差，不能顛倒；2、這個(gè)差是同一個(gè)常數(shù)；3、公差可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零。[例題1]：已知{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=8,公差d=－3.求：a2,a3,a4,a100,an[解]：a2=a1+d=5;a3=a2+d=a1+2d=2;a4=a3+d=a