2023屆澳門(mén)四校高三數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)聯(lián)考試卷附答案解析

屆澳門(mén)四校高三數(shù)學(xué)下學(xué)期入學(xué)聯(lián)考試卷一．選擇題（共15小題）1．若集合M＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，N＝{x|0＜x＜6}，則M∩N＝（）A．[﹣2，4] B．[﹣2，0） C．（0，4] D．（0，6） E．[4，6）2．若多項(xiàng)式f（x）除以x2﹣x﹣6，余式為3x﹣2，則f（3）＝（）A．﹣2 B．0 C．3 D．7 E．93．log9125×log1217×log253×log1712＝（）A．log173 B． C． D．log335 E．log17124．方程的解集為（）A．{﹣1} B．{2，﹣6} C．{﹣1，4} D．{4} E．{3}5．已知a為常數(shù)且二次方程4a2x2+2（a+3）x+9＝0只有一個(gè)實(shí)根，則a＝（）A． B．﹣1或 C． D．或 E．任意實(shí)數(shù)6．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．﹣8 B．8 C．﹣160 D．160 E．17．函數(shù)f（x）＝ax2+4x+1（a∈R為常數(shù)）在區(qū)間（2，4）上遞增，則a的取值范圍為（）A． B． C． D． E．8．設(shè)．不等式的解為（）A． B． C． D． E．9．一直立的圓柱形水箱的內(nèi)半徑為3米，高為8米，目前水深5米．如果將一個(gè)半徑為2米的球體放入水箱內(nèi)，且球體完全浸入水中，則水位將上升（）米．A． B． C．1 D． E．10．在等差數(shù)列中，第7項(xiàng)是80及第16項(xiàng)是26，則第34項(xiàng)為（）A．﹣6 B．﹣82 C．﹣88 D．﹣198 E．﹣20411．已知點(diǎn)A（3，﹣8）和B（﹣7，4）．通過(guò)AB的中點(diǎn)并且垂直于3x﹣4y+14＝0的直線(xiàn)方程為（）A．4x+3y+14＝0 B．3x+4y+14＝0 C．3x﹣4y﹣14＝0 D．4x﹣3y+14＝0 E．4x+3y﹣14＝012．雙曲線(xiàn)的離心率是3，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4 E．813．設(shè)A和B是第二象限中的角，且及，則sin（A+B）＝（）A． B． C． D． E．14．如圖所示為函數(shù)的圖像，其中a和b為常數(shù)，則（）A．a(chǎn)＝﹣4及b＝4 B．a(chǎn)＝﹣2及b＝2 C．a(chǎn)＝2及b＝﹣2 D．a(chǎn)＝4及b＝﹣4 E．以上皆非15．點(diǎn)A（﹣2，3）繞原點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到點(diǎn)B．點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．點(diǎn)C向下平移三個(gè)單位到點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（2，0） E．（3，﹣5）二．解答題（共5小題）1．在如圖中，拋物線(xiàn)P：x2＝4y的焦點(diǎn)為F．經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F斜率為的直線(xiàn)L1與拋物線(xiàn)P的交點(diǎn)為A和B．另外一條斜率為1的直線(xiàn)L2與拋物線(xiàn)P的交點(diǎn)為C和D，與y軸的交點(diǎn)為M．（a）求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)．（b）求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度．（c）若|DM|＝3|CM|，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度．2．已知是等比數(shù)列{an}n≥1的前n項(xiàng)和，這里k∈R為常數(shù)．（a）求k及an．（b）設(shè)，求bn的前n項(xiàng)和Tn．（c）設(shè)，求取得最大值n的值．3．已知函數(shù)f（x）＝sin（2ωx）﹣2cos2（ωx）的最小正周期為3π．（a）求f（x）的表達(dá)式．（b）在△ABC中，若f（C）＝0，且2sin2B＝cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．4．設(shè)x，y滿(mǎn)足．（a）畫(huà)出滿(mǎn)足以上不等式組的區(qū)域．（b）設(shè)，求z的取值范圍．（c）設(shè)t＝x2+y2，求t的最小值．5．有一枚不均勻的硬幣，其正面朝上的概率是．（a）連續(xù)十次投擲此硬幣，求獲得最多一次正面朝上的概率．（b）求在第十次投擲才取第一次獲得正面朝上的概率．（c）求在第十次投擲取得第三次獲得正面朝上的概率．參考答案與試題解析一．選擇題（共15小題）1．若集合M＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}，N＝{x|0＜x＜6}，則M∩N＝（）A．[﹣2，4] B．[﹣2，0） C．（0，4] D．（0，6） E．[4，6）【解答】解：因?yàn)镸＝{x|x2﹣2x﹣8≥0}＝{x|x≥4或x≤﹣2}，N＝{x|0＜x＜6}，所以M∩N＝{x|4≤x＜6}．故選：E．2．若多項(xiàng)式f（x）除以x2﹣x﹣6，余式為3x﹣2，則f（3）＝（）A．﹣2 B．0 C．3 D．7 E．9【解答】解：根據(jù)題意，多項(xiàng)式f（x）除以x2﹣x﹣6，余式為3x﹣2，則f（x）＝m（x）?（x2﹣x﹣6）+（3x﹣2），其中，多項(xiàng)式m（x）為商式，故f（3）＝m（3）?（9﹣3﹣6）+（9﹣2）＝m（3）?0+7＝7．故選：D．3．log9125×log1217×log253×log1712＝（）A．log173 B． C． D．log335 E．log1712【解答】解：log9125×log1217×log253×log1712＝×××＝．故選：C．4．方程的解集為（）A．{﹣1} B．{2，﹣6} C．{﹣1，4} D．{4} E．{3}【解答】解：由原方程得：，∴，∴，解得x＝﹣1或4，∴原方程的解集為{﹣1，4}．故選：C．5．已知a為常數(shù)且二次方程4a2x2+2（a+3）x+9＝0只有一個(gè)實(shí)根，則a＝（）A． B．﹣1或 C． D．或 E．任意實(shí)數(shù)【解答】解：a為常數(shù)且二次方程4a2x2+2（a+3）x+9＝0只有一個(gè)實(shí)根，則[2（a+3）]2﹣4×9×4a2＝0，即35a2﹣6a﹣9＝0，即（7a+3）（5a﹣3）＝0，解得a＝或．故選：D．6．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．﹣8 B．8C．﹣160 D．160E．1【解答】解：根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式：＝，當(dāng)r＝3時(shí)，展開(kāi)式為常數(shù)項(xiàng)，即．故選：C．7．函數(shù)f（x）＝ax2+4x+1（a∈R為常數(shù)）在區(qū)間（2，4）上遞增，則a的取值范圍為（）A． B． C． D． E．【解答】解：當(dāng)a＝0時(shí)，f（x）＝4x+1在（2，4）上單調(diào)遞增，符合題意，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣，若函數(shù)f（x）在（2，4）上單調(diào)遞增，則，解得a，故﹣，當(dāng)a＞0時(shí)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣＜0，此時(shí)函數(shù)在（2，4）上單調(diào)遞增，符合題意，綜上，a的范圍為a≥﹣．故選：D．8．設(shè)．不等式的解為（）A． B． C． D． E．【解答】解：因?yàn)椋栽坏仁娇苫癁閘og2（）+2＞0，即log2（2﹣12|x|）＞0，即2﹣12|x|＞1，所以|x|，解得．故選：A．9．一直立的圓柱形水箱的內(nèi)半徑為3米，高為8米，目前水深5米．如果將一個(gè)半徑為2米的球體放入水箱內(nèi)，且球體完全浸入水中，則水位將上升（）米．A． B． C．1 D． E．【解答】解：設(shè)水位上升h米，則，得h＝．故選：E．10．在等差數(shù)列中，第7項(xiàng)是80及第16項(xiàng)是26，則第34項(xiàng)為（）A．﹣6 B．﹣82 C．﹣88 D．﹣198 E．﹣204【解答】解：設(shè)該數(shù)列為{an}，其公差為d，根據(jù)題意，有，解得a1＝116，d＝﹣6，所以第34項(xiàng)為a34＝a1+33d＝116﹣33×6＝﹣82．故選：B．11．已知點(diǎn)A（3，﹣8）和B（﹣7，4）．通過(guò)AB的中點(diǎn)并且垂直于3x﹣4y+14＝0的直線(xiàn)方程為（）A．4x+3y+14＝0 B．3x+4y+14＝0 C．3x﹣4y﹣14＝0 D．4x﹣3y+14＝0 E．4x+3y﹣14＝0【解答】解：因?yàn)锳（3，﹣8）和B（﹣7，4），所以AB的中點(diǎn)D（，），即D（﹣2，﹣2），設(shè)與垂直于3x﹣4y+14＝0的直線(xiàn)方程為4x+3y+a＝0，將D點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得：4×（﹣2）+3×（﹣2）+a＝0，解得a＝14，所以所求的直線(xiàn)的方程為4x+3y+14＝0．故選：A．12．雙曲線(xiàn)的離心率是3，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4 E．8【解答】解：依題意，，則，又a＞0，b＞0，所以＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為8．故選：E．13．設(shè)A和B是第二象限中的角，且及，則sin（A+B）＝（）A． B． C． D． E．【解答】解：及，A和B是第二象限中的角，則cosA＝，cosB＝，故sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝．故選：A．14．如圖所示為函數(shù)的圖像，其中a和b為常數(shù)，則（）A．a(chǎn)＝﹣4及b＝4 B．a(chǎn)＝﹣2及b＝2 C．a(chǎn)＝2及b＝﹣2 D．a(chǎn)＝4及b＝﹣4 E．以上皆非【解答】解：由圖知，當(dāng)x＝時(shí)，y＝4，所以asin（﹣）+b＝4，即﹣a+b＝4，又函數(shù)y的最小值為0，所以a+b＝0，解得a＝﹣2，b＝2．故選：B．15．點(diǎn)A（﹣2，3）繞原點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到點(diǎn)B．點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．點(diǎn)C向下平移三個(gè)單位到點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣3，﹣1） B．（﹣3，0） C．（﹣4，0） D．（2，0） E．（3，﹣5）【解答】解：點(diǎn)A（﹣2，3）繞原點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到點(diǎn)B（3，2），因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)C（3，﹣2），再向下平移三個(gè)單位到點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣5）．故選：E．二．解答題（共5小題）1．在如圖中，拋物線(xiàn)P：x2＝4y的焦點(diǎn)為F．經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F斜率為的直線(xiàn)L1與拋物線(xiàn)P的交點(diǎn)為A和B．另外一條斜率為1的直線(xiàn)L2與拋物線(xiàn)P的交點(diǎn)為C和D，與y軸的交點(diǎn)為M．（a）求焦點(diǎn)F的坐標(biāo)．（b）求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度．（c）若|DM|＝3|CM|，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度．【解答】解：（a）由拋物線(xiàn)的方程可得：焦點(diǎn)F的坐標(biāo)（0，1）；（b）由題意可知直線(xiàn)L1的方程：，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：x2﹣3x﹣4＝0，顯然Δ＞0，x1+x2＝3，y1+y2＝（x1+x2）+2＝；所以|AB|＝y(tǒng)1+y2+p＝+2＝；（c）設(shè)直線(xiàn)L2的方程：y＝x+t，設(shè)C和D的橫坐標(biāo)分別為x3和x4，聯(lián)立，整理可得：x2﹣4x﹣4t＝0，Δ＝16+16t＞0，即t＜﹣1，x3+x4＝4，①又因?yàn)閨DM|＝3|CM|，所以x4＝﹣3x3，②①②可得x3＝﹣2和x4＝6，因此|CD|＝|x4﹣x3|＝8．2．已知是等比數(shù)列{an}n≥1的前n項(xiàng)和，這里k∈R為常數(shù)．（a）求k及an．（b）設(shè)，求bn的前n項(xiàng)和Tn．（c）設(shè)，求取得最大值n的值．【解答】解：（a）由題意得到a1＝9﹣2k，a2＝S2﹣S1＝27﹣9＝18，及a3＝S3﹣S2＝54，因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，于是，即為54（9﹣2k）＝182，解得k＝，則首項(xiàng)a1＝6，公比q＝3．因此an＝2×3n；（b）因?yàn)?，所以Tn＝+n+log23?，即為；（c）因?yàn)椋?，?dāng)n＝2時(shí)，函數(shù)f（n）取得最大值，且為．3．已知函數(shù)f（x）＝sin（2ωx）﹣2cos2（ωx）的最小正周期為3π．（a）求f（x）的表達(dá)式．（b）在△ABC中，若f（C）＝0，且2sin2B＝cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．【解答】解：（a）由二倍角公式可得f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣1＝2sin（2ωx﹣）﹣1；因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期T＝＝3π，所以ω＝，所以f（x）＝2sin（x﹣）﹣1；（b）由，可得．因?yàn)镃∈（0，π），所以，所以，可得及．又因?yàn)?，所?sin2B＝sinA+sinA，即sin2B＝sinA，可得1﹣sin2A＝sinA，即sin2A+sinA﹣1＝0，sinA＞0，因此．4．設(shè)x，y滿(mǎn)足．（a）畫(huà)出滿(mǎn)足以上不等式組的區(qū)域．（b）設(shè)，求z的取值范圍．（c）設(shè)t＝x2+y2，求t的最小值．【解答】解：（a）x，y滿(mǎn)足的可行域如圖：（b）的幾何意義是P（x，y）和原點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率．求解3條直線(xiàn)的交點(diǎn)可得A（2，），B（5，）和C（5，﹣1）．那么P在給定區(qū)域內(nèi)變動(dòng)時(shí)，z的最小值可以在的C取得，最大值可在點(diǎn)A處取得，因此﹣≤z≤．z∈[﹣，]．（c）t＝x2+y2的幾何意義是點(diǎn)P（x，y）和原點(diǎn)距離的平方．轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到3x+2y﹣13＝0的距離的平方，即（）2＝13，t的最小值為1