第13講拓展一平面向量綜合問題（原卷版）

第13講拓展一：平面向量綜合問題題型01平面向量共線定理及其推論【典例1】（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點，若均為正數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【典例2】（2023下·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知點O是的內(nèi)心，，，則（

）A． B． C．2 D．【典例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【變式1】（2023下·浙江寧波·高二校聯(lián)考期末）在中，點O滿足，過點O的直線分別交射線AB，AC于點M，N，且，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．4【變式2】（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期中）在中，點是邊所在直線上的一點，且，點在直線上，若向量，則的最小值為（

）A．3 B．4 C． D．9【變式3】（2022上·海南·高三校聯(lián)考期末）已知長方形中，，是線段的中點，是線段上靠近的三等分點，線段，交于點，則（

）A． B．C． D．題型02平面向量數(shù)量積（最值，范圍）問題【典例1】（2023下·天津·高一統(tǒng)考期末）在中，，，.若，分別為邊，上的點，且滿足，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知的外接圓的圓心為，且，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【典例3】（2023下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）邊長為2的等邊三角形ABC的重心為G，設(shè)平面內(nèi)任意一點P，則的最小值為．【典例4】（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知邊長為2的菱形中，是邊所在直線上的一點，則的取值范圍為．【變式1】（多選）（2023下·遼寧大連·高一大連八中?？计谥校┰谥校?，，，為內(nèi)任意一點（含邊界），且，則的值可能是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023下·北京通州·高一統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為CD邊上的一個動點，則的取值范圍是．【變式3】（2023下·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在中，，為邊上的動點，則的最小值為．【變式4】（2023下·廣東·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知是以為直徑的上半圓上的動點（包含端點，），是的中點，，則的最大值是．題型03平面向量的模（最值，范圍）問題【典例1】（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于．【典例2】（2023上·天津和平·高三天津市第二南開中學(xué)校考期中）如圖，在中，，，P為CD上一點，且滿足，若，則的最小值為.【典例3】（2023下·上海閔行·高一校考階段練習(xí)）已知，，，且，為鈍角，若的最小值為，則的最小值是【典例4】（2023下·四川眉山·高三?？奸_學(xué)考試）在△ABC內(nèi)，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角B的值；(2)若，點D是AC邊上靠近點C的三等分點，求BD的取值范圍.【變式1】（2023上·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，為中點，為線段上一點，且滿足，若，則的最大值為．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量滿足，若的最大值為1，的取值范圍為．【變式3】（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在中，分別為角所對的邊，．(1)求角的大小；(2)若的面積為，且，，求的最小值．題型04平面向量夾角（最值，范圍）問題【典例1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【典例2】（2023下·重慶酉陽·高一重慶市酉陽第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（

）.A． B． C． D．【典例3】（2022上·上海寶山·高二上海交大附中?？茧A段練習(xí)）若平面向量，，滿足，，，，則，夾角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例4】（2023上·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，若對任意模為的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍為.【變式1】（2022上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，，則向量與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【變式2】（2021下·浙江·高一期末）已知向量的夾角為，，向量，且，則向量夾角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2023上·天津北辰·高三?？茧A段練習(xí)）在中，點D為AC的中點，點E滿足．記，，用表示；若，則的最大值為．【變式4】（2023上·廣東深圳·高三深圳市云頂學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知平面單位向量滿足，設(shè)，，向量的夾角為，則的最小值是．題型05平面向量投影（投影向量）【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量的模為（

）A． B．3 C． D．【典例2】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知是坐標(biāo)原點，點，且點是圓：上的一點，則向量在向量上的投影向量的模的取值范圍是.【典例3】（2022上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知對任意平面向量，把B繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點P.已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A沿逆時針后得到點P，向量為向量在向量上的投影向量，則.【變式1】（2023上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【變式2】（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知點在線段上，是的角平分線，為上一點，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為．（結(jié)果用表示）．【變式3】（2023下·廣東惠州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為.題型06平面向量中的新文化，新定義題【典例1】（2023上·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí)）人臉識別技術(shù)應(yīng)用在各行各業(yè)，改變著人類的生活，而所謂人臉識別，就是利用計算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設(shè)二維空間中有兩個點、，為坐標(biāo)原點，余弦相似度為向量、夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知、、，若、的余弦距離為，，則、的余弦距離為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測）下圖是北京2022年冬奧會會徽的圖案，奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距如圖所示．若圓半徑均為12，相鄰圓圓心水平路離為26，兩排圓圓心垂直距離為11．設(shè)五個圓的圓心分別為、、、、，則的值為（

）A． B． C． D．【典例3】（多選）（2023下·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期末）如圖，某八角鏤空窗的邊框呈正八邊形．已知正八邊形的邊長為，、為正八邊形內(nèi)的點（含邊界），在上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．【典例4】（2023下·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？计谥校┲貞c榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形，其中，，動點在上（含端點），連接交扇形的弧于點，且，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識別，就是利用計算機(jī)檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個點，，O為坐標(biāo)原點，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（2023下·江蘇南通·高一統(tǒng)考期中）剪紙藝術(shù)是一種中國傳統(tǒng)的民間工藝，它源遠(yuǎn)流長，經(jīng)久不衰，已成為世界藝術(shù)寶庫中的一種珍藏．某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課外活動，組織了剪紙比賽，小明同學(xué)在觀看了2022年北京冬奧會的節(jié)目《雪花》之后，被舞臺上漂亮的“雪花”圖案（如圖1）所吸引，決定用作品“雪花”參加剪紙比賽．小明的參賽作品“雪花”，它的平面圖可簡化為圖2的平面圖形，該平面圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其中，六邊形ABCDEF為正六邊形，，，為等邊三角形，P為該平面圖形上的一個動點（含邊界），則（

）A． B．C．若，則λ＋μ的最大值為 D．的取值范圍是【變式3】（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）十七世紀(jì)法國業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是:當(dāng)三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角:當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點.已知分別是三個內(nèi)角的對邊，且，若點為的費馬