2.2 基本不等式（六大題型7個(gè)方向）（原卷版）

2．2基本不等式【題型歸納目錄】題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用題型二：利用基本不等式比較大小題型三：利用基本不等式證明不等式題型四：利用基本不等式求最值1、直接法求最值2、常規(guī)湊配法求最值3、消參法求最值4、換元求最值5、“1”的代換求最值6、法7、條件等式求最值題型五：利用基本不等式求解恒成立問題題型六：基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：基本不等式1、對公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號”．2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號）；②（異號）；③或知識點(diǎn)詮釋：可以變形為：，可以變形為：．知識點(diǎn)二：基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為．這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：．當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危磿r(shí)，正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有．得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號“=”）特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號“=”）方法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號“=”）．知識點(diǎn)詮釋：特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號“=”）．知識點(diǎn)三：基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，，過點(diǎn)作交圓于點(diǎn)D，連接、．易證，那么，即．這個(gè)圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與圓心重合，即時(shí)，等號成立．知識點(diǎn)詮釋：1、在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)．因此基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2、如果把看作是正數(shù)的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)的等比中項(xiàng)，那么基本不等式可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．知識點(diǎn)四：用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值．知識點(diǎn)詮釋：1、兩個(gè)不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個(gè)不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取“=”號這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項(xiàng)的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項(xiàng)能取得相等的值．5、基本不等式在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案．【典型例題】題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．例2．（2023·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）下列定理中，被稱為冪的基本不等式的是（

）A．如果，且，那么B．對任意的實(shí)數(shù)a和b，總有，且等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立C．對任意的正實(shí)數(shù)a和b，總有，且等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立D．當(dāng)，時(shí)，例3．（2023·上海靜安·高一?？计谥校┙o出下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）①已知，則成立；②已知且，則成立；③已知，則的最小值為2；④已知，，則成立．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列使用均值不等式求最小值的過程，正確的是（

）A．若，則B．若，則由知，的最小值為1C．若，則D．若，則變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下面三個(gè)推導(dǎo)過程：①∵a、b為正實(shí)數(shù)，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正確的推導(dǎo)為（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用基本不等式時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)（1）一正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù)．（2）二定值：只有ab為定值時(shí)才能應(yīng)用基本不等式，因此有時(shí)需要構(gòu)造定值．（3）三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值．題型二：利用基本不等式比較大小例4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．例5．（2023·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．例6．（2023·陜西寶雞·高二校考期中）已知a，，，，則（

）A． B．C． D．變式3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若x，y滿，則（

）A． B． C． D．變式4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．變式5．（2023·山東青島·高一校考階段練習(xí)）若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是（

）A．P＞Q＞M B．M＞P＞QC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式比較大小在利用基本不等式比較大小時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項(xiàng)、配湊或變形．在拆項(xiàng)、配湊或變形的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能．題型三：利用基本不等式證明不等式例7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，試比較與的大??；例8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，且．求證：．例9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2).變式7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，且，求證：.變式8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正數(shù)a，b，c滿足.(1)求的最大值；(2)求證：.變式9．（2023·貴州黔西·校考一模）設(shè)，，均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．變式10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，求證：.變式11．（2023·陜西西安·高二西安中學(xué)校考期中）均值不等式可以推廣成均值不等式鏈，在不等式證明和求最值中有廣泛的應(yīng)用，具體為：.(1)證明不等式.(2)上面給出的均值不等式鏈?zhǔn)嵌问?，其中指的是兩個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)不小它們的算數(shù)平均數(shù)，類比這個(gè)不等式給出對應(yīng)的三元形式，即三個(gè)正數(shù)的平方平均數(shù)不小于它們的算數(shù)平均數(shù)，并嘗試用分析法證明猜想.（個(gè)數(shù)的平方平均數(shù)為）【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式證明不等式時(shí)應(yīng)注意的問題（1）注意基本不等式成立的條件；（2）多次使用基本不等式，要注意等號能否成立；（3）對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．題型四：利用基本不等式求最值1、直接法求最值例10．（2023·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）已知，且，則的最大值是.例11．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎猘、b大于0，，則的最大值是．例12．（2023·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？计谀┮阎?，若，則的最大值為．變式12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，，則的取值范圍是.變式13．（2023·北京順義·高二北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若恒成立，寫出一個(gè)滿足條件的值.變式14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足則ab的最大值為.變式15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正數(shù)滿足，則的最小值是．變式16．（2023·遼寧大連·高三大連市第二十高級中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，則的最小值為．變式17．（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）若，則的最小值為；2、常規(guī)湊配法求最值變式18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值．變式19．（2023·遼寧營口·高一?？茧A段練習(xí)）求解下列各題：（1）求的最大值；（2）求的最小值.變式20．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）.變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）若，且，求的最小值；（2）若，求的最大值．變式22．（2023·河南漯河·高一漯河四高校考階段練習(xí)）（1）求不等式解集：；（2）設(shè)，求函數(shù)的最小值．變式23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16變式24．（2023·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知，，且，則的最小值為．3、消參法求最值變式25．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若，，且，則的最小值是（

）A．5 B．8 C．13 D．16變式26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式27．（2023·江蘇蘇州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為.變式28．（2023·天津和平·高二統(tǒng)考期末）已知，則的最小值是．變式29．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為.4、換元求最值變式30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，且，則的最大值是.變式31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為.變式32．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．變式33．（2023·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是.變式34．（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，為正實(shí)數(shù)，若，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式35．（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．75、“1”的代換求最值變式36．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.變式37．（2023·陜西渭南·高二白水縣白水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，則的最小值為.變式38．（2023·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）已知且，則的最小值是．變式39．（2023·福建泉州·高一統(tǒng)考期中）已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是．變式40．（2023·天津?yàn)I海新·高一?？计谥校┮阎?，且，則的最小值為．變式41．（2023·山東濟(jì)南·高二濟(jì)南外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知若正數(shù)、滿足，則的最小值為．變式42．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是.變式43．（2023·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）已知，且滿足，則的最小值為.變式44．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為.變式45．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，其中，，，則的最小值為．變式46．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則的最小值是．6、法變式47．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足則的最小值是（

）A． B． C． D．7、條件等式求最值變式49．（2023·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期中）已知，，且．(1)求的最大值；(2)求的最小值．變式50．（2023·浙江臺州·高一校聯(lián)考期中）（1）已知，，求的取值范圍；（2）已知正數(shù)x，y滿足.（i）求的最大值；（ii）求的最小值.變式51．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校?）已知求的最大值（2）已知求的最大值（3）已知，且，求的最小值變式52．（2023·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)，且.(1)求的最大值；(2)是否存在，使得的值為？并說明理由.變式53．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知，且，求的最小值.（2）已知，且，求的最小值.變式54．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）已知均為正實(shí)數(shù)，且.(1)求的最大值；(2)求的最小值.【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式求代數(shù)式的最值（1）利用基本不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通?；ɑ蚶茫┓e為定值；若是求積的最大值，通?；ɑ蚶茫┖蜑槎ㄖ?，解答技巧都是恰當(dāng)變形、合理拆分項(xiàng)或配湊因式．題型五：利用基本不等式求解恒成立問題例13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知不等式對任意正實(shí)數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．9例14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若對，，有恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．例15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式55．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若不等式對任意正數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)x的最大值為（

）A． B．2 C． D．1變式56．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式57．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，若恒成立，則的最大值為（

）A．4 B．5 C．24 D．25變式58．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，且，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25變式59．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式60．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式求解恒成立問題，通常通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值題型六：基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例16．（2023·江蘇揚(yáng)州·高一?？茧A段練習(xí)）已知、、、為正實(shí)數(shù)，利用平均不等式證明（1）（2）并指出等號成立條件，然后解（3）中的實(shí)際問題．(1)請根據(jù)基本不等式，證明：；(2)請利用（1）的結(jié)論，證明：；(3)如圖，將邊長為米的正方形硬紙板，在它的四個(gè)角各減去一個(gè)小正方形后，折成一個(gè)無蓋紙盒．如果要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應(yīng)為多少米?例17．（2023·廣東深圳·高三深圳市建文外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）（1）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的最小值；（2）某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低?例18．（2023·福建莆田·高三莆田二中?？奸_學(xué)考試）近日，隨著暑期來臨，莆田市政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動(dòng)，決定為某制衣有限公司在暑假期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼．某制衣有限公司在收到莆田市政府（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時(shí)某制衣有限公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額政府專項(xiàng)補(bǔ)貼成本．(1)求某制衣有限公司暑假期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬元）的表達(dá)式；(2)莆田市政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，某制衣有限公司暑假期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？變式61．（2023·高一單元測試）某公司決定對旗下的某商品進(jìn)行一次評估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件．(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入萬元．作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià)．變式62．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某住宅小區(qū)為了營造一個(gè)優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，打算建造一個(gè)八邊形的休閑花園，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成面積為200米2的十字形區(qū)域，且計(jì)劃在正方形MNPK上建一座花壇，其造價(jià)為4200元/米2，在四個(gè)相同的矩形上（圖中的陰影部分）鋪花崗巖路面，其造價(jià)為210元/米2，并在四個(gè)三角形空地上鋪草坪，其造價(jià)為80元/米2.

(1)設(shè)的長為米，試寫出總造價(jià)（單位：元）關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)問：當(dāng)取何值時(shí)，總造價(jià)最少？求出這個(gè)最小值．變式63．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谀?）用一段長為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，求這個(gè)矩形菜園的最大面積．（2）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，求所用籬笆的最短值．變式64．（2023·全國·高一專題練習(xí)）汽車在隧道內(nèi)行駛時(shí)，安全車距（單位：）正比于車速（單位：）的平方與車身長（單位：）的積，且安全車距不得小于半個(gè)車身長．當(dāng)車速為時(shí)，安全車距為個(gè)車身長．(1)求汽車在隧道內(nèi)行駛時(shí)的安全車距與車速之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)某救災(zāi)車隊(duì)共有10輛同一型號的貨車，車身長為，當(dāng)速度為多少時(shí)該車隊(duì)通過（第一輛車頭進(jìn)隧道起，到最后一輛車尾離開隧道止，且無其它車插隊(duì)）長度為的隧道用時(shí)最短?【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟解實(shí)際問題時(shí)，首先審清題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識（函數(shù)及不等式性質(zhì)等）解決問題．用基本不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．（4）正確寫出答案．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則的最大值是（）A． B．2 C．4 D．32．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在實(shí)驗(yàn)課上，小明和小芳利用一個(gè)不等臂的天平秤稱取藥品.實(shí)驗(yàn)一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實(shí)驗(yàn)二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)中小明和小芳共秤得的藥品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．（20