2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第四章第4節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

第4節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考綱要求1.能畫(huà)出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；2.理解

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間［0,2句上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與X軸的交點(diǎn)

等），理解正切函數(shù)在區(qū)間（T號(hào)內(nèi)的單調(diào)性.

知識(shí)分類落實(shí)回扣知識(shí)?夯實(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

I.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

⑴正弦函數(shù)y=sinx,x∈［0,2ττ］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,（$1），（兀，0），（芋，一1），

（2π,0）.

（2）余弦函數(shù)y=cosx,XW［0,2π］的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,（兀，^~1），（爭(zhēng)，。），

（2π,1）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中Z∈Z）

函數(shù)y=sinXy=cosxy=tanx

木二￡

1?

圖象

7)τO~i?*

-1l?7￥WI

I

{x∣x∈R,且χ≠?π

定義域RR

+芻

值域LLll[-1,11R

最小正周期2π2ππ

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

2∕cπ~^2Zcπ÷^(iπ-2'E+m

遞增區(qū)間f［2E一兀,2攵兀］

2?π÷^,2E+當(dāng)]

遞減區(qū)間[2%兀,22兀+兀]無(wú)

-

對(duì)稱中心(fat,0)(fot+21°)

,π

對(duì)稱軸方程x-kπ~?~^X=ku無(wú)

一常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒

1.正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，相鄰的對(duì)

稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是"個(gè)周期.正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.

2.三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=AsinOX或y=Atan(υx的形式，偶函數(shù)一般可化為y=

Acosωx+b的形式.

3.對(duì)于y=tanX不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個(gè)區(qū)間(E一宏E+飄∈Z)

內(nèi)為增函數(shù).

診斷自測(cè)

〉思考辨析

1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

⑴余弦函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸是y軸.()

(2)正切函數(shù)y=tanX在定義域內(nèi)是增函數(shù).()

(3)已知y=Asinx+l,x∈R,則y的最大值為&+1.()

(4)y=sin∣x∣是偶函數(shù).()

答案(I)X(2)×(3)×(4)√

解析(1)余弦函數(shù)y=cosx的對(duì)稱軸有無(wú)窮多條，y軸只是其中的一條.

(2)正切函數(shù)y=tanx在每一個(gè)區(qū)間(E—E+^l∈Z)上都是增函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是

單調(diào)函數(shù)，故不是增函數(shù).

(3)當(dāng)QO時(shí)，ymax=?+l;當(dāng)D時(shí)，＞?x≈-Λ+l.

?■教材衍化

2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是()

A.y=∣cosx÷1∣B.γ=l—sinx

C.y=-3sin(2x÷π)D.y=l-tanx

答案C

解析選項(xiàng)A中的函數(shù)是偶函數(shù)，選項(xiàng)B,D中的函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；因

為y=-3sin(2x+兀)=3sin2%,所以是奇函數(shù)，選C.

3.函數(shù)y=—?∣cos(gχ-看)+3的最小正周期為丁，最大值為A，貝∣J()

T,3CT兀，9

A.T=πA=2B.T=QA=/

93

C.7=4兀A=2D.T=2πA=—

答案C

解析T=ψ=4π,A=∣+3=?.

2

＞考題體驗(yàn)

TT3IT

4.(2019?全國(guó)Il卷)若XI=TX2=彳是函數(shù)外)=sins(m＞0)兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，則ω=()

31

A.2B.2C.1D.2

答案A

解析由題意及函數(shù)y=sin（OX的圖象和性質(zhì)可知，

IT=斗一曰，/.T=π,.^.-=π,.?.cu=2.故選A.

Z440）

5.（2020.天津卷）已知函數(shù)外）=sin（x+0.給出下列結(jié)論：

①/U）的最小正周期為2兀；

②/C）是逃X(jué)）的最大值；

③把函數(shù)y=sinX的圖象上所有點(diǎn)向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)y=∕（x）的圖象.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

答案B

解析T=γ=2π,故①正確.

當(dāng)x+守=升2E（YZ）,即X=專+2E（A∈Z）時(shí)，於）取得最大值，故②錯(cuò)誤.

向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度

y=sinx的圖象一--->?y=SinG+§的圖象，故③正確.故選B.

6.（2020.北京卷）若函數(shù)fix）=sin（x+φ）+cosX的最大值為2,則常數(shù)φ的一個(gè)取值為

答案多答案不唯一，只要等于;+2E,Z∈Z即可）

解析V∕（x）=sin（x+^）+cosX的最大值為2,

又Sina+e）≤1,cosx≤I,

則Sina+夕）=COSX=I時(shí)，於）取得最大值2.

Tr

由誘導(dǎo)公式，得e=]+2E,?∈z.

'.φ的一個(gè)取值可為今

考點(diǎn)分層突破考點(diǎn)聚焦?題型剖析

考點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域和值域自主演練

1.函數(shù)y=dsinχ-cosx的定義域?yàn)?

Ti5π

答案[2航+72?π+γJ（?∈Z）

解析法一要使函數(shù)有思義，必須使SinX-cosxNO.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出［0,2π］

上y=sinx和y=cosx的圖象，如圖所示.在［0,2兀］內(nèi)，滿足SinX=CoSX的X為:，芋，再結(jié)

合正弦、余弦函數(shù)的周期是2兀，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

jx∣2?π÷^≤x≤2?π÷^π,?≡Z∣.

Jt?V=COSX

1.

ɑ?v?ez-1

-Ifdy=sιnX

法二利用三角函數(shù)線，

畫(huà)出滿足條件的終邊范圍（如圖陰影部分所示）.

所以定義域?yàn)椋鹸∣2fcπ+:WXW2?π+津，∕∈Z].

2.函數(shù)y=sinχ-cos(X+方的值域?yàn)?

答案[~√3,√3]

解析V>,=sinχ-cosɑr+5)=sinx一坐COSX+*inx='sin尤一當(dāng)COSX=小Sin(X一襲

函數(shù)y=sinχ-cos(x+的值域?yàn)閇一小，小J.

3.當(dāng)χe[會(huì),用時(shí)，函數(shù)y=3—sinx—2cos2χ的值域?yàn)?

答案2]

解析因?yàn)閤∈已，?],所以SinXe[-3，1]

又y=3—sinχ-2cos2x=3-sin%—2(1—sin2x)

=2^sinχ-ξ)2+∣,

?71

所以當(dāng)SinX=W時(shí)，Mnin=g,當(dāng)sin%=-]或SinX=I時(shí)，yma×=2.

-7

-2

即函數(shù)的值域?yàn)?/p>

J8,

4.函數(shù)y=sinχ-cosx+sinxcosx的值域?yàn)?/p>

-1-

答案[一丁小，1

解析設(shè)t—sinχ-cosx,

貝IJ∕2=sin2x÷cos2χ-2sinXCOSx,

1—產(chǎn)

sinxcosx=-2-，且一也Wf≤*?∕∑

F11

?,?y=-]+，+]=1)2÷1.

1l

當(dāng)f=l時(shí)，ymaκ=l;當(dāng)/=一也時(shí)，>?i∏≈-^^2^?

函數(shù)的值域?yàn)閇一段一也，1.

感悟升華1.求三角函數(shù)的定義域通常要解三角不等式(組)，解三角不等式(組)常借助三角

函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象.

2.求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)的幾種類型：

(1)形如y=asinx÷?cosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+^)÷c的形式，再求值域(最值)；

⑵形如y=αsi∏2χ+加inx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)SinjI=/,化為關(guān)于，的二次函數(shù)求值域(最

值)：

(3)形如y=6zsin入COSx÷?(sinx+cosx)+c的三角函數(shù)，可先設(shè)r=sinx÷cosxt化為關(guān)于t的

二次函數(shù)求值域(最值).

(4)一些復(fù)雜的三角函數(shù)，可考慮利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后求最值.

考點(diǎn)二三角函數(shù)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性師生共研

【例1J(1)(2021?鄭州調(diào)研)在函數(shù)①y=cos∣x∣,②y=∣cosx∣,③y=cos(2x+*),④y=

tan(2x—中，最小正周期為π的函數(shù)有()

A.①③B.①④C.②④D.②③

⑵已知函數(shù)兀V)=Sin(s+%>0)的圖象在[θ,耳內(nèi)有且僅有一條對(duì)稱軸,則實(shí)數(shù)3的取值

范圍是()

A.(0,5)B.(0,5J

C.[1,5)D.(1,5]

(3)(2021?撫順調(diào)研)已知函數(shù)人X)=2Sin(X+，+§(6e]甘，卻是偶函數(shù)，則θ的值為

(4)已知函數(shù)/)=CoS(ox+"。〉。，網(wǎng)考)的最小正周期為4兀，且VXGR有危)勺6)成立,

則大幻圖象的對(duì)稱中心是,對(duì)稱軸方程是

答案(I)D(2)C(3)≡

(4ττ、Ti

(4)[^2Λπ+y,θj,&∈Zx=2kπ+y?∈Z

解析(1XDy=COSkI=COSx,最小正周期為2兀，錯(cuò)誤；②y=∣cos川，最小正周期為π,正確;

③y=cos(lx+制最小正周期為§=兀，正確；④y=tan(2x—彳)最小正周期為錯(cuò)誤.故

選D.

兀71

(2)令S+1=%兀+,,X=?π+S-fc∈Z,,∕ω>0,由題意得解得l≤ω<5,

故選C.

TTTT

(3)?.?函數(shù)7U)為偶函數(shù)，，。+§=E+](Z≡Z).

ππ

又。∈

2,2_

.?.0+≡=≡解得e=5,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

(4)由於)=COS(SX+夕)的最小正周期為4π,得S=/

因?yàn)槲?W,尚恒成立，所以火x)max=啟)，即;X^+e=2kt(k∈Z),

又?.?∣9∣<^,所以9=*,故段)=COS&—看)，

令5—聿=微+E("eZ)?得X=寸+2E(Z￡Z),

故7U)圖象的對(duì)稱中心為(2也+與，o),k≡z.

令%一看=E(MZ),得x=2E+界∈Z),

Tr

故7U)圖象的對(duì)稱軸方程是X=2E+),?∈z.

感悟升華1.求三角函數(shù)的最小正周期，一般先通過(guò)恒等變形化為y=Asin(Gx+p)或y=

ACoS(OX+3)或y=Atan(5?+p)(4,ω98為常數(shù)，4≠0)的形式，再分別應(yīng)用公式T=襦或T

TT

=而求解.

2.三角函數(shù)型奇偶性判斷除可以借助定義外，還可以借助其圖象與性質(zhì)，對(duì)y=Asin(s?+0)

代入x=0,若y=0則為奇函數(shù)，若y為最大或最小值則為偶函數(shù).若y=Asin(5+°)為奇

TT

函數(shù)，則^=Λπ(?∈Z),若y=4sin(αυc+8)為偶函數(shù)，則3=]+E(A∈Z).

3.對(duì)于可化為Kr)=ASin(GX+p)形式的函數(shù)，如果求危)的對(duì)稱軸，只需令CoX+力=與+kπ(k

∈Z),求X即可；如果求7U)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令Gx+勿=E(Z∈Z),求X即可.

【訓(xùn)練1】⑴(2021?哈爾濱調(diào)研)已知函數(shù)段)=sin(s+9(。＞0)的最小正周期為π,則該

函數(shù)的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)停，0)對(duì)稱B.關(guān)于直線X=；對(duì)稱

C.關(guān)于點(diǎn)件0)對(duì)稱D.關(guān)于直線T對(duì)稱

(2)函數(shù)於)=∣tan川的最小正周期是.

答案(2)A(2)π

2TT

解析(1);而=兀，,∣W=2,

又切＞0,Λω=2,.,.y(x)=sin^2x+^,

?.?2XW+W=兀，二函數(shù)加)的圖象關(guān)于點(diǎn)仔，0)對(duì)稱.

(2)y=∣tanx∣的圖象是y=tanx的圖象保留X軸上方部分，并將下方的部分翻折到X軸上方得

到的，所以其最小正周期為兀

考點(diǎn)三三角函數(shù)的單調(diào)性多維探究

角度1求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【例2】(1)函數(shù)於)=cosG+2)α∈[0,兀])的單調(diào)遞增區(qū)間為()

2π'

B.0,T_

"2π

D.T:π

(2)已知函數(shù)#x)=2sin。-2r),則函數(shù)式用的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)

A.^+2?π,牛+2Aπj(k∈Z)

B.[—1+2E,?+2?π(?∈Z)

,7π-1

+A1π,?g^+?πJ(jt∈Z)

「π,3πI,1

D[-g+?fπ,?y+?πJ(?∈Z)

答案(I)C(2)D

JT

解析（1）由2?π-π≤x÷e≤2?π,?≡Z,

7ππ

解得2E—/W元W2E一工，?∈Z,

oo

Vx∈lO,πj,.*.^≤x≤π,

，函數(shù)/（x）在［0,兀］的單調(diào)遞增區(qū)間為?,π,故選C.

（2）函數(shù)的解析式可化為段）=-2sin（2x一胃.

TtTTJrJr?jr

由2E一5≤2χ-7W2E+5（左∈Z）,得一d+EWκWw+E（ZEZ）,即函數(shù)段）的單調(diào)遞減區(qū)

Z4/OO

Tl3TT

間為一（∈）故選

dO+E,?O~+?π?Z.D.

角度2利用單調(diào)性比較大小

【例3】已知函數(shù)式x）=2coSG+目，設(shè)a=啟）,b=j（^,C=T仔），則小b,c的大小關(guān)

系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

答案A

解析a=若）=2CoS/?=尼卜2cos^,C=To=2cos券因?yàn)閥=cosx在［0,兀］上遞減,

T13兀π5π七］、J.

又與■〈鏟逐，所以〃>">c.

角度3根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【例4］已知ω>0,函數(shù)TU）=sin（Gx+；）在e，兀）上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是

「15］

答案2,4

TT

解析由］4<兀，ω>0得

又y=sinx的單調(diào)遞減區(qū)間為2也+12?π+y],?∈Z,

[等+：冶+2E,

所以《_?∈Z,

I.π.3π.

^ωπ+^≤?+2?π,

解得4%+3z≤<υW2/:+"?≡Z.

又由軟+：—(2l+∣)wθ,k∈Z且2么+∣>0,Z∈Z,

得fc=O,所以<υ∈［∣,,.

感悟升華1.求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成y=Asin(ox+9)形式，再求

y=Asin(ftλr+°)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx+(p看作一個(gè)整體代入y=sinX的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即

可，注意要先把?；癁檎龜?shù).

2.對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)3的范圍的問(wèn)題，首先，明確已知的單調(diào)

區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集，其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的

關(guān)系可求解，另外，若是選擇題利用特值驗(yàn)證排除法求解更為簡(jiǎn)捷.

【訓(xùn)練2］⑴(202。銀川模擬)已知函數(shù)<X)=CoS(2x—W)—2sin(x+；)COS(X+；)(XeR),現(xiàn)

給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()

A.函數(shù)y(x)的最小正周期為2π

B.函數(shù)/(x)的最大值為2

C.函數(shù)於)在［一T?TWTr上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)於)的圖象向左平移自個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=sin2%

(2)若7U)=cosχ-$皿不在［一小α］是減函數(shù)，則。的最大值是()

π_πC3兀-

AWB.2C?彳D.π

答案(I)D(2)A

解析(Iyu)=COSsin2(%÷τ)=cosZrcos*+sin2xsinsin^2x÷^)—2c0s2x+

坐Sin2χ-cos2x=坐Sin2x—；CoS2x=sin(2x一5).函數(shù)於)的最小正周期T=與=π,故A不

正確；易知函數(shù)?的最大值為I,所以B不正確；當(dāng)xQ—gT,rTTr時(shí)，TTZJE≡TrJ,

令f=2χ-/顯然函數(shù)y=sinf在區(qū)間［一華，同上先減后增，所以C錯(cuò)誤；將函數(shù)兀V)的圖

象向左平移占個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)=∕(j+?)=

sin［2×(X+盍)—看］=Sin2x,故D正確.

(2)AX)=Cosx-sinΛ=√2COS^+^,

由題意得〃>0,故一〃+衿,

因?yàn)門U）=啦COS（X+彳）在［―4,是減函數(shù),

JT

—。+120,

所以，解得0<a≤J,所以α的最大值是今

課后鞏固作業(yè)分層訓(xùn)練?提升能力

A級(jí)基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.（2021?西安調(diào)研涵數(shù)y=3tan（2r+：）的定義域是（）

A,x卜WE+看fc∈Z一$?∈Z

答案C

TrTT

解析要使函數(shù)有意義，則級(jí)+#也+多攵∈z,

即x≠。兀+￡,4∈Z,

ZO

所以函數(shù)的定義域?yàn)榭趚≠%+也?∈z故選C.

2.函數(shù)y=3sin（2x*）-l圖象的一條對(duì)稱軸方程是（）

e兀

D.X=]

答案C

解析令2x—是擊+4/GZ,解得X=與+T∕eZ,當(dāng)仁0時(shí)，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸

O223

為直線*=全故選C

3.函數(shù)y=αsinx+1的最大值是3,則它的最小值是（）

D.與α有關(guān)

答案C

解析因?yàn)楹瘮?shù)y="sinx+l的最大值是3,即團(tuán)+1=3,所以⑷=2,故函數(shù)的最小值為1

一∣α∣=—1,故選C.

4.(2021?泉州模擬)已知函數(shù)兀v)=tanx,對(duì)任意x”今)。1#及)，給出下列說(shuō)法不

正確的是()

A?y(xι+π)=/(XI)

B.

C：空皿電0

X?-X2

<Xl+x2\y(^l)+A.V2)

D.22(XIX2>0)

答案D

解析對(duì)于A,由于./(x)=tanx的最小正周期為兀，所以A正確；

對(duì)于B,函數(shù)凡r)=tanx為奇函數(shù)，所以B正確；

對(duì)于C,函數(shù)段)=tanx在區(qū)間(一看m上單調(diào)遞增，滿足空心三等?0,所以C正確；

對(duì)于D,如圖函數(shù)在區(qū)間(甘，0)上有產(chǎn)要冷)產(chǎn)),在區(qū)間(0,3上有#!手可

削抖?,所以D不正確.

5.已知函數(shù)yU)=2sin(2x+°)(∣渥)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,小)，則段)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()

?(-?0)B.(吟0)

c??0)d?∣?。)

答案B

解析函數(shù)/)=2sin(2x+e)(∣9∣<3的圖象過(guò)點(diǎn)(O,√3),則7(0)=2sinp=√5,

?/?TlTi

?.sinφ-2，又∣9∣<],?,甲=勺

貝IJy(X)=2sin(2x+§,令2x+號(hào)=E(Z∈Z),

則X=竽一筋∈Z),當(dāng)Zc=O時(shí)，1=一去

一看，0)是函數(shù)於)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心?

6.(2019?全國(guó)I卷)關(guān)于函數(shù)於)=51中|+卜皿川有下述四個(gè)結(jié)論：

①Λx)是偶函數(shù)；②/(x)在區(qū)間e，π)單調(diào)遞增；③/(x)在［一π,π］有4個(gè)零點(diǎn)；④/(x)的最大

值為2.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①②@B.②④C.①④D.①③

答案C

解析Λ-?)=sin∣—x∣+∣sin(-χ)?=sin∣x∣+∣sinx?=fix),??∕U)為偶函數(shù)，故①正確；當(dāng)

JI

,<χv兀時(shí)，y(x)=sinx÷sinx=2sinx,

二小)在住，兀)單調(diào)遞減，故②不正確；於)在L兀，兀］的圖象如圖所示，由圖可知函數(shù)於)

在［―兀，π］只有3個(gè)零點(diǎn)，故③不正確；?.?y=sin∣x∣與y=∣sinx∣的最大值都為1且可以同時(shí)

取到，.?∕U)可以取到最大值2,故④正確.綜上，正確結(jié)論的編號(hào)是①?.

二、填空題

7.函數(shù)y=cos(j—2%)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

答案［fat+］E+引(A∈Z)

解析由j=eos(?-2x?=cosf2x—7).

得2?πW2χ-jW2Aτt+π(keZ),

TT5兀

解得?π+?≤x≤?π÷^^^(?∈Z),

OO

πSJT

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為1E+全?π+yJ(?∈Z).

8.已知函數(shù)yU)=2sin((uχ-京)+1(XWR)的圖象的"—條對(duì)稱軸為X=兀，其中。為常數(shù)，且(υ

∈(1,2),則函數(shù)y(x)的最小正周期為.

答案f

解析由函數(shù)於)=2sin(ωχ-*)+IaWR)的圖象的一條對(duì)稱軸為X=Tt,可得ωπ~^-kπ+^,

?∈Z,

25

.,.ω-k+^j,又(yG(l,2),/.ω=7,

函數(shù)段)的最小正周期為學(xué)喈

3

9.(2020.全國(guó)川卷)關(guān)于函數(shù)HX)=Sinx+看有如下四個(gè)命題：

①/U)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱；

②/(X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

③/(X)的圖象關(guān)于直線X=和稱：

◎(X)的最小值為2.

其中所有真命題的序號(hào)是.

答案②③

解析?.?∕(x)=SinX的定義域?yàn)閧xlXWht,Z∈Z},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又火-x)=sin(-x)

+sJm(-X)=

—/U),而大一工)≠y(%),

.?√u)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，①是假命題，②是真命題.

對(duì)于③，要證兀r)的圖象關(guān)于直線X=方對(duì)稱，只需證《一，=/e+，，

?.若r)=cosx+熹,戲+J=cosx+熹,

.?..怎一X)=.既+x),.?√(x)的圖象關(guān)于直線X=，對(duì)稱，③是真命題.

令sinx—t,—1WtW1且f≠0,

Λg(r)=∕+∣,一lWf≤l且rrθ,此函數(shù)圖象如圖所示(對(duì)勾函數(shù)圖象的一部分),

二函數(shù)的值域?yàn)?-8,-2]U[2,+∞),

.?.函數(shù)的最小值不為2,即KX）的最小值不為2.

二④是假命題.

綜上所述，所有真命題的序號(hào)是②③.

Ξ^解答題

10.已知函數(shù)y（x）="sinxcosχ-b（cos2χ-si??）（XeR,a,b為常數(shù)），且啟

-4-

⑴求?r）的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵當(dāng)x∈[j,同時(shí)，求函數(shù)?。┑淖畲笾蹬c最小值.

解（1）由題意得y（x）=%sin2%—bcos2x,

由履=坐熠T

ITTTTT

令2E-g≤2?π+/,?∈Z,

π5兀

得航一五WXWE+五，?∈Z,

.?√(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［?π一言，E+雪/∈Z).

(2)由(1)得兀r)=；sin(2x一§,

I兀7*??兀/目5兀7<c兀),71

由_a≤XWa仔—不W2χ-］W不

—1≤sin^2χ-

.?.-l≤lsin(2x-f)≤l,

故./U)在一彳，彳］上的最大值為9，最小值為一；.

11.己知。>0,函數(shù)Kr)=-24sin(2x+*)+24+b,當(dāng)元∈0,5時(shí)，—5Wy(X)WL

⑴求常數(shù)小<的值;

⑵求人r）的單調(diào)區(qū)間.

.,Γπ-∣,π{τt7π

解Τ(l)?."∈[θΛ,2J..??2X+4∈[D,y

-2。Sinl≡[-2a9a].

?g)∈g,3α+b],

?b=-5,

又一5≤"r)Wi,.?.

[3a+h=1,

[〃=2,

解得八＜

[b=-5.

(2)/(X)=-4sin(2x+力1,

TTTrTr

由一7+2E≤2X+N≤5+2E得

ZoZ

TtTt

—τ÷?π≤x≤7+?π,?∈Z.

πTr3

由g+2EW2x+jW5兀+2Λπ得

Tt2

e÷?π≤x≤^π÷?π,fc∈Z.

「兀21

.?√U)的單調(diào)遞增區(qū)間為g+?π,-jπ+laι(?∈Z),

TTTT

單調(diào)遞減區(qū)間為一1+Aπ,(AGZ).

B級(jí)能力提升

12.(2021?全國(guó)大聯(lián)考)己知函數(shù)<X)=ASin((υx+p)(其中A>O,3>0，刷<枷勺圖象離原點(diǎn)最

近的對(duì)稱軸