第01講 5.1任意角和弧度制（解析版）

第01講5.1任意角和弧度制課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念。②掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法。③了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。④由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見特殊角對應(yīng)的弧度數(shù)。⑤掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式，能用公式進(jìn)行簡單的弧長及面積運算。1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；2掌握弧度制與角度制的互化，；3.記住特殊角的弧度制；4.掌握與弧度制相關(guān)的弧長公式和面積公式的運用；知識點01：任意角1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形2、角的分類①正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.②負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角.3、角的運算設(shè)，是任意兩個角，為角的相反角．(1)：把角的終邊旋轉(zhuǎn)角.（時,旋轉(zhuǎn)量為,按逆時針方向旋轉(zhuǎn);時,旋轉(zhuǎn)量為,按順時針方向旋轉(zhuǎn)）(2)：【即學(xué)即練1】（2023秋·高一課時練習(xí)）若角α＝30°，把角α逆時針旋轉(zhuǎn)20°得到角β，則β＝.【答案】50°【詳解】因為由逆時針旋轉(zhuǎn)得到，所以.故答案為：知識點02：象限角1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知識點03：軸線角1、定義：軸線角是指以原點為頂點，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.2、軸線角的表示：①終邊落在軸非負(fù)半軸②終邊落在軸非負(fù)半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標(biāo)軸知識點04：終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【即學(xué)即練2】（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊重合的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】與角終邊重合的角為：，則當(dāng)時，，故C正確.經(jīng)檢驗，其他選項都不正確.故選：C.知識點05：角度制與弧度制的概念1、弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，3、常用的角度與弧度對應(yīng)表角度制弧制度【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一課堂例題）利用單位圓，寫出，，，的圓心角的弧度數(shù)．【答案】；；；【詳解】在單位圓中，的圓心角的弧長是，那么它對應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角的弧長是，那么它對應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角對應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角對應(yīng)的弧度數(shù)是．知識點06：扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.【即學(xué)即練4】（2023秋·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為9，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以該扇形的面積為．故選：A題型01任意角的概念【典例1】（多選）（2023春·高一課時練習(xí)）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學(xué)們在學(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對鐘表的運行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時針與分針視為兩條線段，則下列說法正確的是（

）A．小趙同學(xué)說：“經(jīng)過了5h，時針轉(zhuǎn)了．”B．小錢同學(xué)說：“經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說：“當(dāng)時鐘顯示的時刻為12:35時，時針與分針?biāo)鶌A的鈍角為．”D．小李同學(xué)說：“時鐘的時針與分針一天之內(nèi)會重合22次．”【答案】ACD【詳解】解：經(jīng)過了5h，時針轉(zhuǎn)過的角度對應(yīng)的弧度數(shù)為，故A正確．經(jīng)過了40min，分針轉(zhuǎn)過的角度對應(yīng)的弧度數(shù)為，故B錯誤．時鐘顯示的時刻為12:35，該時刻的時針與分針?biāo)鶌A的鈍角為，故C正確．分針比時針多走一圈便會重合一次，設(shè)分針走了tmin，第n次和時針重合，則，得，故，故D正確．故選：ACD【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）親愛的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時間是2小時，則從考試開始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.【答案】【詳解】因為鐘表的分針轉(zhuǎn)了兩圈，且是按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所以鐘表的分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故答案為：.【變式1】（2023秋·高一課時練習(xí)）經(jīng)過2個小時，鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【答案】B【詳解】鐘表的時針和分針都是順時針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過的角度都是負(fù)的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是－60°，－720°.故選：B【變式2】（2023秋·高一課時練習(xí)）時鐘走了3小時20分，則時針?biāo)D(zhuǎn)過的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)為．【答案】【詳解】因為時針每小時轉(zhuǎn)，分針每小時轉(zhuǎn)，又因為時針、分針都按順時針方向旋轉(zhuǎn)，故時針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過的角度數(shù)為．故答案為：；題型02終邊相同的角【典例1】（2023春·廣西北海·高一統(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于B，因為，所以角與角的終邊相同，B正確；對于A，因為不是的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，A錯誤；對于C，因為不是的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，C錯誤；對于D，因為不是的整數(shù)倍，所以它們的終邊不同，D錯誤.故選：B.【典例2】（多選）（2023·全國·高一課堂例題）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】與終邊相同的角可寫為：，，，，與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.故選：AC.【變式1】（2023春·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）下列角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，與角的終邊關(guān)于軸對稱的角為當(dāng)時，，正確.經(jīng)驗證，其他三項均不符合要求.故選：.【變式2】（2023春·高一課時練習(xí)）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α與120°角終邊相同，則α=．【答案】﹣960°．【詳解】試題分析：α與120°角終邊相同，可表示為α=k?360°+120°，k∈Z，結(jié)合角的范圍，可得結(jié)論．解：α與120°角終邊相同，∴α=k?360°+120°，k∈Z．∵﹣990°＜k?360°+120°＜﹣630°，∴﹣1110°＜k?360°＜﹣750°．又k∈Z，∴k=﹣3，此時α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．故答案為﹣960°．題型03終邊在某條直線上的角的集合【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊在函數(shù)的圖象上，試寫出角的集合為．【答案】【詳解】解：函數(shù)的圖象是第二、四象限的平分線，在～范圍內(nèi)，以第二象限射線為終邊的角為，以第四象限射線為終邊的角為，∴的集合為或．故答案為：．【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【答案】答案見解析【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個，即0°和180°，又所有與0°角終邊相同的角的集合為，所有與180°角終邊相同的角的集合為，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為．（2）由圖形易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為．（3）結(jié)合（2）知所求角的集合為同理可得終邊在直線y＝x、y=-x上的角的集合為，．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角α的頂點為坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是【答案】【詳解】直線的傾斜角是，所以終邊落在直線上的角的取值集合為故答案為：【變式2】（2023春·高一課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中寫出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負(fù)半軸上；(2)終邊在上．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角有一個，它是0°，所以終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為.（2）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y=x(x≥0)上的角有一個，它是45°，所以終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為.題型04區(qū)域角【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【答案】圖1；圖2【詳解】（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．（2）與（1）類似可寫出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．【典例2】（2023秋·高一課時練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)(2)【詳解】（1）在范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當(dāng)時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時，，此時表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．【變式2】（2023秋·高一課時練習(xí)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．【答案】【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角的取值范圍是，所以角的取值范圍是，故答案為：【變式3】（2023春·河南駐馬店·高一?？茧A段練習(xí)）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）；（2）.題型05確定角的終邊所在的象限【典例1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【詳解】因為為第二象限角，則，所以，，①當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則，即，此時為第三象限角；②當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則，此時為第一象限角.綜上所述，為第一或第三象限角.故選：D.【典例2】（多選）（2023春·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【詳解】是第三象限的角，則，，所以，；當(dāng)，，在第一象限；當(dāng)，，在第三象限；當(dāng)，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故選：ACD【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】因為角第二象限角，所以，所以，當(dāng)是偶數(shù)時，設(shè)，則，此時為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時，設(shè)，則，此時為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因為，所以，所以為第三象限角．故選：C．【變式1】（2023春·江西撫州·高一資溪縣第一中學(xué)校考期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【詳解】因為是第一象限角，所以，，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時，是第三象限角，綜上所述，第一、三象限角.故選：B.【變式2】（2023·高一課時練習(xí)）若是第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【答案】D【詳解】因為為第三象限角,即,所以,,當(dāng)為奇數(shù)時,是第四象限的角;當(dāng)為偶數(shù)時,是第二象限的角.故選:D.【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【詳解】因為是第二象限角，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．又由，當(dāng)時，，此時是第一象限角；當(dāng)時，，此時是第二象限角；當(dāng)時，，此時是第四象限角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．題型06弧度制的概念【典例1】（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）自行車的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時針轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，當(dāng)大鏈輪逆時針轉(zhuǎn)過一周時，小鏈輪逆時針轉(zhuǎn)過周，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度是.故選B.【典例2】（2023春·高一課時練習(xí)）下列說法正確的是（）A．弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【詳解】對于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯誤；對于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯誤；對于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯誤．考點：弧度制的概念.【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列與終邊相同角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為角度值和弧度制不能混用，故A、B錯誤；因為，故C正確；對于選項D：因為，則與終邊不相同，故D錯誤；故選：C.【變式2】（2023秋·高一課時練習(xí)）若，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由于，故角的終邊在第一象限，故選：A題型07角度與弧度的互化【典例1】（多選）（2023·全國·高一課堂例題）下列各角中，與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】對于A，，，故A正確；對于B，與終邊相同的角為，，當(dāng)時，，故B正確；對于C，令，解得，故C錯誤；對于D，令，解得，故D錯誤．故選：AB.【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）．【變式1】（2023秋·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谀┰O(shè)r為圓的半徑，弧長為的圓弧所對的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由弧長、圓心角、半徑的關(guān)系：，弧長為的圓弧所對的圓心角：.故選：A.【變式2】（2023秋·天津武清·高三校考階段練習(xí)）化為角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B題型08用弧度表示角或范圍【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）寫出一個與角終邊相同的正角：（用弧度數(shù)表示）.【答案】（答案不唯一，符合，即可）【詳解】與角終邊相同的角：又題目要求正角，可取，化為弧度數(shù)為.答案不唯一故答案為：（答案不唯一，符合，即可）【典例2】（2023春·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．【答案】(1)，是第四象限角；(2)或.【詳解】（1）因為,，所以.因為，所以是第四象限角.（2），所以與終邊相同的角可表示為,令，解得，所以.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以或.【變式1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）將－1485°化成的形式是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，，，所以－1485°可化成．故選：D．【變式2】（2023秋·江西宜春·高二校考開學(xué)考試）已知角.(1)將改寫成的形式，并指出是第幾象限的角；(2)在區(qū)間上找出與終邊相同的角．【答案】(1)，第二象限角(2)和【詳解】（1），因為為第二象限，所以是第二象限角；（2）與終邊相同的角可以寫出，由，得當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上與終邊相同的角為和．題型09弧長公式【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）若扇形的面積是，它的周長是，則扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，由題意，得，由得，，代入，得，解得或（舍去）．故扇形圓心角的弧度數(shù)為．故選：A【典例2】（2023秋·江西撫州·高二江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長為.【答案】【詳解】因為，又扇形的圓心角為，半徑為，所以它的弧長為，故答案為：【變式1】（2023秋·湖南常德·高二常德市一中校考開學(xué)考試）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)扇形的弧長為，由扇形的面積公式可得，，即，所以，則扇形的周長為.故選：C【變式2】（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長為.【答案】【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由題意可得，解得，所以扇形的周長為.故答案為：.題型10扇形面積公式【典例1】（2023秋·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習(xí)）圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為.【答案】1【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，又，所以，，扇形的面積.故答案為：1.【典例2】（2023春·上海松江·高一統(tǒng)考期中）建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，則此扇環(huán)形磚雕的面積為．

【答案】【詳解】設(shè)圓心角為，則，所以，解得，所以，所以此扇環(huán)形磚雕的面積為.故答案為：【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？茧A段練習(xí)）已知扇形弧長為，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，因為扇形弧長為，圓心角為，可得，可得，由扇形的面積公式，可得.故選：B.【變式2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現(xiàn)形式.某班級想用布料制作一面如圖所示的扇面，已知扇面展開的中心角為，外圓半徑為40cm，內(nèi)圓半徑為20cm，那么制作這樣一面扇面至少需要用布料為cm2

【答案】400π【詳解】解：根據(jù)題意，由扇形的面積公式可得：制作這樣一面扇面需要的布料為.故答案為：400π題型11扇形中的最值問題【典例1】（2023秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）已知一個扇形的周長為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時，圓心角大小為（

）A． B． C． D．2【答案】D【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，由已知得，扇形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，則圓心角，故選：D.【典例2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長為l．(1)若，，求扇形的弧長l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角．【答案】(1)(2)扇形周長的最小值為，此時【詳解】（1）因為，，所以扇形的弧長；（2）由扇形面積，得，則扇形周長為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，此時，，所以，所以扇形周長的最小值為，此時.【典例3】（2023·高一課時練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為.（1）若，求扇形的弧長.（2）若扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）；（2），扇形的面積取得最大值25.【詳解】解：（1），.（2）由已知得，，所以，所以當(dāng)時，取得最大值25，此時，.【變式1】（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)校考開學(xué)考試）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為(1)若，，求扇形的弧長(2)若扇形的周長為，當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大并求出最大面積．【答案】(1)(2)當(dāng)時，扇形的面積最大，最大面積是．【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長為．，即，.（2）由題設(shè)條件知，,因此扇形的面積當(dāng)時，有最大值，此時,當(dāng)時，扇形的面積最大，最大面積是．【變式1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長．(2)若扇形的周長為24，當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長為l．因為，即，所以．（2）由題設(shè)條件，知，則，所以扇形的面積．當(dāng)時，S有最大值36，此時，所以當(dāng)時，扇形的面積最大，最大面積是36．【變式1】（2023春·湖南衡陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.（1）若，，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大?【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長為l，弓形面積為S，則，，，.（2）設(shè)扇形弧長為l，則，即，∴扇形面積，∴當(dāng)時，S有最大值，此時，.因此當(dāng)時，這個扇形面積最大.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)校考開學(xué)考試）下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【詳解】銳角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正確；選項B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差整數(shù)倍，故錯誤；選項C．小于的角不一定在第一象限，也可以為負(fù)角，故錯誤；選項D．根據(jù)任意角的定義，第二象限角可以為負(fù)角，第一象限角可以為正角，此時第二象限角小于第一象限角，故錯誤.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）把表示成的形式，則θ的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，故選：B．3．（2023春·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知角的集合，則在內(nèi)的角有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【詳解】依題意，解不等式，得，而，因此，所以在內(nèi)的角有3個.故選：B4．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為1cm）的圓周上爬動，且兩只螞蟻均從點同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】

如圖所示，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)B處，黑螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)C處，此時，即為正三角形，故.故選：A5．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中?？计谀┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故選：A6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）某圓臺的側(cè)面展開圖為如圖所示的扇環(huán)（實線部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】由該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，可得，解得，即扇環(huán)的圓心角的大小為.故選：D.7．（2023春·江西撫州·高一校聯(lián)考期中）扇面書畫在中國傳統(tǒng)繪畫中由來已久，最早關(guān)于扇面書畫的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發(fā)展到明清時期，折扇扇面畫開始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫的外弧長為48，內(nèi)弧長為28，且該扇面所在扇形的圓心角約為120°，則該扇面畫的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．990 B．495 C．380 D．300【答案】C【詳解】如圖，

設(shè)該扇面畫的外弧所在圓的半徑為R，弧長為，內(nèi)弧所在圓的半徑為r，弧長為，則，，，，所以扇面畫的面積約為.故選：C.8．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）玉雕在我國歷史悠久，玉雕是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產(chǎn)成的玉雕工藝.某扇環(huán)形玉雕（扇環(huán)是一個圓環(huán)被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，設(shè)，，由弧長公式可得，解得，，設(shè)扇形，扇形的面積分別為，，則該壁畫的扇面面積約為．故選：A二、多選題9．（2023春·遼寧鞍山·高一校考期末）若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，且，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】因為角的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對稱，所以，，又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.故選：AD.10．（2023秋·山東臨沂·高一校考期末）已知為第四象限角，則可能為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BCD【詳解】由題意知為第四象限角，則,則，當(dāng)時，，為第四象限角，當(dāng)時，，為第二象限角，當(dāng)時，，為第三象限角，即可能為第二、三、四象限角，不可能為第一象限角，故選：三、填空題11．（2023春·上海奉賢·高一校考期中）已知半徑為的扇形的圓心角為，則扇形的面積為．【答案】【詳解】因為半徑扇形的圓心角為，則圓心角，所以弧長，面積.故答案為：.12．（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，半徑為1的圓M與直線l相切于點A，圓M沿著直線l滾動．當(dāng)圓M滾動到圓時，圓與直線l相切于點B，點A運動到點，線段AB的長度為，則點到直線的距離為．【答案】/【詳解】根據(jù)條件可知圓周長為，∵，故可得圓旋轉(zhuǎn)了圓周，位置如圖：則，則是等腰直角三角形，則到的距離，故答案為：．四、解答題13．（2023·全國·高一課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個，即和，因此，終邊在直線上的角的集合為；（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為，終邊在直線上的角的集合為，所以終邊在直線上和在直線上的角的集合為.14．（2023春·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，周長為，面積為，弧長為,所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長；(2)若，，求扇形的半徑和圓心角．【答案】(1)(2)扇形半徑為4，圓心角為【詳解】（1）由已知得；（2）由已知得，解得，即扇形的半徑為4，圓心角為.B能力提升1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測得立桿與太陽光線所成的角約為.他又派人測得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（

）（）A．km B．km C．km D．km【答案】C【詳解】設(shè)地心為，依題意可得，，，設(shè)地球的周長為，半徑為，則，所以km.故選：C2．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形，再分別以點為圓心，線段長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為，則其面積是（

）A． B．