第01講 5.1任意角和弧度制（解析版）

第01講5.1任意角和弧度制課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解并掌握正角、負(fù)角、零角的概念。②掌握象限角的范圍，掌握終邊相同的角的表示方法及判定方法。③了解弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。④由圓周角找出弧度制與角度制的聯(lián)系，記住常見(jiàn)特殊角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)。⑤掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式，能用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的弧長(zhǎng)及面積運(yùn)算。1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握任意角的概念，并能用集合的形式表示任意角；2掌握弧度制與角度制的互化，；3.記住特殊角的弧度制；4.掌握與弧度制相關(guān)的弧長(zhǎng)公式和面積公式的運(yùn)用；知識(shí)點(diǎn)01：任意角1、角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形2、角的分類(lèi)①正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.②負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角.③零角:如果一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.3、角的運(yùn)算設(shè)，是任意兩個(gè)角，為角的相反角．(1)：把角的終邊旋轉(zhuǎn)角.（時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);時(shí),旋轉(zhuǎn)量為,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）(2)：【即學(xué)即練1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若角α＝30°，把角α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°得到角β，則β＝.【答案】50°【詳解】因?yàn)橛赡鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，所以.故答案為：知識(shí)點(diǎn)02：象限角1、定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.2、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或知識(shí)點(diǎn)03：軸線角1、定義：軸線角是指以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為始邊，終邊落在坐標(biāo)軸上的角.2、軸線角的表示：①終邊落在軸非負(fù)半軸②終邊落在軸非負(fù)半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標(biāo)軸知識(shí)點(diǎn)04：終邊相同的角的集合所有與角終邊相同的角為【即學(xué)即練2】（2023秋·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊重合的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】與角終邊重合的角為：，則當(dāng)時(shí)，，故C正確.經(jīng)檢驗(yàn)，其他選項(xiàng)都不正確.故選：C.知識(shí)點(diǎn)05：角度制與弧度制的概念1、弧度制長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫(xiě)).2、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，3、常用的角度與弧度對(duì)應(yīng)表角度制弧制度【即學(xué)即練3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）利用單位圓，寫(xiě)出，，，的圓心角的弧度數(shù)．【答案】；；；【詳解】在單位圓中，的圓心角的弧長(zhǎng)是，那么它對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角的弧長(zhǎng)是，那么它對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是；的圓心角對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)是．知識(shí)點(diǎn)06：扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.【即學(xué)即練4】（2023秋·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，半徑為9，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋栽撋刃蔚拿娣e為．故選：A題型01任意角的概念【典例1】（多選）（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）鐘表在我們的生活中隨處可見(jiàn)，高一某班的同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了“任意角和弧度制”后，對(duì)鐘表的運(yùn)行產(chǎn)生了濃厚的興趣，并展開(kāi)了激烈的討論，若將時(shí)針與分針視為兩條線段，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．小趙同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)了．”B．小錢(qián)同學(xué)說(shuō)：“經(jīng)過(guò)了40min，分針轉(zhuǎn)了．”C．小孫同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為．”D．小李同學(xué)說(shuō)：“時(shí)鐘的時(shí)針與分針一天之內(nèi)會(huì)重合22次．”【答案】ACD【詳解】解：經(jīng)過(guò)了5h，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)為，故A正確．經(jīng)過(guò)了40min，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)為，故B錯(cuò)誤．時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為12:35，該時(shí)刻的時(shí)針與分針?biāo)鶌A的鈍角為，故C正確．分針比時(shí)針多走一圈便會(huì)重合一次，設(shè)分針走了tmin，第n次和時(shí)針重合，則，得，故，故D正確．故選：ACD【典例2】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）親愛(ài)的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開(kāi)始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.【答案】【詳解】因?yàn)殓姳淼姆轴樲D(zhuǎn)了兩圈，且是按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所以鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.故答案為：.【變式1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過(guò)2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是（

）.A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°【答案】B【詳解】鐘表的時(shí)針和分針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，因此轉(zhuǎn)過(guò)的角度都是負(fù)的，而×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別是－60°，－720°.故選：B【變式2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）時(shí)鐘走了3小時(shí)20分，則時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為．【答案】【詳解】因?yàn)闀r(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)，分針每小時(shí)轉(zhuǎn)，又因?yàn)闀r(shí)針、分針都按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，故時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)為，分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)為．故答案為：；題型02終邊相同的角【典例1】（2023春·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）下列各角中，與角終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于B，因?yàn)?，所以角與角的終邊相同，B正確；對(duì)于A，因?yàn)椴皇堑恼麛?shù)倍，所以它們的終邊不同，A錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椴皇堑恼麛?shù)倍，所以它們的終邊不同，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椴皇堑恼麛?shù)倍，所以它們的終邊不同，D錯(cuò)誤.故選：B.【典例2】（多選）（2023·全國(guó)·高一課堂例題）與角終邊相同的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】與終邊相同的角可寫(xiě)為：，，，，與角終邊相同的角的集合為：，A正確；，C正確.故選：AC.【變式1】（2023春·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）下列角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的角為當(dāng)時(shí)，，正確.經(jīng)驗(yàn)證，其他三項(xiàng)均不符合要求.故選：.【變式2】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且α與120°角終邊相同，則α=．【答案】﹣960°．【詳解】試題分析：α與120°角終邊相同，可表示為α=k?360°+120°，k∈Z，結(jié)合角的范圍，可得結(jié)論．解：α與120°角終邊相同，∴α=k?360°+120°，k∈Z．∵﹣990°＜k?360°+120°＜﹣630°，∴﹣1110°＜k?360°＜﹣750°．又k∈Z，∴k=﹣3，此時(shí)α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．故答案為﹣960°．題型03終邊在某條直線上的角的集合【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若角的終邊在函數(shù)的圖象上，試寫(xiě)出角的集合為．【答案】【詳解】解：函數(shù)的圖象是第二、四象限的平分線，在～范圍內(nèi)，以第二象限射線為終邊的角為，以第四象限射線為終邊的角為，∴的集合為或．故答案為：．【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）寫(xiě)出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．

【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個(gè)，即0°和180°，又所有與0°角終邊相同的角的集合為，所有與180°角終邊相同的角的集合為，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為．（2）由圖形易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個(gè)，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為．（3）結(jié)合（2）知所求角的集合為同理可得終邊在直線y＝x、y=-x上的角的集合為，．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是【答案】【詳解】直線的傾斜角是，所以終邊落在直線上的角的取值集合為故答案為：【變式2】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)出下列角的集合：(1)終邊在軸的非負(fù)半軸上；(2)終邊在上．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角有一個(gè)，它是0°，所以終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為.（2）在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y=x(x≥0)上的角有一個(gè)，它是45°，所以終邊在y=x(x≥0)上的角的集合為.題型04區(qū)域角【典例1】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無(wú)特別說(shuō)明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）

【答案】圖1；圖2【詳解】（1）角的終邊可以看作是角的終邊，化為弧度，即，角的終邊即的終邊，所以終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．（2）與（1）類(lèi)似可寫(xiě)出終邊落在陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合為．【典例2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)(2)【詳解】（1）在范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對(duì)應(yīng)的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對(duì)應(yīng)的角為，因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為，因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．【變式2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．【答案】【詳解】終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，終邊在角的終邊所在直線上的角的集合為，因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角的取值范圍是，所以角的取值范圍是，故答案為：【變式3】（2023春·河南駐馬店·高一?？茧A段練習(xí)）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）；（2）.題型05確定角的終邊所在的象限【典例1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿牵瑒t，所以，，①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，即，此時(shí)為第三象限角；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角.綜上所述，為第一或第三象限角.故選：D.【典例2】（多選）（2023春·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪個(gè)象限的角（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【詳解】是第三象限的角，則，，所以，；當(dāng)，，在第一象限；當(dāng)，，在第三象限；當(dāng)，，在第四象限；所以可以是第一、第三、或第四象限角．故選：ACD【典例3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【詳解】因?yàn)榻堑诙笙藿?，所以，所以，?dāng)是偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?，所以，所以為第三象限角．故選：C．【變式1】（2023春·江西撫州·高一資溪縣第一中學(xué)校考期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【詳解】因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵?，，所以，，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，綜上所述，第一、三象限角.故選：B.【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若是第三象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．【答案】D【詳解】因?yàn)闉榈谌笙藿?即,所以,,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),是第四象限的角;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),是第二象限的角.故選:D.【變式3】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【答案】可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，可得，所以可能是第三象限角、第四象限角或終邊在軸非正半軸上的角．又由，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第一象限角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第二象限角；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是第四象限角．綜上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．題型06弧度制的概念【典例1】（2023春·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）自行車(chē)的大鏈輪有88齒，小鏈輪有20齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)一周時(shí)，小鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)周，小鏈輪轉(zhuǎn)過(guò)的弧度是.故選B.【典例2】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）A．弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑B．大圓中弧度的圓心角比小圓中弧度的圓心角大C．所有圓心角為弧度的角所對(duì)的弧長(zhǎng)都相等D．用弧度表示的角都是正角【答案】A【詳解】對(duì)于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)等于半徑”，故A正確；對(duì)于B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是不等的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯(cuò)誤．考點(diǎn)：弧度制的概念.【變式1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）下列與終邊相同角的集合中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榻嵌戎岛突《戎撇荒芑煊?，故A、B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，則與終邊不相同，故D錯(cuò)誤；故選：C.【變式2】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）若，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】由于，故角的終邊在第一象限，故選：A題型07角度與弧度的互化【典例1】（多選）（2023·全國(guó)·高一課堂例題）下列各角中，與角終邊相同的角為（

）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，與終邊相同的角為，，當(dāng)時(shí)，，故B正確；對(duì)于C，令，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，解得，故D錯(cuò)誤．故選：AB.【典例2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）把下列各角從度化為弧度：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）；（2）．【變式1】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）設(shè)r為圓的半徑，弧長(zhǎng)為的圓弧所對(duì)的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由弧長(zhǎng)、圓心角、半徑的關(guān)系：，弧長(zhǎng)為的圓弧所對(duì)的圓心角：.故選：A.【變式2】（2023秋·天津武清·高三?？茧A段練習(xí)）化為角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B題型08用弧度表示角或范圍【典例1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)與角終邊相同的正角：（用弧度數(shù)表示）.【答案】（答案不唯一，符合，即可）【詳解】與角終邊相同的角：又題目要求正角，可取，化為弧度數(shù)為.答案不唯一故答案為：（答案不唯一，符合，即可）【典例2】（2023春·江西贛州·高一校聯(lián)考期中）已知.(1)將寫(xiě)成的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求與終邊相同的角，滿足．【答案】(1)，是第四象限角；(2)或.【詳解】（1）因?yàn)?，所以.因?yàn)椋允堑谒南笙藿?（2），所以與終邊相同的角可表示為,令，解得，所以.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以或.【變式1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）將－1485°化成的形式是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?，，所以?485°可化成．故選：D．【變式2】（2023秋·江西宜春·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知角.(1)將改寫(xiě)成的形式，并指出是第幾象限的角；(2)在區(qū)間上找出與終邊相同的角．【答案】(1)，第二象限角(2)和【詳解】（1），因?yàn)闉榈诙笙?，所以是第二象限角；?）與終邊相同的角可以寫(xiě)出，由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上與終邊相同的角為和．題型09弧長(zhǎng)公式【典例1】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）若扇形的面積是，它的周長(zhǎng)是，則扇形圓心角（正角）的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，由題意，得，由得，，代入，得，解得或（舍去）．故扇形圓心角的弧度數(shù)為．故選：A【典例2】（2023秋·江西撫州·高二江西省樂(lè)安縣第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）若扇形的圓心角為，半徑.則它的弧長(zhǎng)為.【答案】【詳解】因?yàn)?，又扇形的圓心角為，半徑為，所以它的弧長(zhǎng)為，故答案為：【變式1】（2023秋·湖南常德·高二常德市一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知扇形面積，半徑是1，則扇形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，由扇形的面積公式可得，，即，所以，則扇形的周長(zhǎng)為.故選：C【變式2】（2023春·江西吉安·高一校聯(lián)考期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的周長(zhǎng)為.【答案】【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由題意可得，解得，所以扇形的周長(zhǎng)為.故答案為：.題型10扇形面積公式【典例1】（2023秋·山西晉中·高三介休一中?？茧A段練習(xí)）圓心角為2的扇形的周長(zhǎng)為4，則此扇形的面積為.【答案】1【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，又，所以，，扇形的面積.故答案為：1.【典例2】（2023春·上海松江·高一統(tǒng)考期中）建于明朝的杜氏雕花樓被譽(yù)為“松江最美的一座樓”，該建筑內(nèi)有很多精美的磚雕，磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚墻精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書(shū)卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，則此扇環(huán)形磚雕的面積為．

【答案】【詳解】設(shè)圓心角為，則，所以，解得，所以，所以此扇環(huán)形磚雕的面積為.故答案為：【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？茧A段練習(xí)）已知扇形弧長(zhǎng)為，圓心角為2，則該扇形面積為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，因?yàn)樯刃位￠L(zhǎng)為，圓心角為，可得，可得，由扇形的面積公式，可得.故選：B.【變式2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）工藝扇面是中國(guó)書(shū)畫(huà)的一種常見(jiàn)表現(xiàn)形式.某班級(jí)想用布料制作一面如圖所示的扇面，已知扇面展開(kāi)的中心角為，外圓半徑為40cm，內(nèi)圓半徑為20cm，那么制作這樣一面扇面至少需要用布料為cm2

【答案】400π【詳解】解：根據(jù)題意，由扇形的面積公式可得：制作這樣一面扇面需要的布料為.故答案為：400π題型11扇形中的最值問(wèn)題【典例1】（2023秋·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時(shí)，圓心角大小為（

）A． B． C． D．2【答案】D【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，由已知得，扇形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，則圓心角，故選：D.【典例2】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為l．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)l；(2)若扇形面積為16，求扇形周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)扇形的圓心角．【答案】(1)(2)扇形周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以扇形的弧長(zhǎng)；（2）由扇形面積，得，則扇形周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)，，所以，所以扇形周長(zhǎng)的最小值為，此時(shí).【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為.（1）若，求扇形的弧長(zhǎng).（2）若扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）；（2），扇形的面積取得最大值25.【詳解】解：（1），.（2）由已知得，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值25，此時(shí)，.【變式1】（2023春·寧夏銀川·高一寧夏育才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)(2)若扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大并求出最大面積．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是．【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為．，即，.（2）由題設(shè)條件知，,因此扇形的面積當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí),當(dāng)時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是．【變式1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．(1)若，求扇形的弧長(zhǎng)．(2)若扇形的周長(zhǎng)為24，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？求出最大面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l．因?yàn)?，即，所以．?）由題設(shè)條件，知，則，所以扇形的面積．當(dāng)時(shí)，S有最大值36，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，扇形的面積最大，最大面積是36．【變式1】（2023春·湖南衡陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.（1）若，，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大?【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S，則，，，.（2）設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l，則，即，∴扇形面積，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，此時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，這個(gè)扇形面積最大.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬(wàn)安中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角【答案】A【詳解】銳角是指大于小于的角，故其在第一象限，即A正確；選項(xiàng)B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差整數(shù)倍，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C．小于的角不一定在第一象限，也可以為負(fù)角，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D．根據(jù)任意角的定義，第二象限角可以為負(fù)角，第一象限角可以為正角，此時(shí)第二象限角小于第一象限角，故錯(cuò)誤.故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）把表示成的形式，則θ的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，∴，故選：B．3．（2023春·江西吉安·高一統(tǒng)考期末）已知角的集合，則在內(nèi)的角有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【詳解】依題意，解不等式，得，而，因此，所以在內(nèi)的角有3個(gè).故選：B4．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)圓（半徑為1cm）的圓周上爬動(dòng)，且兩只螞蟻均從點(diǎn)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【詳解】

如圖所示，紅螞蟻以的速度爬行，黑螞蟻以的速度爬行，則2秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)B處，黑螞蟻繞圓的角度為，到達(dá)C處，此時(shí)，即為正三角形，故.故選：A5．（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）某圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖為如圖所示的扇環(huán)（實(shí)線部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，則扇環(huán)的圓心角的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】由該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為1和2，可得，解得，即扇環(huán)的圓心角的大小為.故選：D.7．（2023春·江西撫州·高一校聯(lián)考期中）扇面書(shū)畫(huà)在中國(guó)傳統(tǒng)繪畫(huà)中由來(lái)已久，最早關(guān)于扇面書(shū)畫(huà)的文獻(xiàn)記載，是《王羲之書(shū)六角扇》.扇面書(shū)畫(huà)發(fā)展到明清時(shí)期，折扇扇面畫(huà)開(kāi)始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫(huà)的外弧長(zhǎng)為48，內(nèi)弧長(zhǎng)為28，且該扇面所在扇形的圓心角約為120°，則該扇面畫(huà)的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．990 B．495 C．380 D．300【答案】C【詳解】如圖，

設(shè)該扇面畫(huà)的外弧所在圓的半徑為R，弧長(zhǎng)為，內(nèi)弧所在圓的半徑為r，弧長(zhǎng)為，則，，，，所以扇面畫(huà)的面積約為.故選：C.8．（2023春·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）玉雕在我國(guó)歷史悠久，玉雕是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝加工生產(chǎn)成的玉雕工藝.某扇環(huán)形玉雕（扇環(huán)是一個(gè)圓環(huán)被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，設(shè)，，由弧長(zhǎng)公式可得，解得，，設(shè)扇形，扇形的面積分別為，，則該壁畫(huà)的扇面面積約為．故選：A二、多選題9．（2023春·遼寧鞍山·高一校考期末）若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以，，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故選：AD.10．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎獮榈谒南笙藿?，則可能為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BCD【詳解】由題意知為第四象限角，則,則，當(dāng)時(shí)，，為第四象限角，當(dāng)時(shí)，，為第二象限角，當(dāng)時(shí)，，為第三象限角，即可能為第二、三、四象限角，不可能為第一象限角，故選：三、填空題11．（2023春·上海奉賢·高一?？计谥校┮阎霃綖榈纳刃蔚膱A心角為，則扇形的面積為．【答案】【詳解】因?yàn)榘霃缴刃蔚膱A心角為，則圓心角，所以弧長(zhǎng)，面積.故答案為：.12．（2023春·北京·高一北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，半徑為1的圓M與直線l相切于點(diǎn)A，圓M沿著直線l滾動(dòng)．當(dāng)圓M滾動(dòng)到圓時(shí)，圓與直線l相切于點(diǎn)B，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)度為，則點(diǎn)到直線的距離為．【答案】/【詳解】根據(jù)條件可知圓周長(zhǎng)為，∵，故可得圓旋轉(zhuǎn)了圓周，位置如圖：則，則是等腰直角三角形，則到的距離，故答案為：．四、解答題13．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）寫(xiě)出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)，即和，因此，終邊在直線上的角的集合為；（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為，終邊在直線上的角的集合為，所以終邊在直線上和在直線上的角的集合為.14．（2023春·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，周長(zhǎng)為，面積為，弧長(zhǎng)為,所在圓的半徑為．(1)若，，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若，，求扇形的半徑和圓心角．【答案】(1)(2)扇形半徑為4，圓心角為【詳解】（1）由已知得；（2）由已知得，解得，即扇形的半徑為4，圓心角為.B能力提升1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）古希臘地理學(xué)家埃拉托色尼從書(shū)中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼（現(xiàn)在的阿斯旺，在北回歸線上）記為，夏至那天正午，陽(yáng)光直射，立桿無(wú)影；同樣在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為，測(cè)得立桿與太陽(yáng)光線所成的角約為.他又派人測(cè)得，兩地的距離km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（

）（）A．km B．km C．km D．km【答案】C【詳解】設(shè)地心為，依題意可得，，，設(shè)地球的周長(zhǎng)為，半徑為，則，所以km.故選：C2．（2023春·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對(duì)稱(chēng)的美感.萊洛三角形的畫(huà)法如下：先畫(huà)等邊三角形，再分別以點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長(zhǎng)為，則其面積是（

）A． B．