中職數學拓展模塊（高教版）3.3拋物線

3.3拋物線情境導入探索新知典型例題鞏固練習歸納總結布置作業(yè)平南三橋位于廣西壯族自治區(qū),是2020

年建成的世界上最大的跨徑拱橋,多項技術填補了世界拱橋空白,成為“中國橋梁”建造的新名片.觀察下圖,橋拱的輪廓線是什么圖形？有什么特點？典型例題鞏固練習歸納總結布置作業(yè)情境導入探索新知

可以看出,拱橋的輪廓線是一條形如彩虹的曲線,人們稱之為拋物線．那么,如何畫出拋物線呢？典型例題鞏固練習歸納總結布置作業(yè)情境導入探索新知我們可以通過一個實驗來完成.

（1）將一把直尺固定在畫板上,再取一個直角三角板,緊靠直尺

的一邊l放置：

（2）取一條拉鏈,把它的一端固定在三角板的頂點C處,另一

端固定在畫板上的點F處；

（3）將筆尖(點

M)放在拉鏈鎖扣處保持鎖扣與C端的拉鏈部

分始終在

CA

上,讓三角板靠緊直尺并沿直尺邊緣滑動，筆尖隨之移

動,就畫出了一段曲線；

（4）當直角三角板的邊

AC經過點下時,向下翻轉三角板．保持鎖扣與C端的拉鏈部分始終在

CA

上,讓三角板靠緊直尺繼續(xù)沿直尺邊緣滑動,筆尖又畫出一段曲線.

典型例題鞏固練習歸納總結布置作業(yè)情境導入探索新知一般地,把平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線.定點F稱為拋物線的焦點,定直線l稱為拋物線的準線.顯然,筆尖(即點M)始終保持到定點F的距離與到直尺邊l的距離相等(|MF|=|MC|).拋物線的標準方程3.3.1情境導入探索新知典型例題鞏固練習歸納總結布置作業(yè)我們從橢圓和雙曲線的定義出發(fā),通過建立合適的平面直角坐標系,分別求出了橢圓和雙曲線的方程.那么,如何從拋物線的定義出發(fā),建立恰當的平面直角坐標系來求出拋物線的方程呢？情境導入典型例題鞏固練習探索新知歸納總結布置作業(yè)取過焦點

F且垂直于準線l的直線為x軸；記x軸與準線l的交點為

E,以線段EF的垂直平分線為y軸,如圖所示.設焦點到準線的距離為

p(p>0),即|EF|=p，則焦點F的坐標為準線l的方程為情境導入典型例題鞏固練習探索新知歸納總結布置作業(yè)設M(x,y)為拋物線上的任意一點,點M到l的距離為|MN|,則有|MF|=|MN|.于是,可得

將上式兩邊平方得展開并整理得

y2=2px(p>0).上面方程稱為拋物線的標準方程.情境導入典型例題鞏固練習探索新知歸納總結布置作業(yè)類似地,通過建立不同的平面直角坐標系,可以得到拋物線其他三種形式的標準方程：y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.

它們的焦點坐標、準線方程及圖形歸納見表:例1根據條件,求拋物線的標準方程.解情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題例1根據條件,求拋物線的標準方程.解情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題例1根據條件,求拋物線的標準方程.解例2求下列拋物線的交點坐標和準線方程.（1）y2=8x；（2）x2+4y=0.情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題解情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題

判斷拋物線的焦點在哪個坐標軸上是解決有關拋物線問題的關鍵,為此可將拋物線方程化為標準方程，觀察標準方程中的一次項,如果一次項含變量x,并且系數為正(或為負),則焦點在x軸的正半軸(或負半軸)上;如果一次項含變量,并且系數為正(或為負),則焦點在y軸的正半軸(或負半軸)上.情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題練習情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題練習拋物線的幾何性質3.3.2情境導入探索新知典型例題鞏固練習歸納總結布置作業(yè)前面,我們利用雙曲線的標準方程獲得了雙曲線的幾何性質,是否可以利用拋物線的標準方程研究拋物線的幾何性質呢？情境導入典型例題鞏固練習探索新知歸納總結布置作業(yè)

下面以拋物線的標準方程y2=2px為例,研究拋物線的幾何性質.情境導入典型例題鞏固練習探索新知歸納總結布置作業(yè)1.范圍

這說明,拋物線向右上方和右下方無限延伸.在方程中,y2=2px

中,由p>0,

y2≥0,可知x≥0.這表明,拋物線在y

軸的右側,如圖所示.當x的值增大時,y2的值也隨著增大,即|y|

的值增大.情境導入典型例題鞏固練習探索新知歸納總結布置作業(yè)2.對稱性這說明,拋物線關于x軸對稱.一般地,把拋物線的對稱軸稱為拋物線的軸.

在方程中,將y換成-y,方程不改變.情境導入典型例題鞏固練習探索新知歸納總結布置作業(yè)3.頂點在方程中,令y=0,得x=0.因此,拋物線的頂點為原點.一般地,拋物線與它的軸的交點稱為拋物線的頂點.情境導入典型例題鞏固練習探索新知歸納總結布置作業(yè)4.離心率拋物線上的點M到焦點的距離與它到準線的距離的比稱為拋物線的離心率,記作e.由拋物線的定義知,e=1.情境導入典型例題鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知為什么拱橋的橋拱大多設計為拋物線的形狀？情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題例3解情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題例3解情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題當問題中沒有明確指出拋物線的焦點位置或對稱軸時，一般需要分情況討論.情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題例4用“描點法”畫出拋物線y2=4x的圖形.分析拋物線具有對稱性,因此只需先畫出拋物線在第一象限內的圖形,然后根據對稱性畫出全部圖形.解當y≥0時,拋物線的方程可以變形為.在[0,+∞)上,選取幾個整數作為x的值,計算出對應的y值,列表以表中的x值為橫坐標,對應的y值為縱坐標,在直角坐標系中依次描出相應的點(x,y),用光滑的曲線順次鏈接各點得到拋物線在第一象限內的圖形.然后利用對稱性,畫出全部圖形.情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題例5如圖(1)所示,一條隧道的頂部是拋物線拱,拱高為2m,跨度為6m,求拱形縱截線所在的拋物線方程.解以拱形縱截線的頂點為坐標原點、拱高所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖(2)所示,則拋物線方程可設為x2=-2py.

設拱形的兩個端點分別為點A、B.則由拱高為2m和跨度為6m可得AB兩點的坐標分別為(-3,-2)、(3,-2)．把點B的因此,拱形縱截線所在的拋物線方程為坐標代人方程x2=-2py,可得情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題練習

1.根據條件,求拋物線的標準方程.

（1）準線方程為x=4；

（2）焦點為F(0,-3)；

（3）關于x軸對稱,且過點(5,-4)；（4）對稱軸為坐標軸,且過點(6,3).情境導入鞏固練習歸納總結布置作業(yè)探索新知典型例題練習

2.

在直角坐標系中,畫出下列拋物線的圖像.

（1）

y2=-6x;

（2）x2=9y.

3.

已知拋物線的頂點為坐標原點,焦點在x軸上,拋物線上一點P(-3,m)到焦點的距離為5,求拋物線的標準方程.

4.已知垂直于x軸的直線交拋