河南省地區(qū)聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期豫選命題階段性檢測（一）數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年度高二年級階段性檢測（一）數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分:150分）注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上3.考試完畢后，將答題卡收回，在微信公眾號查詢成績.4.考察范圍選擇性必修一一、單選題（共40分、每小題5分）1.空間四邊形中，，，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算解決即可.【詳解】由題知，空間四邊形中，，，，且，，如圖，所以，所以，故選：D2.已知直線的一個方向向量為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線的方向向量求出直線的斜率，再由點斜式求出直線方程.【詳解】因為直線的一個方向向量為，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為，即.故選：D3.如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得，因為底面為矩形，，，，所以，，又，所以，則.故選：B4.已知點在直線的上方，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先把直線化為斜截式，點在直線上方，即.【詳解】直線化為斜截式得，點在直線的上方，即，解得.故選：A5.在正三棱錐中，是的中心，，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，由三棱錐是正三棱錐可知，，即可將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合勾股定理即可求解．【詳解】為正三棱錐，為的中心，∴平面，平面，∴，，△ABC是等邊三角形，∴，，故，，則．故選：D.6.已知點在直線上的運動，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】表示點與距離的平方，求出到直線的距離，即可得到答案.【詳解】表示點與距離的平方，因為點到直線的距離，所以的最小值為．故選：A7.設(shè)為函數(shù)（）圖象上一點，點，為坐標(biāo)原點，，的值為（）A.4 B. C.4 D.1【答案】A【解析】【分析】由數(shù)量積的定義表示求出，再利用條件，結(jié)合點在函數(shù)（）圖象上，可求出點，從而解決問題.詳解】設(shè)點，則，，，又，則可得，又，則，解得，所以.故選：A8.如圖，在菱形中，，，沿對角線將折起，使點A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段，上的動點，則下列說法錯誤的是（）A.平面平面B.線段的最小值為C.當(dāng)，時，點D到直線的距離為D.當(dāng)P，Q分別為線段，的中點時，與所成角的余弦值為【答案】C【解析】【分析】取的中點，易知，結(jié)合條件及線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有平面平面，即可判斷A；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷BCD.【詳解】取的中點，連接，∵菱形中，，，∴，又，∴，所以，又易知，因為，，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故A正確；以為原點，分別為軸建立坐標(biāo)系，則，當(dāng)，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故C錯誤；設(shè)，設(shè)，可得，，當(dāng)時，，故B正確；當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA中點時，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；故選：C.二、多選題（共20分，每小題5分，多選得2分，錯選不得分）9.如圖，設(shè)直線l，m，n的斜率分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜方向先判斷出直線的傾斜角是銳角或鈍角，再根據(jù)直線的傾斜程度判斷其絕對值的大小，得出答案.【詳解】由圖可知直線l，m，n的傾斜角分別為銳角、鈍角、鈍角，所以又直線m最陡峭，則，所以，，．故選項BCD正確.故選：BCD10.若，，與的夾角為120°，則的值為（）A. B.17 C.1 D.【答案】BD【解析】【分析】由空間向量夾角的坐標(biāo)表示求解【詳解】由題意得解得或故選：BD11.下列說法正確的是（）A.已知直線與直線垂直，則實數(shù)a的值是B.直線必過定點C.直線在y軸上的截距為D.經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線垂直關(guān)系列方程求，判斷選項A；將直線方程化為點斜式即可判斷選項B；根據(jù)截距的定義判斷選項C，根據(jù)條件求出滿足要求的直線方程，判斷選項D.【詳解】解：對A：因為直線與直線垂直，則，解得或，A不正確；對B：直線可變?yōu)?，因此直線必過定點，即B正確；對C：由直線方程取，得，所以直線在y軸上的截距為，所以C正確．對D：經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為或，所以D不正確；故選：BC．12.如圖，已知正方體的棱長為2，分別為的中點，以下說法正確的是（）A.平面B.點到平面的距離為C.正方體的內(nèi)切球半徑為D.平面與平面夾角的余弦值為【答案】AB【解析】【分析】對于A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判斷；對于B，利用點面距離的向量公式求解即可判斷；對于C，根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，即可判斷；對于D，利用面面角的向量法求解即可判斷.【詳解】對于A，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以，由于平面，所以平面，A正確；對于B，由A可知，平面的一個法向量為，，所以點到平面的距離為，B正確；對于C，因為正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，所以正方體的內(nèi)切球半徑為，C錯誤；對于D，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，D錯誤.故選：AB.三、填空題（共20分，每小題5分）13.已知空間向量滿足，，則與的夾角為_________．【答案】##60°【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)知可構(gòu)成三角形，利用余弦定理求與的夾角.【詳解】由，即首尾相連可構(gòu)成三角形，所以，又，故.故答案為：14.直線與直線之間的距離為_____________．【答案】【解析】【分析】確定兩直線是平行直線，故可根據(jù)平行線間的距離公式求得答案.【詳解】直線可化為，則直線與直線平行,故直線與直線之間的距離為，故答案為：.15.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點在上，點在上，且，點在線段上運動，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)點是中點時，直線平面；②平面截正方體所得的截面圖形是六邊形；③不可能直角三角形；④面積的最小值是.其中所有正確結(jié)論的序號是________.【答案】①④【解析】【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)證線線平行后可得線面平行來判定①，利用平面的性質(zhì)構(gòu)造相交線可判定②，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積可判定③，利用空間中點到直線的距離可判定④【詳解】對①，如圖所示，因為是中點，，連接，顯然也是的中點，連接，所以，而平面，平面，所以直線平面，①正確；對②，如圖直線與的延長線分別交于連接，分別交于，連接，則五邊形即為所得的截面圖形，故②錯誤；以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，對③，設(shè)，則，則，若，則得，由，故存在點，使得，故可能為直角三角形，③錯誤；對④，由③得到的投影為，故到的距離，面積為，當(dāng)時，取得最小值為，④正確.故答案為：①④.16.已知實數(shù)滿足，，則的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)圓，直線，，，求出∠MON的大小，求出MN中點的軌跡方程，表示和到直線的距離和，數(shù)形結(jié)合即可求出其最大值．【詳解】設(shè)圓，直線，，，則，都在圓上，∵，，∴△MON是等邊三角形，∴．表示和到直線的距離和，由圖形得只有當(dāng)、都在直線的下方時，該距離之和才會取得最大值．取、的中點，過作，垂足為，則，∵為等邊三角形，為的中點，∴，則在圓上運動，則當(dāng)MN∥l時，到直線距離的最大值為，∴的最大值為．故答案為：四、解答題（共70分）17.已知向量（1）求；（2）求向量與夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的模長坐標(biāo)公式，可得答案；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的公式，結(jié)合模長公式，再由夾角公式，可得答案.【小問1詳解】因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，又因為，所以故與夾角的余弦值為.18.已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：.（1）當(dāng)l1//l2時，求實數(shù)a的值；（2）當(dāng)l1⊥l2時，求實數(shù)a的值.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線平行的位置關(guān)系建立關(guān)系式求解參數(shù)即可；（2）根據(jù)兩直線垂直的位置關(guān)系建立關(guān)系式求解參數(shù)即可.【詳解】解：由題意得：（1）(方法1)當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1：，l2：時，解得a＝1綜上可知，當(dāng)a＝1時，l1//l2(方法2)∵l1//l2∴?解得a＝－1故當(dāng)a＝－1時，l1//l2.（2）(方法1)當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；當(dāng)a≠1且a≠0時，l1：，l2：由，得(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得19.如圖，在三棱錐中，點為棱上一點，且，點為線段的中點．（1）以為一組基底表示向量；（2）若，，，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用向量的數(shù)乘運算及加減運算求解；（2）由向量的單項式乘多項式及向量的數(shù)量積運算求解．【小問1詳解】∵為線段的中點，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】．20.已知的三個頂點分別為．求：（1）邊上的中線所在直線的方程；（2）的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題可得AC中點坐標(biāo)，結(jié)合中線過B點，可得答案；（2）由兩點間距離公式可得邊長，由點到直線距離公式可得高.【小問1詳解】設(shè)AC邊上的中點為D，則，即，故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即．【小問2詳解】邊AC所在直線的方程為：，且，點B到直線AC的距離為：，故的面積：21.1.已知直線l：（k∈R）．（1）證明：直線l過定點；（2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標(biāo)原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．【答案】（1）證明見解析（2）（3）4，【解析】【分析】（1）將含有k的式子整理在一起并將k提出，令k的系數(shù)為0，進(jìn)而得到答案；（2）將直線化為斜截式，結(jié)合（1）對直線斜率和縱截距進(jìn)行限制，最后得到答案；（3）算出直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)，進(jìn)而通過基本不等式求出面積的最小值，及此時直線的方程.【小問1詳解】，令x+2=0，則3y+3=0，則直線l過定點（2,1）.【小問2詳解】直線l：，因為直線不過第四象限，且直線的定點（2,1）在第二象限，所以.【小問3詳解】由題意，，令x=0，得，令y=0，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)（負(fù)值舍去），則直線l：.22.如圖，在正四棱柱中，，．點，，，分別在棱，，，上，，，．（1）證明：；（2）求點到平面的距