第二章 矢量分析

第一章矢量分析主要內(nèi)容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理6學(xué)時0.

矢量及其運算標(biāo)量場和矢量場矢量場的散度矢量場的旋度標(biāo)量場的梯度亥姆霍姿定理10三月202411.0矢量及其運算

直角坐標(biāo)系

矢量表示矢量代數(shù)矢量微積分10三月20242直角坐標(biāo)系三變量xyz

坐標(biāo)表示線元面元體積元

10三月20243

標(biāo)量

一個只用它的大小就能完整的描述的物理量稱為標(biāo)量。如：時間、質(zhì)量、溫度、功、速率等。

矢量

一個有大小和方向的物理量稱為矢量。如：力、速度、力矩等。矢量表示10三月20244幾何法代數(shù)表示矢量表示單位矢量（unitvector）：

的模值：方向余旋：

10三月20245矢量加減法矢量代數(shù)10三月20246矢量乘積數(shù)乘標(biāo)量積矢量代數(shù)10三月20247標(biāo)量積結(jié)論單位矢量交換率分配率兩矢量垂直的充分必要條件：標(biāo)量積等于零。

矢量代數(shù)10三月20248矢量乘積數(shù)乘標(biāo)量積矢量積矢量代數(shù)10三月20249矢量積結(jié)論

單位矢量交換率分配率：兩矢量平行的充分必要條件：矢量積等于零。矢量代數(shù)10三月202410矢量函數(shù)矢量微積分矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

對空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)10三月202411矢量微積分矢量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

對空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)

對時間的導(dǎo)數(shù)矢量函數(shù)的積分

10三月2024121.1矢量場和標(biāo)量場

場的概念標(biāo)量場的等值線矢量場的矢量線10三月202413場的概念1.場的概念

任何物理過程總是在一定空間上發(fā)生，對應(yīng)的物理量在空間區(qū)域按特定的規(guī)律分布。如：

電荷在其周圍空間激發(fā)電場的分布電流在周圍空間激發(fā)磁場的分布地球上太陽及其他原因激發(fā)溫度的分布在空間區(qū)域上每一點有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了該物理量的場10三月202414標(biāo)量場：若所研究的物理量是標(biāo)量，這樣的場稱為標(biāo)量場。如溫度場、密度場、電位場等；矢量場：若所研究的物理量是矢量，這樣的場稱為矢量場。如速度場、引力場、電場、磁場等。標(biāo)量場與矢量場10三月202415臺灣海峽表面海水鹽度分布福建省臺灣島10三月20241610三月202417場（field）是描述空間中所有點上的某一物理量的函數(shù)。靜態(tài)場動態(tài)場

StaticfieldTime-varyingfield

標(biāo)量場矢量場靜態(tài)場與動態(tài)場10三月202418等值面空間內(nèi)標(biāo)量值相等的點的集合所形成的曲面。等值面方程

u（x,y,z）=C

（C

為任意常數(shù)）標(biāo)量場的等值面10三月202419矢量場的矢量線為描述矢量場的方向和數(shù)值，除直接用矢量的數(shù)值和方向來表示矢量場外，還用矢量線來描述矢量場分布。所謂矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向為該點矢量的方向。10三月202420矢量線是這樣的一些曲線，線上每一點的切線方向都代表該點的矢量場的方向。

矢量線的意義（矢量線的任一點的切向和Ｆ平行）

矢量線方程：10三月2024211.2矢量場的散度

通量散度高斯通量定理10三月202422矢量在場中某一個曲面上的面積分，稱為該矢量場通過此曲面的通量。通量flowofflux

10三月202423通量可認(rèn)為是穿過1S1面的矢量線的總數(shù)，故矢量線又叫通量線；模1F1等于在某點與1F1垂直的單位面積上通過的矢量線的數(shù)目，1F1又稱為通量面密度矢量。>0(有正源)<0(有負(fù)源)=0(無源)通量

flowofflux

10三月202424通量是由1S1內(nèi)的通量源決定，而通量是一個積分量，僅能說明較大范圍內(nèi)的源分布情況，而不能說明每一點的性質(zhì)。引入散度概念。散度divergence定義：散度是通量對體積的變化率（單位體積內(nèi)所穿出的通量），所以散度又稱為通量源密度。10三月202425計算：散度divergence哈密頓（Hamilton）算子,10三月202426

散度的物理意義

矢量的散度是一個標(biāo)量，是空間坐標(biāo)

點的函數(shù)；散度代表矢量場的通量源的分布特性。

?

A=0(無源）

?A=0(負(fù)源)

?A=0(正源)

在矢量場中，若

?A=0，稱之為有源場，

稱為(通量)源密度；若矢量場中處處

?A=0，稱之為無源場。散度

divergence10三月202427高斯通量定理已知：因為：為的體密度所以：高斯通量定理故：因為：為的體密度10三月202428例1.2-1點電荷位于坐標(biāo)原點，在離其處產(chǎn)生的電通量密度為：其中，求任意點處電通量密度的散度；并求穿出以為半徑的球面的電通量。解同理可得所以10三月202429

可見，除點電荷所在源點（）外，空間各點的D的散度均為0。接例1.2-1所以10三月202430

矢量場的環(huán)量

旋度

斯托克斯定理1.3矢量場的旋度10三月202431旋渦10三月202432該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動

=0，無渦旋運動流體做渦旋運動

0，有產(chǎn)生渦旋的源環(huán)量矢量F

沿空間有向閉合曲線L

的線積分環(huán)量circulation例：流速場10三月202433

環(huán)量密度過點P作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為

L，面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當(dāng)

S

點P時，存在極限環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。旋度rotation10三月202434

定義旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。它與環(huán)量密度的關(guān)系為：在直角坐標(biāo)系下旋度rotation

計算10三月202435

旋度的物理意義1

旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)；某點旋度的大小是該點環(huán)量密度的最

大值；某點旋度的方向是該點最大環(huán)量密度

的方向；在矢量場中，若,稱之為

旋度場(或渦旋場)，J稱為旋度源

(或渦旋源)；若矢量場處處

稱之為無旋場。旋度rotation10三月202436旋度rotation

旋度的物理意義2

扽可得：若那么存在一個A使得（矢量磁位A）；

扽可得：若那么存在一個u使得（標(biāo)量電位u）。10三月202437斯托克斯定理

(Stockes’Theorem)矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖斯托克斯定理——斯托克斯定理

在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。10三月2024381.4標(biāo)量場的梯度

方向?qū)?shù)梯度10三月202439研究的是標(biāo)量在某點沿某一方向的變化率問題(directionalderivative)。

方向?qū)?shù)lM0U計算：定義：10三月202440在這無窮多個方向中哪個方向的變化率最大？

定義：梯度gradient

10三月202441表明gradu在L方向上的投影正好等于函數(shù)u(x,y,z)在該方向上的方向?qū)?shù)，當(dāng)gradu與L方向一致時，即：方向?qū)?shù):。梯度gradient

那么，梯度gradu就是u(M)變化率最大的方向。10三月202442哈密頓（Hamilton）算子梯度gradient

10三月202443

梯度的物理意義1

標(biāo)量場的梯度是一個矢量,是空間坐標(biāo)點的函數(shù)；梯度的大小為該點標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù)；梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向,

即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。梯度gradient

10三月202444例1

三維高度場的梯度例2

電位場的梯度高度場的梯度

與過該點的等高線垂直；

數(shù)值等于該點位移的最

大變化率；

指向地勢升高的方向。電位場的梯度

與過該點的等位線垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；

三維高度場的梯度電位場的梯度梯度gradient

梯度的物理意義210三月202445例1.4-1求在M0（1，0，1）點沿的方向?qū)?shù)。梯度gradient

解：10三月202446例1.4-2求在M0（2，-1，1）點沿的方向?qū)?shù)。梯度gradient

解：或者：10三月2024471.5亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理矢量場的分類亥姆霍茲定理的意義10三月202448亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。（矢量F惟一地確定）電荷密度

電流密度J場域邊界條件在電磁場中已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件10三月202449矢量場的分類無旋場 或無源場或有旋場有源場

對于一個既有源又有旋的矢量場，可以看認(rèn)為是一個有旋無源場和一個有源無旋場的疊加；10三月202450以上兩式的含義：矢量場是由場的源所引起的，已知了散度源和旋度源就可以唯一確定續(xù)前10三月202451例試判斷下列各圖中矢量場的性質(zhì)。00000010三月202452亥姆霍茲定理的意義亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。從微分形式入手：需研究其散度和旋度從積分形式入手：需研究其通量和環(huán)量研究手段10三月202453梯度、散度與旋度小結(jié)梯度結(jié)果為矢量方向?qū)?shù)散度結(jié)果為標(biāo)量通量高斯定理旋度結(jié)果為矢量環(huán)量斯托克斯定理本章作業(yè)：1-1~1-21-4~1-51-7~1-9嘗試思考：1-3、1-610三月202454第一章矢量分析主要