第二章光纖傳輸理論及基本特性

2.3.2階躍折射率光纖的模式分析●射線分析方法側重于研究入射光線滿足什么條件才能在光纖中傳播、幾何程長和反射次數(shù)等問題；●模式分析理論重點討論光波場在光纖橫截面上的波型、光強分布以及光功率特性等問題?！裨谀Ｊ椒治隼碚撝?，假設：(1)入射光的強度較弱，即不考慮大光強引起的光纖材料非線性效應；(2)光纖材料是各向同性的；(3)光纖中不存在電流和自由電荷。●分析方法:從麥克斯韋電磁方程和物質關聯(lián)方程入手，考慮光纖的邊界條件，并假定電磁場作簡諧振蕩，導出亥姆霍茲方程，進而進行標量近似分析和矢量精確分析。矢量亥姆霍茲方程(1)精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析1.標量近似分析標量近似:

嚴格講，在圓柱坐標系中，只有EZ

和HZ

分量滿足亥姆霍茲方程。在標量近似中，假設橫向分量Et(Ht)的振幅滿足亥姆霍茲方程，即標量亥姆霍茲方程。也就意味著:(1)橫向分量分布彼此相同，(2)相對關系到處不變，(3)偏振方向處處相同。弱導近似：假設光纖的相對折射率差△很小，光線入射角φ很小，即入射光線近似與光軸平行。電磁場在光纖中的縱向分量Ez

和Hz極其微弱，而橫向場分量Et

和Ht極強，且橫向分量的極化方向在傳輸過程中基本不變。精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析A.標量近似解的形式設階躍光纖中傳播一平面電磁波，傳播方向與光纖軸線(即Z軸)的夾角為θZ，記為在圓柱坐標系下，標量亥姆霍茲方程可表示為如下形式(2)(3)精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析A.標量近似解的形式假設是變量可分離的，即將式(4)帶入式(3)，可得(4)(5b)(5a)精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析A.標量近似解的形式A.1沿著圓周方向解的形式解為：(5b)(6)精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析A.2沿著半徑方向解的形式在纖芯區(qū)r≤a，折射率為n1，對導模應有在纖芯區(qū)，橫向光場具有貝塞爾函數(shù)形式(7)(8)u稱為纖芯徑向歸一化相位常數(shù)貝塞爾函數(shù)曲線精密儀器與光電子工程學院在包層中r>a

，折射率為n2，對導模應有在包層中，橫向光場具有變質貝塞爾函數(shù)

(修正的漢克爾函數(shù))形式A.2沿著半徑方向解的形式2.3.2階躍折射率光纖的模式分析(10)(9)w稱為包層徑向歸一化衰減系數(shù)漢克爾函數(shù)曲線精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析A.3標量近似解的完整形式綜上所述，光纖中電磁波的標量近似解完整形式可表示為：(11)(12)精密儀器與光電子工程學院B.特征方程(色散方程)導出特征方程的目的：在給定光纖結構參數(shù)(n1，n2，a)和工作波長λ的條件下，求解傳播常數(shù)u，w，β，

繼而討論光波導截止條件和波型等。2.3.2階躍折射率光纖的模式分析方法：根據(jù)光纖纖芯包層處(r=a)的邊界條件，即橫向場幅度本身和沿邊界法向上變化率的連續(xù)性以及貝塞爾函數(shù)的性質，導出特征方程。(13)精密儀器與光電子工程學院C.截止、遠離截止和傳輸模

C.1截止從物理意義講，當光纖中出現(xiàn)輻射模時，表明該模式的光波場從纖芯輻射到包層中去，在纖芯中沒有該模式的光波場；從幾何光學來看該模式的光線不滿足全反射條件，就稱該模式截止。2.3.2階躍折射率光纖的模式分析因此w=

0表示截止的臨界條件，從幾何光學的觀點看，截止的臨界狀態(tài)即為入射光波的入射角恰好等于全反射臨界角。從數(shù)學表達式分析，對于包層光波場：當w>0時，將很快衰減到零(漸逝場），即纖芯中的光波場基本不輻射到包層中去；而當w<0時，不衰減，即纖芯中的光波場全部輻射到包層中去了。精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

C.1截止根據(jù)w=0的臨界條件和特征方程(13)，可以求出臨界截止時u滿足的方程。對于每一個m值，當u等于方程(14)的某個根um-1，n時，導波將截止。換句話說，只有當u大于um-1，n時，纖芯中才會出現(xiàn)該模式的導波。(14)精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

C.2遠離截止從物理上講，如果纖芯中的光波場不輻射到包層中去，或者說包層中不存在該模式的光波場時，稱該模式遠離截止。從幾何光學講，遠離截止意味著入射光線與光軸夾角趨于0。從數(shù)學上講，當，，因此，是遠離截止時的數(shù)學條件。精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

C.2遠離截止根據(jù)遠離截止時的條件和特征方程(13)，可以得到遠離截止時的u滿足的方程。即對于每個m值，當u等于方程(15)對應的某個根um，n時，導波遠離截止。(15)精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

C.3線極化波LPmn

(LinearlyPolarized)對于每個給定的m，選擇u大于方程(14)的第n個根，且小于等于方程(15)對應的第n個根，即對應一個線極化波。用LPmn表示。精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

C.4線極化波LPmn中(m,n)的含義

LPmn的下角標(m,n)具有明確的物理意義，它們反映了該模式的電磁場在光纖橫截面上的分布規(guī)律。(1)m的物理意義m表征在纖芯圓周方向上，電磁場出現(xiàn)最大值的對數(shù)。精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模(2)n的物理意義n表征在纖芯半徑方向上，電磁場出現(xiàn)最大值的次數(shù)。從n的物理意義可知u的物理意義：u反映了纖芯區(qū)駐波場的橫向振蕩頻率。貝塞爾函數(shù)曲線精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

C.4線極化波LPmn例題[例1]對于LP01

模，求其遠離截止條件下的場型，即場變化規(guī)律。解:m=0，n=1，u=2.40483。(1)由于m=0，光場沿圓周變化:Φ(φ)=cos(0φ)=1，說明當φ由0變化到2π時，光場沿圓周無變化。(2)光場沿r的變化規(guī)律：按0階貝塞爾函數(shù)變化，即r=0,R(r)=1；

r=a,R(r)=0.在r從0到a的變化過程中，R(r)單調遞減。其變化曲線如右圖所示。LP01模場沿半徑的變化精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模(3)LP01模的光強分布圖精密儀器與光電子工程學院C.截止、遠離截止和傳輸模[例2]對于LP02

模，求其遠離截止條件下的場型，即場變化規(guī)律。解:m=0，n=2，u=5.520。(1)由于m=0，光場沿圓周變化:Φ(φ)=cos(0φ)=1，說明當φ由0變化到2π時，光場沿圓周無變化。(2)光場沿r的變化規(guī)律：按0階貝塞爾函數(shù)變化，即

r=0,R(r)=1；

r=0.4357a,R(r)=0;

r=a，R(r)=0.說明在r∈(0.4357a，a),R(r)還有一個非零最大值。n=2時，變化曲線如右圖所示.2.3.2階躍折射率光纖的模式分析LP02模場沿半徑的變化精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模(3)LP02模的光強分布圖精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

[例3]

LP11模的光強分布圖精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

[例4]

LP21模的光強分布圖精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析標量近似分析的一般過程如何？u,w是如何定義的，公式？導出特征方程的目的是什么？截止的物理意義是什么？截止的數(shù)學條件是什么？遠離截止的物理意義是什么？遠離截止的數(shù)學條件是什么？線極化波LPmn的概念？(m,n)的物理意義，光強分布圖？精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

C.5歸一化頻率v

又稱為光纖結構參數(shù)。它與光纖的結構參數(shù)(芯徑半徑a，纖芯折射率n1，包層折射率n2)及自由空間波數(shù)量k0(工作波長λ）有關。u的取值除了滿足特征方程(14)、(15)之外，還必須滿足下式(16)(17)精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析[例題]一階躍折射率光纖，n1=1.50，相對折射率差△=0.002，芯徑2a=12μm，當工作波長λ分別為1.55μm，1.30μm，0.85μm，0.6328μm時，求光纖中能傳輸哪些模式？[解](1)當λ=1.55μm時，v=2.307，可傳輸?shù)哪Ｊ桨↙P01模。(2)當λ=1.30μm時，v=2.75，可傳輸?shù)哪Ｊ桨↙P01，LP11模。(3)當λ=0.85μm時，v=4.207，可傳輸?shù)哪Ｊ桨↙P01，LP02，LP11，LP21模。(4)當λ=0.6328μm時，v=5.652，可傳輸?shù)哪Ｊ桨↙P01，

LP02，LP11，LP12，LP21模。精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析C.截止、遠離截止和傳輸模

C.5歸一化頻率υ(1)當v<2.4048時，在光纖中只存在一種模式，即LP01模。此時稱光纖為單模光纖。(2)LP01截止時，u01＝0。說明對于任何波長(頻率)

都可以傳輸，因此LP01模稱為光纖的基模。精密儀器與光電子工程學院2.3.2階躍折射率光纖的模式分析D.標量近似分析小結[例題]一階躍折射率光纖，n1=1.468，相對折射率差△=0.002，芯徑2a=12μm，工作波長λ=0.85μm，試對其進行標量近似分析。(1)根據(jù)式(16)計算給定光纖的歸一化頻率υ；(2)對于正整數(shù)m，根據(jù)特征方程(14)、(15)計算允許的u，同時滿足式(17)；(3)根據(jù)式(16)計算w；