（江蘇專用）高考數(shù)學大一輪復習 第五章 解三角形 第30課 正弦定理與解三角形 文-人教版高三全冊數(shù)學試題

第30課正弦定理與解三角形(本課時對應學生用書第頁)自主學習回歸教材1.(必修5P7例1改編)設銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=2bsinA，則角B=.【答案】【解析】由正弦定理，可得sinA=2sinBsinA，sinB=.由B為銳角，得B=.2.(必修5P8練習1改編)在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，那么AC=.【答案】4【解析】利用正弦定理=，得AC=4.3.(必修5P11習題6改編)在△ABC中，若a=2，b=3，C=，則△ABC的面積為.【答案】【解析】S△ABC=absinC=×2×3×=.4.(必修5P7例2改編)在△ABC中，若a=4，c=4，C=30°，則角A=.【答案】60°或120°【解析】由正弦定理=，得sinA===，所以角A=60°或120°.5.(必修5P10練習5改編)在△ABC中，若A=60°，a=，則=.【答案】2【解析】由正弦定理==2R，得=2R==2.1.利用平面幾何知識及三角函數(shù)知識可以證明正弦定理.正弦定理：===2R(其中R為△ABC的外接圓的半徑，下同).變式：(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

(2)sinA=，sinB=，sinC=；(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

(4)===(合比性質(zhì)).2.利用正弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：(1)已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角；(2)已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角).對于“已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他的邊和角)”的題型，可能出現(xiàn)多解或無解的情況.驗證解的情況可用數(shù)形結合法.如：已知a，b和A，用正弦定理求B時解的情況如下：①若A為銳角，則a<bsinA無解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解a≥b一解②若A為直角或鈍角，則a≤b無解a>b一解3.由正弦定理，可得三角形面積公式：S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB==r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).4.三角形內(nèi)角定理的變形：由A+B+C=π，知A=π-(B+C)，可得出：sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C).而=-，有sin=cos，cos=sin.【要點導學】要點導學各個擊破利用正弦定理判斷三角形的形狀例1在△ABC中，已知b=asinC，c=asinB，試判斷△ABC的形狀.【思維引導】減少角或邊的個數(shù)，本題可減少邊a；邊角化為同一形式，如題中可把邊化為角；高次可降次，如題中的單角化為倍角等.【解答】由b=asinC，c=asinB，得=.由正弦定理得==，所以sin2B=sin2C.所以=，所以cos2B=cos2C.又B，C是三角形的內(nèi)角，所以2B=2C，所以B=C.由b=asinC，得sinB=sinA·sinC，所以sinA=1，所以A=，所以△ABC是等腰直角三角形.【精要點評】三角形形狀的判斷方向主要有等腰、等邊、直角、銳角、鈍角三角形等；主要的判斷方法是借助三角函數(shù)中的各個定理及運算公式，考查邊角的等量關系等.變式在△ABC中，已知a=2bcosC，求證：△ABC為等腰三角形.【解答】因為a=2bcosC，所以由正弦定理，得2RsinA=4RsinBcosC，所以2cosCsinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.所以sinBcosC-cosBsinC=0，即sin(B-C)=0，所以B-C=kπ(k∈Z).又B，C是三角形的內(nèi)角，所以B=C，即△ABC為等腰三角形.利用正弦定理解三角形例2在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形：(1)c=，A=45°，a=2；(2)c=，A=45°，a=2；(3)c=3，A=45°，a=2.【思維引導】三小題均屬于“已知兩邊及其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他邊和角)”的題型，要先求sinC.【解答】(1)因為c=，A=45°，a=2，所以由=，得sinC=.所以C=60°或C=120°.當C=60°時，B=75°，b===+1；當C=120°時，B=15°，b===-1.(2)同(1)可得sinC=，所以C=30°或C=150°.又因為C+A<180°，所以C=150°不符合要求.所以C=30°，B=105°，b===+1.(3)同(1)可得sinC=.因為>1，所以此三角形無解.【精要點評】解三角形問題首先要判斷是否會出現(xiàn)多解或無解的情況：對于“已知兩角與任一邊，求其他兩邊和一角”的題型不可能有多個解，也不可能無解；對于“已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進一步求出其他邊和角)”的題型，可能出現(xiàn)多解或無解的情況.驗證解的情況可用數(shù)形結合法.例3(2015·湖南卷)設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=btanA.(1)求證：sinB=cosA；(2)若sinC-sinAcosB=，且B為鈍角，求A，B，C.【思維引導】(1)由題根據(jù)正弦定理結合所給已知條件可得=，所以sinB=cosA；(2)根據(jù)兩角和公式化簡所給條件可得sinC-sinAcosB=cosAsinB=，進而可得sin2B=，結合所給角B的范圍可確定角B的大小，進而可得角A的大小，由三角形內(nèi)角和可得角C的大小.【解答】(1)由a=btanA及正弦定理，得==，所以sinB=cosA.(2)因為sinC-sinAcosB=sin[180°-(A+B)]-sinAcosB=sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB，所以cosAsinB=.由(1)知sinB=cosA，因此sin2B=.又因為B為鈍角，所以sinB=，故B=120°，由cosA=sinB=知A=30°，從而C=180°-(A+B)=30°.綜上所述，A=30°，B=120°，C=30°.【精要點評】解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；當以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.變式設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos(A-C)+cosB=1，a=2c，求角C的大小.【解答】由B=π-(A+C)，得cosB=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC，由已知得sinAsinC=.①由a=2c及正弦定理得sinA=2sinC.②由①②得sin2C=，于是sinC=-(舍去)或sinC=.又因為a=2c，所以C=.利用正弦定理解三角形的面積問題例4(2015·徐州、連云港、宿遷三檢)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosC=，sinA=cosB.(1)求tanB的值；(2)若c=，求△ABC的面積.【解答】(1)因為cosC=，C∈(0，π)，所以sinC=.因為A+B+C=π，所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinB+cosB，所以sinB+cosB=cosB，即sinB=cosB，所以tanB=.(2)由(1)知tanB=，所以sinB=，cosB=.由正弦定理得=，所以b=×=.又因為sinA=cosB=，所以△ABC的面積為S=bcsinA=×××=.變式(2014·南京一調(diào))在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且c=-3bcosA，tanC=.(1)求tanB的值；(2)若c=2，求△ABC的面積.【解答】(1)由正弦定理得sinC=-3sinBcosA，即sin(A+B)=-3sinBcosA.所以sinAcosB+cosAsinB=-3sinBcosA.從而sinAcosB=-4sinBcosA.因為cosAcosB≠0，所以=-4.①又tanC=-tan(A+B)==，將①變形代入得=，解得tanB=.(2)由(1)得sinB=，tanA=-2，所以sinA=，由tanC=，得sinC=.由正弦定理得a===.所以△ABC的面積為S=acsinB=××2×=.1.(2015·福建卷)在△ABC中，已知AC=，A=45°，C=75°，則BC=.【答案】【解析】由題意得B=180°-A-C=60°，由正弦定理得=，則BC=，所以BC==.2.在銳角三角形ABC中，角A，B所對的邊分別為a，b.若2asinB=b，則角A=.【答案】【解析】因為2asinB=b，所以2sinAsinB=sinB.因為sinB>0，所以sinA=，又因為A為銳角，所以A=.3.若==，則△ABC的形狀是.【答案】等腰直角三角形【解析】由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入所給等式，可得tanB=tanC=1，注意到A，B，C是△ABC的內(nèi)角，所以B=C=，從而△ABC是等腰直角三角形.4.設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=2，B=，C=，則△ABC的面積為.【答案】1+【解析】在△ABC中，由正弦定理得c===2.又因為A=π-(B+C)=π--=，所以sinA=，S△ABC=bcsinA=×2×2×=+1.5.(2015·山東卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知cosB=，sin(A+B)=，ac=2，求sinA和c的值.【解答】在△ABC中，由cosB=，得sinB=.因為A+B+C=π，所以sinC=sin(A+B)=，因為sinC<sinB，所以C<B，C為銳角，cosC=.因此sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=.由=，可得a===2c，又ac=2，所以c=1.【融會貫通】融會貫通能力提升在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足ccosB+bcosC=4acosA.(1)求cosA的值；(2)若△ABC的面積是，求·的值.【思維引導】【規(guī)范答題】(1)利用正弦定理==，得sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，……3分所以sin(B+C)=4sinAcosA，即sinA=4cosAsinA，……5分因為sinA≠0，所以cosA=……7分(2)由(1)得sinA=，…………………9分由題意得S△ABC=bcsinA=，……………11分所以bc=8，……………………12分所以·=bccosA=2…………………14分趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習第59~60頁.【檢測與評估】第五章解三角形第30課正弦定理與解三角形一、填空題1.在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，則角B的大小為.2.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，則△ABC的形狀是.3.(2014·江西卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若3a=2b，則的值為.4.在△ABC，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=，c=，A=45°，則角C=.5.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若asinBcosC+csinBcosA=b，且a>b，則角B=.6.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bcosC+ccosB=2b，則=.7.在△ABC中，AB=，AC=1，B=30°，則△ABC的面積等于.

8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為.二、解答題9.(2014·全國卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知3acosC=2ccosA，tanA=，求角B的大小.10.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB-bcosA=c，求的值.11.已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且acosC+asinC-b-c=0.(1)求角A的大??；(2)若a=2，△ABC的面積為，求b+c.三、選做題(不要求解題過程，直接給出最終結果)12.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若=，則的值為.13.在△ABC中，已知A=，BC=3，則△ABC的周長的最大值為.【檢測與評估答案】第五章解三角形第30課正弦定理與解三角形1.45°【解析】由正弦定理，可得=，即sinB==，注意到內(nèi)角和為180°，且a>b，所以B=45°.2.鈍角三角形3.【解析】由正弦定理及3a=2b得====.4.60°或120°【解析】在△ABC中，由正弦定理可得=，即=，解得sinC=，所以C=60°或120°.5.【解析】由正弦定理及asinBcosC+csinBcosA=b，得sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinB，即sin2B=sinB，故sinB=.又因為a>b，所以A>B，B=.6.2【解析】利用正弦定理，將bcosC+ccosB=2b化簡得sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin(B+C)=2sinB.因為sin(B+C)=sinA，所以sinA=2sinB，利用正弦定理化簡得a=2b，故=2.7.或【解析】由正弦定理有=，得sinC=，即C=60°或120°，則A=90°或30°，所以△ABC的面積為或.8.直角三角形【解析】由bcosC+ccosB=asinA結合正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sinA=1，所以A=90°.9.由題設及正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA，故3t