2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：概率（附答案解析）

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：概率

一.選擇題（共8小題）

1.（2021秋?宜昌期中）某產(chǎn)品共有三個等級，分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱

產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測，設(shè)“抽到一等品”的概率為0.55,“抽到二等品”的概率

為0.2,則“抽到不合格品”的概率為（）

A.0.8B.0.75C.0.45D.0.25

2.（2021秋?常州期中）某個班級有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20

名團(tuán)員，女生中有12名團(tuán)員.在該班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，如果選到的是團(tuán)員，那么選

到的是男生的概率為（）

A.?B.?C.至D.A

118557

3.（2021秋?沙市區(qū)校級期中）先后拋擲兩枚骰子，甲表示事件“第一次擲出正面向上的點(diǎn)

數(shù)是1"，乙表示事件“第二次擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是2”，丙表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)

之和是7”，丁表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是8"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丁相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

4.（2021秋?浙江期中）不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個，一次任意摸出

2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（）

A.2個小球不全為紅色

B.2個小球恰有一個紅色

C.2個小球至少有一個紅色

D.2個小球不全為綠色

5.（2021秋?仁壽縣期中）先后拋擲一顆骰子兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分

別為X,外事件力為：Xty為偶數(shù)，事件8為：孫為奇數(shù)，則概率尸（B?A）=（）

A.2B.?C.?D.?

3324

6.（2021秋?河南期中）如圖所示，陰影部分由六個全等的三角形組成，每個三角形是底邊

為圓的半徑，頂角為120。的等腰三角形，若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落到陰影部分內(nèi)

的概率為（）

第1頁（共18頁）

A.??-B.返C.?3.D.-L

2兀兀3兀兀

7.（2020春?武漢期中）記本n為兩個離散型隨機(jī)變量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.E（2ξ+l）=2段+1B.。（η-2）=Oη

C.E（ξ+η）=優(yōu)+EηD.D（ξ+η）=Dξ+Z）η

8.（2021春?電白區(qū)期中）據(jù)統(tǒng)計，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N（80,

IO2）,考生共IooOO人，任選一考生數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)在90~100分的概率為（）

[附：若隨機(jī)變呈W服從正態(tài)分布N（μ,。2）,則P（μ-。＜ξ≤μ+o）=68.27%,P（μ

-2o≤ξ≤μ+2σ）=95.45%]

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

二.填空題（共4小題）

9.（2021春?福州期中）已知隨機(jī)變量W服從二項(xiàng)分布，ξ~β（6,?）,則￡（2計3）=,

2

D（2ξ+3）=.

10.（2021春?灌云縣期中）設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，

以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則P（X=I）=.

11.（2021春?福建期中）一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8,每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補(bǔ)種，

否則需要補(bǔ)種.則每穴至少種粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%?（∕g2

≈0.3010）

12.（2018春?中山市期末）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%,

現(xiàn)部門通過設(shè)計模擬實(shí)驗(yàn)的方法研究三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計算器產(chǎn)生0

到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1,2,3,4表示下雨，其余6個數(shù)字表示不下雨：產(chǎn)生

了20組隨機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

則這三天中恰有兩天降雨的概率約為

Ξ.解答題（共4小題）

第2頁（共18頁）

13.（2021秋?仁壽縣期中）某市為比較甲乙兩社區(qū)服務(wù)質(zhì)量，從兩社區(qū)居民中各隨機(jī)抽取

了20人進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計對社區(qū)服務(wù)綜合得分如下莖葉圖.已知成績不低于70分為

“滿意”,低于70分為“不滿意

（1）分析甲乙兩社區(qū)的樣本成績，選擇兩個統(tǒng)計角度，對兩社區(qū)服務(wù)進(jìn)行對比；

（2）若從對甲乙兩社區(qū)服務(wù)“不滿意”的調(diào)查者中各隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)研，記抽取得

分低于60分的人數(shù)之和為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望.

甲II乙

6936799

951080156

9944273457778

885110607

4332525

14.（2021秋?武漢期中）高二年級有甲、乙、丙、丁4支辯論隊(duì)進(jìn)行辯論比賽，賽程如圖

的框圖所示，其中編號為/的方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩支辯論隊(duì)，

第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i“，第6場為決賽，獲勝的是冠軍.己

知甲每場比賽獲勝的概率均為2,而乙、丙、丁之間相互比賽，每支辯論隊(duì)勝負(fù)的可能

3

性相同.

（1）求甲獲得冠軍的概率；

（2）求乙進(jìn)入決賽，旦乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.

136

15.（2021春?福州期中）《福建省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2018年秋季高中入學(xué)的新

生開始，不分文理科；2021年高考總成績由語數(shù)外三門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選

考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為/、B、C、。、E共5個等

級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為15%、35%、35%、13%、2%,

選考科目成績計入考生總成績時，將/至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法

貝∣J,分別轉(zhuǎn)換到[86,100],[71,85],[56,70],[41,55],[30,40]五個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得

第3頁（共18頁）

到考生的等級成績.某市高一學(xué)生共6000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六門

選考科目進(jìn)行測試，其中化學(xué)考試原始成績彳大致服從正態(tài)分布N（70,169）.

（1）求該市化學(xué)原始成績在區(qū)間（57,96）的人數(shù)；

（2）以各等級人數(shù)所占比例作為各分?jǐn)?shù)區(qū)間發(fā)生的概率，按高考改革方案，若從全省考

生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區(qū)間［56,85］的人數(shù)，求尸（X22）.

（附：若隨機(jī)變量W~N（μ,。2）,則尸（μ-。<S<μ+o）=0.683,P（μ-2σ<ξ<

μ+2o）=0.954,P（μ-3∏<ξ<μ+3ɑ）=0.997）

16.（2020?香坊區(qū)校級模擬）如圖，從參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中抽出60名，將其成績（均

為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布表和頻率分布直方圖如下，回答下列問題：

分組人數(shù)頻率

[39.5,49.5)a0.10

[49.5,59.5)9X

[59.5,69.5)b0.15

[69.5,79.5)180.30

[79.5,89.5)15y

[89.5,99,5]30.05

（1）分別求出α,從X,V的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖;

（2）估計這次環(huán)保知識競賽平均分；

（3）若從所有參加環(huán)保知識競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人采訪，抽到的學(xué)生成績及格的概

第4頁（共18頁）

2022-2023學(xué)年北師大版高二下數(shù)學(xué)：概率

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

I.（2021秋?宜昌期中）某產(chǎn)品共有三個等級，分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱

產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測，設(shè)“抽到一等品”的概率為0.55,“抽到二等品”的概率

為0.2,則“抽到不合格品”的概率為（）

A.0.8B.0.75C.0.45D.0.25

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】集合思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用互斥事件概率加法公式能求出結(jié)果.

【解答】解：某產(chǎn)品共有三個等級，分別為一等品、二等品和不合格品.

從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測，設(shè)“抽到一等品”的概率為0.55,“抽到二等品”

的概率為0.2,

則“抽到不合格品”的概率為：

P=I-0.55-0.2=0.25.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

2.（2021秋?常州期中）某個班級有55名學(xué)生，其中男生35名,女生20名，男生中有20

名團(tuán)員，女生中有12名團(tuán)員.在該班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，如果選到的是團(tuán)員，那么選

到的是男生的概率為（）

A.?B.?C.9D.A

118557

【考點(diǎn)】條件概率與獨(dú)立事件.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.

【解答】解：設(shè)事件4為選到的是團(tuán)員，事件B為選到的是男生，

根據(jù)題意可得，P=20+122,P（AB）=型/，

55555511

第5頁（共18頁）

故P(B∣τ4)=P(AB)=20=5

P(A)32??,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查條件概率的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2021秋?沙市區(qū)校級期中）先后拋擲兩枚骰子，甲表示事件”第一次擲出正面向上的點(diǎn)

數(shù)是1"，乙表示事件“第二次擲出正面向上的點(diǎn)數(shù)是2”，丙表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)

之和是7”，丁表示事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是8"，則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丁相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】先根據(jù)古典概型的概率公式分別求出四個事件的概率，再利用獨(dú)立事件的定義P

（AB）=P（/）P（B）判斷各選項(xiàng)的正誤.

【解答】解：由題意可知，先后拋擲兩枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的所求可能情況為36種，

則尸（甲）=&=工，P（乙）=&=工，

366366

丙事件包含的基本事件有{1,6},{6,1},{2,5},{5,2},{3,4},{4,3},共7種,

所以P（丙）=&=工，

366

丁事件包含的基本事件有{2,6},{6,2},{3,5},{5,3},{4,4},共5種，所以尸

（T）=-L,

36

'JP（甲丙）=-L=P（甲）P（丙），.?.甲與丙相互獨(dú)立，故選項(xiàng)4正確，

36

?：P（甲丁）=Q≠P（甲）尸（?。??.甲與丁不相互獨(dú)立，故選項(xiàng)8錯誤，

`:P（乙?。?-L≠p（乙）P（?。?，.?.乙與丁不相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C錯誤，

36

?：P（丙?。?Q≠P（丙）P（?。?，???丙與丁不相互獨(dú)立，故選項(xiàng)。錯誤，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了獨(dú)立事件的定義，是基礎(chǔ)題.

4.（2021秋?浙江期中）不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個，一次任意摸出

2個小球，則與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立的事件有（）

A.2個小球不全為紅色

第6頁（共18頁）

B.2個小球恰有一個紅色

C.2個小球至少有一個紅色

D.2個小球不全為綠色

【考點(diǎn)】互斥事件與對立事件.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用互斥事件、對立事件的定義直接判斷.

【解答】解：不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色小球各2個，一次任意摸出2個小

球，

對于4,2個小球不全為紅色與事件“2個小球都為紅色”是對立事件，故/錯誤；

對于8,2個小球恰有一個紅色與事件“2個小球都為紅色”互斥而不對立事件，故8正

確；

對于C,2個小不球至少有一個紅色與事件“2個小球都為紅色”有可能同時發(fā)生，不是

互斥事件，故C錯誤；

對于。，2個小球不全為綠色與事件“2個小球都為紅色”有可能同時發(fā)生，不是互斥事

件，故。錯誤.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎(chǔ)知識，考查

運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

5.(2021秋?仁壽縣期中)先后拋擲一顆骰子兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分

別為X,“事件力為：x+y為偶數(shù)，事件8為：孫為奇數(shù)，則概率P(8M)=()

A.2B.?C.?D.?

3324

【考點(diǎn)】條件概率與獨(dú)立事件.

【專題】分類討論：轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合列舉法和古典概型的概率公式，即可求解.

【解答】解：事件/的基本事件分別為(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(2,

2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3),(4,4),(4,6),(6,

4),(5,5),(6,6),共18種，

其中“孫為奇數(shù)”的情形為(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,3),(3,

5),(5,3),(5,5),共9種，

第7頁(共18頁)

故P(B∣τ4)=JLJ

182

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查列舉法和古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2021秋?河南期中)如圖所示，陰影部分由六個全等的三角形組成，每個三角形是底邊

為圓的半徑，頂角為120。的等腰三角形，若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落到陰影部分內(nèi)

的概率為()

A..立.B.退C.2&D.?

2兀π3兀兀

【考點(diǎn)】幾何概型.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理.

【分析】設(shè)圓的半徑為R,求出陰影部分的面積和圓的面積，由幾何概型的概率公式求

解即可.

【解答】解：設(shè)圓的半徑為R則陰影部分的面積為s=6X?^XRX普R=亨R2,

圓的面積為S=πF,

則該點(diǎn)落到陰影部分內(nèi)的概率為D?.

S'2兀

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了幾何概型問題，幾何概型問題一般會轉(zhuǎn)化為長度、面積、體積的比

值進(jìn)行求解，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.

7.(2020春?武漢期中)記亭η為兩個離散型隨機(jī)變量，則下列結(jié)論不正確的是()

A.E(2ξ+l)=2歐+1B.O(Tl-2)=Oη

C.E(ξ+η)=Eξ+fηD.D(ξ+η)=Z)S+Oη

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想；分析法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用概率、數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)直接求解.

【解答】解：在“中，E(2ξ+l)=2優(yōu)+1,故/正確：

在B中，由方差的性質(zhì)O(αξ+?)=a1D?.得。(η-2)=Oη,故8正確；

第8頁(共18頁)

在C中，由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得E(t+口)=優(yōu)+如，故C正確；

在。中，。(ξ+η)=O∕0η+cov(ξ,η),所以D(ξ+η)=Z)ξ+Pη,故力錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查概率、數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.(2021春?電白區(qū)期中)據(jù)統(tǒng)計，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N(80,

IO2),考生共IOoOO人，任選一考生數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)在90~100分的概率為()

[附：若隨機(jī)變呈W服從正態(tài)分布N(μ,。2),則P(μ-O<ξ≤μ+o)=68.27%,P(μ

-2o≤ξ≤μ+2σ)=95.45%]

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

【解答】解：YX服從正態(tài)分布N(80,IO2),

*P(90<X<100)=P(60<X<100)-P(70〈X490)=

??2-

0.9545j0.6827=0.]359=13.59%.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正態(tài)分布的對稱性，掌握正態(tài)分布的對稱性是解決正態(tài)分布概

率的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題(共4小題)

9.(2021春?福州期中)已知隨機(jī)變量賺從二項(xiàng)分布，t~B(6,?),則E(2f+3)=

2

9,D(2ξ+3)-6.

【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由隨機(jī)變量罰艮從二項(xiàng)分布，分別求出E(ξ),D(ξ),再由E(2ξ+3)=2E(ξ)

+3,D(2ξ+3)=22×D(ξ),能求出結(jié)果.

【解答】解：Y隨機(jī)變量S服從二項(xiàng)分布，

'.E(ξ)=6X工=3,D(ξ)=6><∕χ工=3.

2222

第9頁(共18頁)

則E(2ξ÷3)=2E(ξ)+3=9,D(2ξ+3)=22×Z)(ξ)=6.

故答案為：9,6.

【點(diǎn)評】本題考查了二項(xiàng)分布的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

10.(2021春?灌云縣期中)設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件,

以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則P(X=I)=_衛(wèi)_.

15

【考點(diǎn)】超幾何分布.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】隨機(jī)變量X服從超幾何分布，然后根據(jù)超幾何分布公式求出即可.

【解答】解：由題意知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，

故答案為：J-.

15

【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布，理解超幾何分布是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題

11.(2021春?福建期中)一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8,每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補(bǔ)種,

否則需要補(bǔ)種.則每穴至少種3粒,才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.(lg2

≈0.3010)

【考點(diǎn)】n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)每穴至少種〃粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.則I-c0(l-0.8)

”>98%,由此能求出每穴至少種3粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.

【解答】解：一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8,每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補(bǔ)種，否則需

要補(bǔ)種.

設(shè)每穴至少種n粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.

則1-(1-0.8)”>98%,

vn.

解得〃>2,

*?*AlGZ,?*?W=3>

???每穴至少種3粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.

故答案為：3.

第10頁(共18頁)

【點(diǎn)評】本題考查概率的運(yùn)算，考查〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件/恰好發(fā)生在次概率計算

公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

12.（2018春?中山市期末）天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%,

現(xiàn)部門通過設(shè)計模擬實(shí)驗(yàn)的方法研究三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計算器產(chǎn)生0

到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1,2,3,4表示下雨，其余6個數(shù)字表示不下雨：產(chǎn)生

了20組隨機(jī)數(shù)：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

則這三天中恰有兩天降雨的概率約為」

一4一

【考點(diǎn)】概率及其性質(zhì).

【專題】計算題：方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計.

【分析】在20組隨機(jī)數(shù)中，表示三天中恰有兩天降雨隨機(jī)數(shù)有5個，由此能求出這三天

中恰有兩天降雨的概率.

【解答】解：在20組隨機(jī)數(shù)中，表示三天中恰有兩天降雨隨機(jī)數(shù)有：

191,271,932,812,393,共5個，

這三天中恰有兩天降雨的概率約為P=-L=X

204

故答案為：1.

4

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查列舉法、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，

考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

Ξ.解答題（共4小題）

13.（2021秋?仁壽縣期中）某市為比較甲乙兩社區(qū)服務(wù)質(zhì)量，從兩社區(qū)居民中各隨機(jī)抽取

了20人進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計對社區(qū)服務(wù)綜合得分如下莖葉圖.已知成績不低于70分為

“滿意”,低于70分為“不滿意”.

（1）分析甲乙兩社區(qū)的樣本成績，選擇兩個統(tǒng)計角度，對兩社區(qū)服務(wù)進(jìn)行對比；

（2）若從對甲乙兩社區(qū)服務(wù)“不滿意”的調(diào)查者中各隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)研，記抽取得

分低于60分的人數(shù)之和為隨機(jī)變量X,求X的分布列與期望.

第11頁（共18頁）

甲乙

6936799

95100156

9944273457778

88511O607

4332525

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理.

【分析】(I)分別利用中位數(shù)已經(jīng)平均數(shù)的計算公式進(jìn)行求解，分析比較即可；

(2)先求出隨機(jī)變量X的可能取值，然后求出其對應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望

的計算公式求解即可.

【解答】解：(1)從平均分角度分析：

~=X(96+80+81+85+89+72+74+74+79+79+60+61+61+65+68+68+52+53+53+54)

X甲20

=70.2,

~??×(93+96+97+99+99+80+81+85+86+73+74+75+77+77+77+78+60+67+52+55)

X乙20

=79.5,

所以乙社區(qū)的服務(wù)更好;

從中位數(shù)角度分析：

甲社區(qū)的中位數(shù)為IX(68+72)=70，乙社區(qū)的中位數(shù)為gX(77+78)=77.5,

所以乙社區(qū)的服務(wù)更好；

(2)甲社區(qū)中不滿意的人數(shù)為10人，其中4人低于60分，

乙社區(qū)中不滿意的人數(shù)為4人，其中低于60分的有2人,

所以X的可能取值為0,1,2,3,4,

C洌

則P(X=O)-=15

P2p2270

u10υ4

J-I2i-l1J-I1J-I11Γt1

Pg)=?.Ξ?1+Σ?1士=更

∕~?「4/"14以27θ1

υ10υ6υ100

「2腎媒C：l122

urrυυrr

22+422—117

P(X=2)=+

r~2r2C2C2C2270

c6υ10%v10v6

第12頁(共18頁)

Ip122

Λrβt,4υr2tr,4C?！?/p>

P(X=3)=48

~27θ,

JlOυ6υ20丁

r∣2p2

.二6

P(X=4)=

「2「2270

所以X的分布列如下:

XO1234

P1584117486

函前麗函前

則E(X)=OX15+ιχ84+2XJL"+3X48+4X6=9,

2702702702702705

【點(diǎn)評】本題考查了中位數(shù)以及平均數(shù)計算公式的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量及其分布列和

離散型隨機(jī)變量期望的求解與應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化筒運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.(2021秋?武漢期中)高二年級有甲、乙、丙、丁4支辯論隊(duì)進(jìn)行辯論比賽，賽程如圖

的框圖所示，其中編號為，?的方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩支辯論隊(duì)，

第i場比賽的勝者稱為“勝者i”，負(fù)者稱為“負(fù)者i“，第6場為決賽，獲勝的是冠軍.己

知甲每場比賽獲勝的概率均為2,而乙、丙、丁之間相互比賽，每支辯論隊(duì)勝負(fù)的可能

3

性相同.

(1)求甲獲得冠軍的概率;

(2)求乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.

136

【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式.

【專題】計算題；分類討論；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(1)甲獲得冠軍，有三種途徑，第一種連勝三場，第二種先勝一場，然后輸一

場勝兩場，第三種先輸一場，再連贏三場，求三種情況的概率之和即可.

(2)如果甲進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇，有三種可能，甲乙、乙丙、乙

第13頁(共18頁)

丁，求三種情況的概率之和即可.

【解答】解：（1）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：

1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝

33

所以甲獲得冠軍的概率為暫）+2×（?）×-^=∣??

（2）若乙的決賽對手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：

甲：1勝3勝，乙：1負(fù)4勝5勝；

甲：1負(fù)4勝5勝，乙：1勝3勝.

所以甲與乙在決賽相遇的概率為2×?×±×1?1χ2×?×1=-L,

3322333227

若乙的決賽對手是丙，則兩人只可能在第3場和第6場相遇，兩人參加的比賽的結(jié)果有

兩種情況：

乙：1勝3勝，丙：2勝3負(fù)5勝；

乙：1勝3負(fù)5勝，丙：2勝3勝.

同時考慮甲在第4場和第5場的結(jié)果，

乙與丙在第3場和第6場相遇的概率為

1,11l2lls11.1,121亡1、_5

3×v-2v×7×vz?×vT+3v×7^×v7×s7×v?×v3^+3×75^Iδ8,

丁與丙的情況相同，所以乙進(jìn)入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率為

555=5

27^b108F108^18^,

【點(diǎn)評】本題考查概率的概念、事件的關(guān)系以及概率的運(yùn)算性質(zhì)，屬于難題.

15.（2021春?福州期中）《福建省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2018年秋季高中入學(xué)的新

生開始，不分文理科：2021年高考總成績由語數(shù)外三門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選

考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為AB、C、D、E共5個等

級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為15%、35%、35%、13%、2%,

選考科目成績計入考生總成績時，將/至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法

貝U,分別轉(zhuǎn)換到[86,100],[71,85],[56,70],[41,55],[30,40]五個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得

到考生的等級成績.某市高一學(xué)生共6000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六門

選考科目進(jìn)行測試，其中化學(xué)考試原始成績W大致服從正態(tài)分布N（70,169）.

（1）求該市化學(xué)原始成績在區(qū)間（57,96）的人數(shù)；

（2）以各等級人數(shù)所占比例作為各分?jǐn)?shù)區(qū)間發(fā)生的概率，按高考改革方案，若從全省考

第14頁（共18頁）

生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區(qū)間［56,85］的人數(shù)，求P(X22).

(附：若隨機(jī)變量W~N(μ,。2),則尸(μ-。<S<μ+o)=0.683,P(μ-2σ<ξ<

μ+2。)=0.954,P(μ-3。<ξ<μ+3ɑ)=0.997)

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(I)由題意知，S~N(70,132),而P(57<ξ<96)=P(57<ξ<70)+P(70

<ξ<96),再由正態(tài)分布的性質(zhì)，得解；

(2)易知I,隨機(jī)抽取1人，其等級成績在區(qū)間［56,85］內(nèi)的概率為二L,隨機(jī)變量X~8

10

(3,?),然后由二項(xiàng)分布的概率公式，得解.

10

【解答】解：(1)由題意知，t~N(70,132),

所以P(57<W<