平方差公式 省賽一等獎(jiǎng)完整版

14.2乘法(chéngfǎ)公式第十四章整式的乘法(chéngfǎ)與因式分解導(dǎo)入新課講授(jiǎngshòu)新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)14.2.1平方差公式第一頁(yè)，共二十七頁(yè)。學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷平方差公式的探索及推導(dǎo)過程，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.（重點(diǎn)）2.靈活應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算(jìsuàn)和解決實(shí)際問題.（難點(diǎn)）第二頁(yè)，共二十七頁(yè)。導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)(fùxí)引入多項(xiàng)式與多項(xiàng)式是如何(rúhé)相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn第三頁(yè)，共二十七頁(yè)。講授(jiǎngshòu)新課平方差公式一探究(tànjiū)發(fā)現(xiàn)面積(miànjī)變了嗎？a米5米5米a米(a-5)相等嗎？第四頁(yè)，共二十七頁(yè)。①（x

＋1)(x－1）；②（m

＋2)(m－2）；③（2m＋1)(2m－1）；④（5y

＋z)(5y－z）.計(jì)算(jìsuàn)下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？算一算：看誰(shuí)算得又快又準(zhǔn).第五頁(yè)，共二十七頁(yè)。②（m＋2)(m－2）=m2－22③（2m＋1)(2m－1)=4m2－12④（5y

＋z)(5y－z)=25y2－z2①（x

＋1)(x－1）=x2－1，想一想：這些(zhèxiē)計(jì)算結(jié)果有什么特點(diǎn)？x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2第六頁(yè)，共二十七頁(yè)。(a+b)(a?b)=a2?b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于(děngyú)這兩數(shù)的平方差.公式(gōngshì)變形:1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2知識(shí)要點(diǎn)平方差公式(gōngshì)第七頁(yè)，共二十七頁(yè)。平方差公式(gōngshì)注：這里的兩數(shù)可以(kěyǐ)是兩個(gè)單項(xiàng)式也可以是兩個(gè)多項(xiàng)式等．(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同為a

相反為b，-b適當(dāng)(shìdàng)交換合理加括號(hào)第八頁(yè)，共二十七頁(yè)。(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)填一填：

aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)第九頁(yè)，共二十七頁(yè)。練一練：口答下列(xiàliè)各題：

(l)(-a+b)(a+b)=_________.(2)(a-b)(b+a)=__________.(3)(-a-b)(-a+b)=________.(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2第十頁(yè)，共二十七頁(yè)。典例精析例1

計(jì)算(jìsuàn)：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4；第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)。方法總結(jié)：應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下(yǐxià)幾個(gè)問題：(1)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；(2)右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；(3)公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)。利用平方差公式(gōngshì)計(jì)算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．針對(duì)(zhēnduì)訓(xùn)練解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25；(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)。例2

計(jì)算(jìsuàn):(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5).解:(1)102×98（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=1002-22=10000–4=（100＋2）(100－2)=9996；=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.通過合理變形，利用平方差公式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.不符合平方差公式運(yùn)算條件的乘法，按乘法法則進(jìn)行運(yùn)算.第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)。針對(duì)(zhēnduì)訓(xùn)練計(jì)算(jìsuàn):(1)51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).解:(1)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499；

(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)。例3

先化簡(jiǎn)，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中(qízhōng)x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)。例4

對(duì)于任意(rènyì)的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍數(shù)(bèishù)．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1.n為正整數(shù)，∴n2-1為整數(shù)(zhěngshù)第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)。方法總結(jié)：對(duì)于平方差中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，在探究整除性或倍數(shù)問題時(shí)，一般先將代數(shù)式化為最簡(jiǎn)，然后根據(jù)結(jié)果的特征，判斷(pànduàn)其是否具有整除性或倍數(shù)關(guān)系．第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)。例5

王大伯家把一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對(duì)李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應(yīng)了．你認(rèn)為(rènwéi)李大媽吃虧了嗎？為什么？∵a2＞a2－16，解：李大媽吃虧(chīkuī)了．理由(lǐyóu)：原正方形的面積為a2，改變邊長(zhǎng)后面積為(a＋4)(a－4)＝a2－16，∴李大媽吃虧了．第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)。方法總結(jié)：解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意(tíyì)列出算式，然后根據(jù)公式化簡(jiǎn)算式，解決問題．第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)。1.下列(xiàliè)運(yùn)算中，可用平方差公式計(jì)算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)當(dāng)堂(dānɡtánɡ)練習(xí)C2.計(jì)算(jìsuàn)（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和為5，邊長(zhǎng)之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．10第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)。（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2－9；=4x4－y2.原式=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2；=(2a)2－32原式=(-2x2)2－y2原式=(a)2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).4.利用(lìyòng)平方差公式計(jì)算：第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)。5.計(jì)算(jìsuàn)：

20152－

2014×2016.解：20152

－

2014×2016=20152－

(2015－1)(2015+1)=20152－（20152－12)=20152－

20152+12=1第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)。6.利用平方差公式(gōngshì)計(jì)算:（1）（a-2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)。7.先化簡(jiǎn)，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中(qízhōng)x＝2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.將x＝2代入上式，原式=2×22-1=7.第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)。課堂(kètáng)小結(jié)平方差公式(gōngshì)內(nèi)容(nèiróng)注意兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差1.符號(hào)表示：（a+b)(a-b)=a2-b22.緊緊抓住“一同一反”這一特征，在應(yīng)用時(shí)，只有兩個(gè)二項(xiàng)式的積才有可能應(yīng)用平方差公式；對(duì)于不能直接應(yīng)用公式的，可能要經(jīng)過