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2022-2023學(xué)年山西省忻州市神華希望中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題是全稱命題的是()A.存在x∈R,使x2﹣x+1<0 B.所有2的倍數(shù)都是偶數(shù)C.有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使|x|≤0 D.有的三角形是等邊三角形參考答案:B【考點(diǎn)】全稱命題.【分析】含有特稱量詞“有些”,“至少”,“存在”的命題都是特稱命題;含有全稱量詞“任意”的是全稱命題.【解答】解:對(duì)于A,C,D中,分別含有特稱量詞“有一個(gè)”,“有的”,“存在”,故A,C,D都是特稱命題;對(duì)于B,含有全稱量詞“所有”,故B是全稱命題.故選B.2.設(shè)斜率為2的直線過拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.
B.
C.
D.參考答案:B略3.已知{an}為等差數(shù)列,若a3+a4+a8=9,則S9=()A.24
B.27
C.15
D.54參考答案:B4.若是兩條不同的直線,是三個(gè)不同的平面,則下列命題中的真命題是(
) A.若,則 B.若,,則 C.若,,則 D.若,,,則參考答案:B略5.設(shè)函數(shù),則f(5)的值為(
)A.-7 B.-1 C.0 D.參考答案:D【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵函數(shù),∴故選:D【點(diǎn)睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí),先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn),看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.6.若一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖都是等腰三角形,俯視圖是圓,則這個(gè)幾何體可能是(
)
A.
三棱柱
B.圓柱
C
.圓錐
D.球體參考答案:A略7.若一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為A.
B.5
C.4
D. 參考答案:D8.P(-3,-1)在橢圓的左準(zhǔn)線上,過點(diǎn)P且方向向量m=(2,5)的光線,經(jīng)過直線y=2反射后,通過橢圓的左焦點(diǎn),則這個(gè)橢圓的離心率為
A.
B.
C.
D.參考答案:C9.函數(shù)在點(diǎn)處的切線的傾斜角為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C10.“所有6的倍數(shù)都是3的倍數(shù),某數(shù)是6的倍數(shù),則是3的倍數(shù)?!鄙鲜鐾评硎?/p>
A.正確的
B.結(jié)論錯(cuò)誤
C.小前提錯(cuò)誤
D.大前提錯(cuò)誤參考答案:A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列中,若,則有等式成立.類比上述性質(zhì):在等比數(shù)列中,若,則有等式
成立.參考答案:12.不等式|x﹣1|≥5的解集是.參考答案:{x|x≥6或x≤﹣4}【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法.【分析】問題轉(zhuǎn)化為x﹣1≥5或x﹣1≤﹣5,求出不等式的解集即可.【解答】解:∵|x﹣1|≥5,∴x﹣1≥5或x﹣1≤﹣5,解得:x≥6或x≤﹣4,故答案為:{x|x≥6或x≤﹣4}.13.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為,,則a的值為___________.參考答案:8試題分析:因,故,由題設(shè)可得,即,所以,所以,應(yīng)填.考點(diǎn):余弦定理及三角形面積公式的運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題的設(shè)置將面積與余弦定理有機(jī)地結(jié)合起來,有效地檢測(cè)了綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.求解時(shí)先借助題設(shè)條件和三角形的面積公式及余弦定理探究出三邊的關(guān)系及,先求出,在運(yùn)用余弦定理得到.14.從一副混合后的撲克牌(52張)中隨機(jī)抽取1張,,事件A為“抽得紅桃K”,事件B為“抽得為黑桃”,則概率
(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示).參考答案:15.若a、b、c、d∈R,且有,,則abcd的取值范圍是_______.參考答案:16.為了了解參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的2000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況,從中抽取100名運(yùn)動(dòng)員;就這個(gè)問題,下列說法中正確的有;①2000名運(yùn)動(dòng)員是總體;②每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體;③所抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是一個(gè)樣本;④樣本容量為100;⑤這個(gè)抽樣方法可采用按年齡進(jìn)行分層抽樣;⑥每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的概率相等.參考答案:④,⑤,⑥【考點(diǎn)】收集數(shù)據(jù)的方法.【分析】2000名運(yùn)動(dòng)員的年齡是總體,每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的年齡是個(gè)體,所抽取的100名運(yùn)動(dòng)員的年齡是一個(gè)樣本,樣本容量為100,這個(gè)抽樣方法可采用按年齡進(jìn)行分層抽樣,每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的概率相等.【解答】解:④,⑤,⑥正確,∵2000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況是總體;每個(gè)運(yùn)動(dòng)員的年齡是個(gè)體,所抽取的100名運(yùn)動(dòng)員的年齡是一個(gè)樣本,樣本容量為100,這個(gè)抽樣方法可采用按年齡進(jìn)行分層抽樣,每個(gè)運(yùn)動(dòng)員被抽到的概率相等.故答案為:④,⑤,⑥.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1F2在x軸上,離心率為.過Fl的直線交于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為
.參考答案:+=1【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)題意,△ABF2的周長(zhǎng)為16,即BF2+AF2+BF1+AF1=16,結(jié)合橢圓的定義,有4a=16,即可得a的值;又由橢圓的離心率,可得c的值,進(jìn)而可得b的值;由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,可得橢圓的方程.【解答】解:根據(jù)題意,△ABF2的周長(zhǎng)為16,即BF2+AF2+BF1+AF1=16;根據(jù)橢圓的性質(zhì),有4a=16,即a=4;橢圓的離心率為,即=,則a=c,將a=c,代入可得,c=2,則b2=a2﹣c2=8;則橢圓的方程為+=1;故答案為:+=1.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分16分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)在(1)的條件下,設(shè)函數(shù)在處取得極值,記點(diǎn),證明:線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn).參考答案:(1)當(dāng)時(shí),,得,令得解得,--------------------------------------------------------2分當(dāng)變化時(shí),與的變化情況如下表:x-5-1+0—0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增
--------------3分
因此,當(dāng)時(shí),有極大值,并且極大值為,---------------------4分當(dāng)時(shí),有極小值,且極小值為.------------------------------5分(2)因令,得或-----------------------------------------------7分①當(dāng)時(shí),當(dāng)變化時(shí),與的變化情況如下表:+—+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增
---------8分由此得,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為---------------------------------------------------------9分②當(dāng)時(shí),,同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為;----------------------------------------------------------10分③當(dāng)時(shí),,此時(shí),恒成立,且僅在處,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;-------------------------------------------11分綜上得:當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為--------------------------------------------------------------------12分(3)解法一:由(1)知∴直線的方程為------------------------------------------------13分由消去y得:,----------------------14分令易得,--------------------------------------------15分而的圖象在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線,故在內(nèi)存在零點(diǎn),這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn).--------------------------------16分解法二:由(1)知所以直線的方程為----------------------------------------------13分由消去y得:,--------------------------14分k.s.5.解得或或,即線段與曲線有異于的公共點(diǎn).----------------------------16分19.已知命題:復(fù)數(shù),復(fù)數(shù),是虛數(shù);命題:關(guān)于的方程的兩根之差的絕對(duì)值小于.若為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案:解:由題意知,
………………2分若命題為真,是虛數(shù),則有且所以的取值范圍為且且………………4分若命題為真,則有………7分而,所以有或
…10分由題意知,都是真命題,實(shí)數(shù)的取值范圍為..12分略20.附加題:(本小題滿分10分)實(shí)驗(yàn)班必做。已知函數(shù),其中且(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)設(shè)函數(shù)
(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),是否存在a,使g(x)在[a,-a]上是減函數(shù)?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.參考答案:(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?)若-1<a<0,則當(dāng)0<x<-a時(shí),;當(dāng)-a<x<1時(shí),;當(dāng)x>1時(shí),.故分別在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)若a<-1,仿(1)可得分別在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)存在a,使g(x)在[a,-a]上是減函數(shù).事實(shí)上,設(shè),則,再設(shè),則當(dāng)g(x)在[a,-a]上單調(diào)遞減時(shí),h(x)必在[a,0]上單調(diào)遞,所以,由于,因此,而,所以,此時(shí),顯然有g(shù)(x)在[a,-a]上為減函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)在[1,-a]上為減函數(shù),h(x)在[a,1上為減函數(shù),且,由(Ⅰ)知,當(dāng)a<-2時(shí),在上為減函數(shù)①又
②不難知道,因,令,則x=a或x=-2,而于是(1)當(dāng)a<-2時(shí),若a<x<-2,則,若-2<x<1,則,因而分別在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
(2)當(dāng)a=-2時(shí),,在上單調(diào)遞減.綜合(1)(2)知,當(dāng)時(shí),在上的最大值為,所以,
③又對(duì),只有當(dāng)a=-2時(shí)在x=-2取得,亦即只有當(dāng)a=-2時(shí)在x=-2取得.因此,當(dāng)時(shí),h(x)在[a,1上為減函數(shù),從而由①,②,③知綜上所述,存在a,使g(x)在[a,-a]上是減函數(shù),且a的取值范圍為.略21.已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)數(shù)為a,且不等式f(x)>﹣x的解集為(1,2).(1)若函數(shù)y=f(x)+2a有且只有一個(gè)零點(diǎn),求f(x)的解析式;(2)若對(duì)?x∈[0,3],都有f(x)≥﹣4,求a的取值范圍;(3)解關(guān)于x的不等式f(x)≥0.參考答案:【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).【專題】分類討論;分析法;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;不等式的解法及應(yīng)用.【分析】(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,由題意可得1,2為方程ax2+(b+1)x+c=0的解,運(yùn)用韋達(dá)定理,可得b=3a﹣1,c=2a,a<0,再由零點(diǎn)的求法,即可得到a的值,進(jìn)而得到函數(shù)的解析式;(2)由題意可得a≥在[0,3]的最大值,由g(x)=的導(dǎo)數(shù),即可判斷單調(diào)性,求得最大值,進(jìn)而得到a的范圍;(3)運(yùn)用判別式,判斷大于0恒成立,求得方程的兩根,判斷大小,運(yùn)用二次不等式的解法即可得到所求解集.【解答】解:(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>﹣x的解集為(1,2),即有1,2為方程ax2+(b+1)x+c=0的解,即1+2=﹣,1×2=,可得b=3a﹣1,c=2a,a<0,即有函數(shù)y=f(x)+2a=ax2+(3a﹣1)x+4a,由函數(shù)y=f(x)+2a有且只有一個(gè)零點(diǎn),可得判別式為0,即(3a﹣1)2﹣16a2=0,解得a=﹣1或(舍去),即有f(x)=﹣x2﹣4x﹣2;(2)對(duì)?x∈[0,3],都有f(x)≥﹣4,即為ax2+(3a﹣1)x+2a+4≥0,即有a≥在[0,3]的最大值,由g(x)=的導(dǎo)數(shù)為g′(x)=,由于﹣x2+8x+14>0在[0,3]上恒成立,即有g(shù)′(x)>0,g(x)遞增,可得g(3)取得最大值,且為﹣,則﹣≤a<0;(3)f(x)≥0,即為ax2+(3a﹣1)x+2a≥0,(a<0),判別式△=(3a﹣1)2﹣8a2=a2﹣6a+1>0恒成立,由方程ax2+(3a﹣1)x+2a=0的兩根為x1=,x2=,a<0,可得x1>x2,則不等式f(x)≥0的解集為[,].【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)和二次不等式及二次方程的關(guān)系,考查函數(shù)的零點(diǎn)的問題的解法,同時(shí)考查不等式恒成立問題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和單調(diào)性求得最值,考查含參不等式的解法,屬于中檔題.22
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