中心極限定理例題

未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)中心極限定理例題引言中心極限定理是概率論中的一個(gè)重要定理，它描述了在一定條件下，大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布會(huì)趨近于高斯分布，即正態(tài)分布。這個(gè)定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。本文將通過幾個(gè)例題來說明中心極限定理的應(yīng)用和推導(dǎo)過程。例題1假設(shè)有一個(gè)質(zhì)量為1kg的物體，在連續(xù)3次拋擲中，每次都以同樣的力量拋出，求這3次拋擲的總共落地位置與平均落地位置之間的差距。解：設(shè)第一次、第二次和第三次拋擲的落地位置分別為X1,X2和X3，平均落地位置為X?。由題意可知，X1,X2和X3是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且服從均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)量足夠大時(shí)，他們的和呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特點(diǎn)。因此，3次拋擲的總共落地位置可以表示為：Sum=X1+X2+X3根據(jù)中心極限定理，我們可以得到：Sum～N(0,3)所以，總共落地位置與平均落地位置之間的差距可以表示為：Difference=Sum-3*X?根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，我們知道均值為0的正態(tài)分布減去均值為μ的正態(tài)分布的期望值為0，即：E[Difference]=E[Sum-3*X?]=E[Sum]-E[3*X?]=0-0=0所以，總共落地位置與平均落地位置之間的差距的期望值為0。這意味著平均而言，總共落地位置與平均落地位置沒有偏移。例題2某超市每天出售的可樂數(shù)量服從均值為1000，標(biāo)準(zhǔn)差為10的正態(tài)分布。今天超市售出的可樂數(shù)量為2000瓶，求今天超市售出的可樂數(shù)量與平均值之間的差距。解：設(shè)今天超市售出的可樂數(shù)量為X，平均值為X?。由題意可知，X服從均值為1000，標(biāo)準(zhǔn)差為10的正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)量足夠大時(shí)，他們的和呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特點(diǎn)。我們知道，每天超市售出的可樂數(shù)量與平均值之間的差距可以表示為：Difference=X-X?根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，我們知道均值為μ的正態(tài)分布減去均值為μ的正態(tài)分布的期望值為0，即：E[Difference]=E[X-X?]=0所以，今天超市售出的可樂數(shù)量與平均值之間的差距的期望值為0。這意味著平均而言，今天超市售出的可樂數(shù)量與平均值沒有偏移。例題3某批電池的壽命服從均值為200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為20小時(shí)的正態(tài)分布。從這批電池中隨機(jī)抽取n個(gè)電池，求這n個(gè)電池的壽命總和與理論總和之間的差距。解：設(shè)n個(gè)電池的壽命分別為X1,X2,…,Xn，理論總和為n*μ，平均壽命為μ。由題意可知，X1,X2,…,Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且服從均值為200，標(biāo)準(zhǔn)差為20的正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的數(shù)量足夠大時(shí)，他們的和呈現(xiàn)出正態(tài)分布的特點(diǎn)。所以，n個(gè)電池的壽命總和可以表示為：Sum=X1+X2+…+Xn根據(jù)中心極限定理，我們可以得到：Sum～N(n*μ,n*σ^2)我們知道理論總和為n*μ，所以這n個(gè)電池的壽命總和與理論總和之間的差距可以表示為：Difference=Sum-n*μ根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，我們知道均值為μ的正態(tài)分布減去均值為μ的正態(tài)分布的期望值為0，即：E[Difference]=E[Sum-n*μ]=E[Sum]-E[n*μ]=0-n*μ=-