《18.2 正方形的性質(zhì)、正方形的判定》課件（含習(xí)題）

18.2.3正方形第十八章平行四邊形第1課時(shí)正方形的性質(zhì)情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解正方形既具有矩形的性質(zhì)，又具有菱形的性質(zhì).2.會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計(jì)算問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）導(dǎo)入新課圖片引入觀察這些圖片，你有什么發(fā)現(xiàn)？這些四邊形有什么共同特征？各邊相等，四個(gè)角都是直角……講授新課正方形的性質(zhì)合作探究

矩形正方形〃〃問題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?問題2：菱形怎樣變化后就成了正方形呢?正方形矩形〃〃正方形鄰邊相等〃〃

發(fā)現(xiàn)：一組鄰邊相等的矩形是正方形

菱形一個(gè)角是直角正方形∟

發(fā)現(xiàn)：一個(gè)角為直角的菱形是正方形正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.探究小結(jié)矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.歸納平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系A(chǔ)BCD填一填：角：

邊：

對(duì)角線：

對(duì)稱性：

四個(gè)角都是直角.四條邊相等.對(duì)角線相等且互相垂直平分.aaaa軸對(duì)稱圖形（4條對(duì)稱軸）.正方形的性質(zhì)邊角對(duì)角線對(duì)稱性圖形語言

文字語言

符號(hào)語言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟對(duì)邊平行，四條邊都相等

四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OC,OB=OD軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形

例1求證:正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO

是全等的等腰直角三角形.分析:利用正方形的性質(zhì),對(duì)角線互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.平分可以產(chǎn)生線段等量關(guān)系,垂直可以產(chǎn)生直角,于是可以得到四個(gè)全等的等腰直角三角形.典例精析ADCBO證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且

△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO

如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在對(duì)角線AC上,那么BE與DE相等嗎?為什么?解:BE=DE.理由如下：連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC垂直平分BD

又點(diǎn)E在AC上

∴BE=DEABCDE還可以用其他方法說明，試試看.做一做例2已知：如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵∠EBC=∠ECB=∠CEB=60°∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∠ABE=∠DCE=30°∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°如圖,點(diǎn)E是正方形ABCD邊BC上延長線上一點(diǎn)，且CE=AC，若AE交CD于點(diǎn)F，求∠E和∠AFC的度數(shù).ABCDEF解：∠E=22.5°，∠AFC=112.5°.做一做例3如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長線上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFE∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)延長BE交DE于點(diǎn)M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°

,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°

,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.ABDFECM1．在正方形ABCD中,∠ADB=

,∠DAC=

,

∠BOC=

.2.在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第1題第2題45°當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，ABCD是一塊正方形場(chǎng)地.小華和小芳在AB邊上取定了一點(diǎn)E，測(cè)量知，EC=30m，EB=10m.這塊場(chǎng)地的面積和對(duì)角線分別是多少？解：根據(jù)勾股定理：

BC2=EC2-EB2=302–102=800

∴BC=∴這塊場(chǎng)地的面積=

對(duì)角線AC=3010DAEBC解：∵△ABE是等邊三角形.∴AB=AE=BE,

∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°.

又∵四邊形ABCD是正方形.∴AD=BC=AE=BE,

∠DAB=∠ABC=90°.∴∠DAE=∠CBE=150°.∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.4.如圖，已知正方形ABCD

,以AB為邊向正方形外作等邊△ABE,連結(jié)DE

、

CE

,求∠DEC的度數(shù).5.已知：如圖所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共頂點(diǎn)A，把正方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)DG、BE.試說明：DG＝BE.證明：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AB，AG=EF又由旋轉(zhuǎn)可得∠DAG=∠BAE∴△DAG≌△BAE（SAS)∴DG=BE6.在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，求PE+PF的值.ABCDEPFO解：連接PO∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO=BO=AC.∵S△APO+S△BPO=S△ABO∴AO·PE+BO·PF=AO·BO∴PE+PF=AO=AC=5.課堂小結(jié)1.四個(gè)角都是直角2.四條邊都相等3.對(duì)角線相等且互相垂直平分正方形的性質(zhì)性質(zhì)定義有一組鄰相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形第十八章平行四邊形18.2.3正方形第2課時(shí)正方形的判定情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握正方形的判定方法．（重點(diǎn)）2．會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算

.(難點(diǎn))問題：什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？ABCD正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角;

②四條邊都相等; ③對(duì)角線相等且互相垂直平分.O導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入講授新課正方形的判定活動(dòng)1：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，得到一個(gè)四邊形.問題1：折疊后得到的特殊四邊形是什么四邊形？為什么？正方形活動(dòng)2：把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形框架的形狀.問題2：經(jīng)過變化后得到特殊四邊形是什么四邊形？正方形正方形判定的兩條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件菱形條件(1)(2)一個(gè)直角一組鄰邊相等總結(jié)歸納對(duì)角線相等對(duì)角線垂直在四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CDB．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD．AO=CO，BO=DO，AB=BC練一練CABCDO例1在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?MN證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，

∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個(gè)角是直角即可.典例精析在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN

∠A=∠B=∠C=∠D

AN=BE=CF=DM

∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM

∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF

∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.

∴四邊形EFMN是正方形.MN證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°∴四邊形ADFC是矩形.過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB∴DE=DG同理：DG=DF∴ED=DF∴四邊形ADFC是正方形.例2如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG例3如圖，EG,FH過正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACBOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACBOEHGF做一做：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形、正方形各邊中點(diǎn)能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH當(dāng)堂練習(xí)1.下列命題正確的是（）A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形2．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四邊形DC3.以△ABC的邊AB、AC為邊的等邊三角形ABD和等邊三角形

ACE，四邊形ADFE是平行四邊形.（1）當(dāng)∠BAC等于

時(shí)，四邊形ADFE是矩形；（2）當(dāng)∠BAC等于

時(shí)，平行四邊形ADFE不存在；（3）當(dāng)△ABC分別滿足什么條件時(shí)，ADFE是菱形、正方形？BCAEFD解:（3）AB=AC時(shí)，平行四邊形ADFE時(shí)菱形；AB=AC且∠BAC=150°時(shí)，平行四邊形ADFE是正方形.150°60°60°60°4.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對(duì)角線BD平分

ABC

,

P是BD上一點(diǎn)