上海市浦東新區(qū)上海實驗學(xué)校2024屆高三下學(xué)期2月測驗數(shù)學(xué)試卷（教師版）

上海實驗學(xué)校高三數(shù)學(xué)測驗試卷一、填空題（本大題滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.已知集合，全集，則_________．【答案】【解析】【分析】利用集合的補集求解.【詳解】解：集合，全集，所以，故答案為：2.雙曲線的漸近線方程為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到，從而得到漸近線方程.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其焦點在軸上，且，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：3.設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)_________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正態(tài)分布的對稱性列式計算即得.【詳解】由正態(tài)分布的對稱性，得，所以.故答案為：24.若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個根，則_________．【答案】【解析】【分析】由題意可將代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方以及復(fù)數(shù)的相等，即可求得，即得答案.【詳解】由題意是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個根，則，即，即得，故，故答案為：5.若關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，不等式為，顯然不符合題意；當(dāng)時，因為關(guān)于的不等式的解集為，所以有，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：6.若一個圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，且該圓柱的上、下底面都在球的球面上，則球的表面積為_________．【答案】【解析】【分析】求出圓柱的母線長后可求軸截面對角線的長，故可求外接球的表面積.【詳解】設(shè)圓柱的母線長為，則，故，故圓柱的外接球的直徑為圓柱軸截面矩形對角線的長，故外接球的表面積為，故答案：.7.若，則正整數(shù)的值為_________．【答案】5或7【解析】【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)得到，列出方程，求出答案.【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)：，可得，則，所以或，解得或.故答案為：5或78.已知為無窮等比數(shù)列，，，則的公比為_________．【答案】##【解析】【分析】由題意知，，再利用無窮等比數(shù)列和的公式求解即可.【詳解】因為無窮等比數(shù)列，，則，，又，所以，解得或（舍）.故答案為：.9.記函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則當(dāng)時，的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的最小正周期，得到為最小正周期的，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)關(guān)于的某條對稱軸對稱時取得最小值，不妨令，得到，，得到答案.【詳解】的最小正周期，由于，為最小正周期的，要想取得最小值，則在上不單調(diào)，由對稱性可知，所以當(dāng)關(guān)于的某條對稱軸對稱時，取得最小值，其對稱軸為，所以當(dāng)時，取得最值，不妨令，則，解得，故，故的最小值為.故答案為：10.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，它在區(qū)間上的圖像為如圖所示的線段，則方程的最大實數(shù)根的值為_________．【答案】【解析】【分析】由的奇偶性及對稱性可得周期性及圖象，由可得，求方程的根即求交點的橫坐標(biāo)，觀察圖象可得轉(zhuǎn)化為求（）即可.【詳解】由圖象知，設(shè)的方程為，則，則的方程為：（），又因為是偶函數(shù)，所以當(dāng)時，則，所以，由，可得的圖象關(guān)于直線對稱，又，所以，所以的周期．因為，所以，則方程的根為交點的橫坐標(biāo).則作出函數(shù)和的大致圖象如圖，由圖象知，，，則當(dāng)時，方程取得最大根，當(dāng)時，，，由得，即，解得（舍）或.故答案為：.11.平面直角坐標(biāo)系中，、兩點到直線和的距離之和均為．當(dāng)最大時，的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】利用點到直線的距離公式可得：，通過分類討論可知：點的運動軌跡是如圖所示的正方形的4條邊．結(jié)合向量運算即可得到最小值．【詳解】先求符合的軌跡：設(shè)動點，則由題意，，即，如圖，按區(qū)域①-④去絕對值討論：①區(qū)域中，，化為，；②區(qū)域中，且，化為，；③區(qū)域中，，化為，；④區(qū)域中，且，化為，；如圖，軌跡為一個正方形，即點的運動軌跡為如圖正方形的四條邊．當(dāng)最大時，有，（為中點），所以的最小值的等價于最小時，顯然當(dāng)正方形①或④中的邊時，，所以.故答案為：.12.已知數(shù)列滿足：對任意，都有，，設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為_________．【答案】【解析】【分析】首先求第二項，再找到可行數(shù)列，再證明可行性，即可求解.【詳解】若，則，得，若，與矛盾，只能?。⒁獾揭粋€可行的數(shù)列為0，，1，，2，，3，…下面證明該數(shù)列使達(dá)到最大：為此，我們證明：當(dāng)為奇數(shù)時，，假設(shè)存在某正奇數(shù)使，則分為兩種可能：①若，則，；同時，按原數(shù)列要求，，，故.注意到該數(shù)列顯然為整數(shù)數(shù)列，故當(dāng)為奇數(shù)時，不存在整數(shù)能位于該區(qū)間,因此矛盾．②若，則，，與矛盾；綜上，原假設(shè)不成立，故當(dāng)為奇數(shù)時，.而已經(jīng)找到的數(shù)列0，，1，，2，，3，…中等號全部成立，故的最大值為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是找到可行數(shù)列，再結(jié)合推理證明可行性.二、選擇題（本大題滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）13.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)a和b的關(guān)系，通過移項，化簡，平方依次判斷選項是否正確.【詳解】由，且知，則，故A錯誤；，故B錯誤；由得，即，故C錯誤；，即，故D正確.故選：D.14.空間向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩個向量的坐標(biāo)，結(jié)合投影向量概念，可以通過計算得出結(jié)果.【詳解】與方向相同的單位向量為，由，，則，，所以向量在向量上投影向量為.故選：A.15.全概率公式在敏感性問題調(diào)查中有著重要應(yīng)用．例如某學(xué)校調(diào)查學(xué)生對食堂滿意度的真實情況，為防止學(xué)生有所顧忌而不如實作答，可以設(shè)計如下調(diào)查流程：每位學(xué)生先從一個裝有3個紅球，6個白球的盒子中任取3個球，取到至少一個紅球的學(xué)生回答問題一“你出生的月份是否為3的倍數(shù)？”，未取到任何紅球的學(xué)生回答問題二“你對食堂是否滿意？”．由于兩個問題的答案均只有“是”和“否”，而且回答的是哪個問題他人并不知道（取球結(jié)果不被看到即可），因此理想情況下學(xué)生應(yīng)當(dāng)能給出符合實際情況的答案．已知某學(xué)校800名學(xué)生參加了該調(diào)查，且有250人回答的結(jié)果為“是”，由此估計學(xué)生對食堂的實際滿意度大約為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用全概率公式可求答案.【詳解】設(shè)學(xué)生對食堂的實際滿意度為，事件“回答問題一”，事件“回答的結(jié)果為是”.,,，由全概率公式可得，即，解得.故選：A.16.函數(shù)，其中P，M為實數(shù)集的兩個非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個判斷：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確判斷有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義，結(jié)合特殊值，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對①：取，，滿足，但，，，故①錯誤；對②：若，由函數(shù)定義可得，所以，故②正確；對③：取，，滿足，但，，，故③錯誤；對④：假設(shè)，且，則存在，則所以所以，且，若，則，所以，所以，矛盾，假設(shè)不成立；若，則，矛盾，假設(shè)不成立；所以若，則，故④正確.故選：B.三、解答題（本大題滿分78分）17.如圖，已知圓錐的頂點為，底面圓心為，高為3，底面半徑為2．（1）求該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角；（2）設(shè)、為該圓錐的底面半徑，且，為線段的中點，求直線與直線所成的角的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）由圓錐的高和底面半徑求出母線長，利用扇形圓心角公式即可求得側(cè)面展開圖的圓心角；（2）作出異面直線與所成角的平面角，即可求出直線與直線所成的角的大小.【小問1詳解】由圓錐性質(zhì)可知平面，易知高，底面半徑，可得母線長，所以圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小.【小問2詳解】取的中點為，連接，，如下圖所示：因為為線段的中點，所以，因此（或其補角）就是直線與直線所成的角，又，即，，且，平面，，即平面，所以平面，即；在直角中，易知，，，，因此即直線與直線所成的角的大小為.18.已知函數(shù)，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角A所對邊，角所對邊，若，求的面積．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式得到，利用換元法求出單增區(qū)間；（2）先求出，利用余弦定理求出c，即可求出三角形的面積.【小問1詳解】.令，則.因為在單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.即的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由，可得：.因為，所以，所以時，；時，.但此時，，所以，所以，不符合三角形內(nèi)角和定理，舍去.所以在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：或.當(dāng)時，;當(dāng)時，.所以的面積為或.19.環(huán)境監(jiān)測部門為調(diào)研汽車流量對空氣質(zhì)量的影響，在某監(jiān)測點統(tǒng)計每日過往的汽車流量（單位：輛）和空氣中的的平均濃度（單位：）．調(diào)研人員采集了50天的數(shù)據(jù)，制作了關(guān)于的散點圖，并用直線與將散點圖分成如圖所示的四個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，落入對應(yīng)區(qū)域的樣本點的個數(shù)依次為6，20，16，8．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷至少有多大把握認(rèn)為“平均濃度不小于與“汽車日流量不小于1500輛”有關(guān)；

汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度

的平均濃度

合計

（2）經(jīng)計算得回歸方程為，且這50天的汽車日流量的標(biāo)準(zhǔn)差，的平均濃度的標(biāo)準(zhǔn)差．①求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值；②若這50天的汽車日流量滿足，試推算這50天的日均濃度的平均數(shù)．（精確到0.1）參考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828回歸方程，其中．相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為與有較強的線性相關(guān)性．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，至少有的把握；（2）①0.84，有價值；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，再計算，結(jié)合表格即可求得結(jié)果.（2）代入公式計算可判斷與的相關(guān)性強弱，由可得，結(jié)合回歸直線必過樣本中心可求得的值.【小問1詳解】列聯(lián)表如下：

汽車日流量汽車日流量合計的平均濃度16824的平均濃度62026合計222850零假設(shè)：“PM2.5平均濃度不小于100μg/m3”與“汽車日流量不小于1500輛”無關(guān)，因為，所以至少有的把握（但還不能有的把握）認(rèn)為“平均濃度不小于”與“汽車日流量不小于1500輛有關(guān)”．【小問2詳解】①因為回歸方程為，所以，又因為，，所以．與有較強的相關(guān)性，該回歸方程有價值．②，解得而樣本中心點位于回歸直線上，因此可推算.20.已知橢圓左、右焦點分別是，其離心率，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1．（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點，設(shè)直線的斜率分別為，若，證明：為定值，并求出這個定值；（3）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，設(shè)的角平分線交橢圓的長軸于點，求的取值范圍．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)通徑的長可得，根據(jù)離心率可得，故可求后可得橢圓的方程.（2）設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用判別式為零可求斜率，從而可證為定值.（3）利用角平分線性質(zhì)、點到直線的距離和在橢圓上可得，據(jù)此可求的范圍.【小問1詳解】由于，將代入橢圓方程，得．由題意知，即．又，，所以，．所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)，則直線的方程為．聯(lián)立得，整理得由題意得，即．又，所以，故．又知，所以，因此為定值，這個定值為．【小問3詳解】設(shè)，又，，所以直線的方程分別為，．由題意知，由于點在橢圓上，所以．所以，結(jié)合整理得到：，而，故，而在之間，故，故即，因此．【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線中的定值問題，有下面幾種方法：（1）用圓錐曲線上的動點表示目標(biāo)代數(shù)式，然后利用動點滿足的方程化簡目標(biāo)，從而得到定值；（2）通過聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，然后用參數(shù)（如斜率、截距等）表示目標(biāo)代數(shù)式，利用參數(shù)滿足的等量關(guān)系化簡前者可得定值.（3）適當(dāng)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合一些平面幾何知識可得定值.21.設(shè)函數(shù)的定義域為開區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．（1）判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；（2）設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；（3）設(shè)，求證：對任意實數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”【答案】（1）是，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）記，設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再證明直線與的圖象只有唯一的公共點，將與函數(shù)聯(lián)立，得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解．（2）將點處的切線的方程與聯(lián)立得，記，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)存在唯一零點，即可得證；（3）類似第（2）問的思路得到在上有且僅有一解，則或，再分、兩種情況說明即可.【小問1詳解】記，則，設(shè)切點，由切線方程為知，則，解得．所以切點為，下面證明直線與的圖象只有唯一的公共點，將與函數(shù)聯(lián)立，得．記，則，當(dāng)時，當(dāng)時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故函數(shù)只有一個零點，故是一條“切線”；【小問2詳解】因為，所以，則點處的切線方程為，將點處的切線的方程與聯(lián)立得，記，則直線為“切線”函數(shù)有且僅有一個零點（此時，一個對應(yīng)一條“切線”），顯然是的零點，