2022年河南省鄭州市第四十二中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2022年河南省鄭州市第四十二中學高二數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合常見函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性依次分析選項中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】對于A，，是偶函數(shù)，在不是增函數(shù)，不符合題意；對于B，，，是偶函數(shù)，在是減函數(shù)，不符合題意；對于C，，其定義域為，不是偶函數(shù)，不符合題意；對于D，，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，符合題意；故選D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，注意常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎題．2.已知點M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），動圓C與直線MN切于點B，過M、N與圓C相切的兩直線相交于點P，則P點的軌跡方程為（）A．

(x＜-1)

B．(x＞1)C．(x＞0)

D．(x＞1)參考答案：B【考點】雙曲線的標準方程．【分析】先由題意畫出圖形，可見⊙C是△PMN的內(nèi)切圓，則由切線長定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此時求|PM|﹣|PN|可得定值，即滿足雙曲線的定義；然后求出a、b，寫出方程即可（要注意x的取值范圍）．【解答】解：由題意畫圖如下可見|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，所以點P的軌跡為雙曲線的右支（右頂點除外），又2a=2，c=3，則a=1，b2=9﹣1=8，所以點P的軌跡方程為（x＞1）．故選B．3.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.參考答案：B分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.詳解：為奇函數(shù)，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此選B.點睛：有關函數(shù)圖象識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．4.與橢圓共焦點且過點的雙曲線方程是

（

）A

B

C

D

參考答案：A5.(理)

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知向量,，若向量與向量共線，則的值為A．

B．

C．

D．參考答案：D7.在R上定義運算：,則滿足＜0的實數(shù)x的取值范圍為（

）A.（0,2）

B.（—2,1）

C.

D.（—1,2）參考答案：B略8.已知f（x）是可導的函數(shù)，且f′（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，則（）A．f（1）＜ef（0），f B．f（1）＞ef（0），fC．f（1）＞ef（0），f D．f（1）＜ef（0），f參考答案：D【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性即可得出．【解答】解：知f（x）是可導的函數(shù)，且f′（x）＜f（x）對于x∈R恒成立，即f′（x）﹣f（x）＜0恒成立，令g（x）=，則g′（x）==＜0．∴函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞減．∴g（1）＜g（0），g．即，＜，化為f（1）＜ef（0），f．故選：D．9.不等式x(2－x)＞3的解集是()A．{x|－1＜x＜3}

B．{x|－3＜x＜1}C．{x|x＜－3或x＞1}

D．?參考答案：D略10.已知雙曲線的兩個焦點是F1和F2，則（

）A. B.2 C.3 D.4參考答案：D【分析】根據(jù)雙曲線的方程，可直接得出焦距.【詳解】因為雙曲線方程為，所以其焦距為.故選D【點睛】本題主要考查求雙曲線的焦距，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于基礎題型.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的最小值為

參考答案：3略12.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)a=

參考答案：0

略13.某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元。要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是

;參考答案：30由題意可得：一年的總運費與總存儲費用之和（萬元）.當且僅當，即時取等號14.函數(shù)，若對于區(qū)間上的任意，都有，則實數(shù)的最小值是__________．參考答案：2015.過定點（－1,0）可作兩條直線與圓x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0相切，則k的取值范圍是▲.參考答案：(－9，－1)∪(4，＋∞)

略16.已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，則|a＋bi|＝________.參考答案：1＋2i由復數(shù)相等的定義求得a，b的值，即得復數(shù)．由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.17.已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為

▲

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知集合，，若集合有且只有一個元素，則實數(shù)的取值范圍是

.V（本小題滿分12分）在公差不為0的等差數(shù)列中，，且依次成等差數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列的公差；（Ⅱ）設為數(shù)列的前項和，求的最小值，并求出此時的值參考答案：略19.已知曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求a，b值.（Ⅱ）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)【分析】（Ⅰ）利切點為曲線和直線的公共點，得出，并結(jié)合列方程組求出實數(shù)、的值；（Ⅱ）解法1：由，得出，將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的圖象有兩個交點時，求出實數(shù)的取值范圍，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，借助數(shù)形結(jié)合思想得出實數(shù)的取值范圍；解法2：利用導數(shù)得出函數(shù)的極小值為，并利用極限思想得出當時，，結(jié)合題意得出，從而得出實數(shù)的取值范圍。【詳解】（Ⅰ），，；（Ⅱ）解法1：，函數(shù)有兩個零點，相當于曲線與直線有兩個交點.，當時，在單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞增，時，取得極小值，又時，；時，，；解法2：，，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在上單調(diào)遞增，時，取得極小值，又時，，.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的零點個數(shù)問題，對于直線與函數(shù)曲線相切的問題，一般要抓住以下兩點：（1）切點為切線和函數(shù)曲線的公共點，于此可列等式；（2）導數(shù)在切點處的導數(shù)值等于切線的斜率。

20.已知點A（2，0）是橢圓C：的右頂點，且橢圓C的離心率為．過點M（﹣3，0）作直線l交橢圓C于P、Q兩點．（1）求橢圓C的方程，并求出直線l的斜率的取值范圍；（2）橢圓C的長軸上是否存在定點N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】綜合題；方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）根據(jù)離心率e==，長軸右端點為A，求出幾何量a，b，c，即可求橢Γ的方程；設直線l的方程為：y=k（x+3），聯(lián)立橢圓方程，運用判別式大于0，解不等式即可得到所求范圍；（2）假設存在定點N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即kPN+kQN=0恒成立．運用直線的斜率公式，化簡整理，結(jié)合韋達定理，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）由已知得，解得，則橢圓C得方程；設直線l的方程為：y=k（x+3），則聯(lián)立，得（1+4k2）x2+24k2x+36k2﹣4=0，由△＞0，解得；（2）假設存在定點N（n，0），使得∠PNM=∠QNA恒成立，即kPN+kQN=0恒成立．設點P（x1，y1），Q（x2，y2），由（1）知，==，得，故存在定點．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．21.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知側(cè)面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1)求證：C1B⊥平面ABC；

（2）設=l(0≤l≤1)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角

的大小為30°，試求l的值.參考答案：解：（1）因為側(cè)面,側(cè)面，故,在中,由余弦定理得：，所以，

故,所以,而平面（2）由（1）可知，兩兩垂直.以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系.

則，,.所以,所以,則.

設平面的法向量為，則由,得,即，令，則是平面的一個法向量.

側(cè)面,是平面的一個法向量，.兩邊平方并化簡得，所以=1或（舍去）略22.(本小題滿分10分)已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．(1)證明：PF⊥FD；(2)判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．參考答案：試題分析：解法一（向量法）

（I）建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，分別