2023-2024學(xué)年通化市梅河口五中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2024學(xué)年通化市梅河口五中高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試卷（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）2024.02一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到平面的距離為（

）A．1 B．3 C．7 D．2．若直線與垂直，則（

）A． B．2 C． D．3．已知圓：，過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則其公比（

）A．1 B．2 C．3 D．46．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（

）A．2 B．4 C．3 D．57．從直線x－y＋3＝0上的點(diǎn)向圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A． B． C． D．8．已知直線與雙曲線無公共交點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說法正確的是（

）A．甲、乙、丙三位同學(xué)爭(zhēng)著去參加一個(gè)公益活動(dòng)，抽簽決定誰去，則先抽的概率大些B．若事件A發(fā)生的概率為，則C．如果事件A與事件B互斥，那么一定有D．已知事件A發(fā)生的概率為，則它的對(duì)立事件發(fā)生的概率0.710．已知直線，圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)在直線上 B．點(diǎn)在圓上C．直線與圓相離 D．直線與圓相切11．已知數(shù)列滿足，，，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．12．已知為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，記線段，的長(zhǎng)分別為，，則（

）A．若，的斜率分別為，，則B．C．的最小值為D．的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．有5個(gè)相同的球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次性取出2個(gè)球，則事件“2個(gè)球顏色不同”發(fā)生的概率為14．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為．15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．16．曲線，若直線與曲線C有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，則的范圍為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．隨科技創(chuàng)新方面的發(fā)展，我國高新技術(shù)專利申請(qǐng)數(shù)也日益增加，2015年到2019年我國高新技術(shù)專利申請(qǐng)數(shù)的數(shù)據(jù)如表所示（把2015年到2019年分別用編號(hào)1到5來表示）.年份編號(hào)x12345專利申請(qǐng)數(shù)y（萬件）1.61.92.22.63.0(1)求高新技術(shù)專利申請(qǐng)數(shù)y關(guān)于年份編號(hào)x的回歸方程；(2)由此線性回歸方程預(yù)測(cè)2022年我國高新技術(shù)專利申請(qǐng)數(shù).附：，.18．已知斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且被拋物線所截得的弦的長(zhǎng)為．(1)求拋物線的方程；(2)求以拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為圓心，且與直線相切的圓的方程．19．已知圓，圓，若動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切．(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)直線l與（1）中軌跡C相交于A，B兩點(diǎn)，若Q為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．20．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)不過原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，若，求的值.21．如圖所示，在幾何體中，平面，點(diǎn)在平面的投影在線段上，，，，平面.(1)證明：平面平面.(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).22．已知為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，證明：直線必過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．1．B【分析】點(diǎn)到平面的距離即為y軸坐標(biāo)的絕對(duì)值.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到平面的距離.故選：B2．A【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件得解.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得，故選：A3．B【分析】求出圓的圓心與半徑，利用圓心到的距離與半徑、切線長(zhǎng)滿足勾股定理，求出切線長(zhǎng)即可．【詳解】圓：，即，圓心坐標(biāo)，半徑為3，圓心到的距離為5，所以切線長(zhǎng)為．故選：B4．B【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.5．C【分析】首先可以得出，其次利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及它的前n項(xiàng)和為的基本量的運(yùn)算即可求解.【詳解】注意到，，首先，（否則，矛盾），其次，，兩式相比得，解得.故選：C.6．C【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),漸近線方程，利用點(diǎn)線距即可求得答案.【詳解】雙曲線可得:,可得:可得焦點(diǎn)為,點(diǎn)F到漸近線的距離為:故選:C.7．B【詳解】設(shè)直線上的點(diǎn)為，已知圓的圓心和半徑分別為，則切線長(zhǎng)為，故當(dāng)時(shí)，，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：本題求解時(shí)先設(shè)直線上動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理建立圓的切線長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出其最小值，從而使得問題獲解．本題的求解過程綜合運(yùn)用了函數(shù)思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．8．D【分析】根據(jù)直線與雙曲線無公共點(diǎn)，結(jié)合直線與漸近線的位置關(guān)系，列不等式求解即可.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，因?yàn)橹本€與C無公共點(diǎn)，所以，即，所以，又，所以C的離心率的取值范圍為.故選：D.

9．BD【分析】根據(jù)隨機(jī)抽樣的概念判斷A，根據(jù)概率的性質(zhì)判斷B，根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概率公式判斷CD.【詳解】對(duì)于A，甲、乙、丙三位同學(xué)抽簽決定誰去，則每位同學(xué)被抽到的概率都是，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由概率的性質(zhì)可知，，故B正確；對(duì)于C，如果事件A與事件對(duì)立，那么一定有，但互斥事件不一定對(duì)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槭录嗀發(fā)生的概率為，所以它的對(duì)立事件發(fā)生的概率，故D正確.故選：BD10．ABD【分析】將點(diǎn)M代入直線和圓的方程，根據(jù)是否滿足方程即可判斷在不在直線和圓上，根據(jù)距離等于半徑，可推斷直線與圓相切.【詳解】解：將點(diǎn)代入直線l的方程，滿足，所以點(diǎn)M在圓C上，A選項(xiàng)正確；將點(diǎn)代入圓C的方程，滿足，所以點(diǎn)M在圓C上，B選項(xiàng)正確；圓心到直線的距離直線與圓相切，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11．BCD【分析】直接已知式中由求得，判斷A選項(xiàng)，變形后可判斷B選項(xiàng)，由B選項(xiàng)結(jié)論求出，并得出，判斷C選項(xiàng)，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求和判斷D選項(xiàng)．【詳解】時(shí)，，而，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；，即，又，故B選項(xiàng)正確；，故選項(xiàng)正確；，故D選項(xiàng)正確.故選：BCD．12．AD【分析】先求出雙曲線的漸近線方程：，設(shè)點(diǎn)，，利用點(diǎn)線距離公式求出，，再利用直線之間的關(guān)系求出直線，的斜率，結(jié)合選項(xiàng)選出正確答案即可．由均值不等式及為定值可判斷C正確，由余弦定理可得的最小值，判斷D正確．【詳解】如圖所示，設(shè)，，則．由題設(shè)條件知：雙曲線的兩漸近線：，．設(shè)直線，的斜率分別為，，則，，所以，故選項(xiàng)正確；由點(diǎn)線距離公式知：，，，故B錯(cuò)誤；，所以C錯(cuò)誤；由四邊形中，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D正確，故選：AD．13．##0.6【分析】計(jì)算出從中一次性取出2個(gè)球，共有的情況數(shù)以及2個(gè)球顏色不同的情況數(shù)，從而求出概率.【詳解】從中一次性取出2個(gè)球，共有的情況數(shù)為種，其中事件“2個(gè)球顏色不同”發(fā)生的情況有種，故事件“2個(gè)球顏色不同”發(fā)生的概率為.故答案為：.14．【分析】由，可求出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，，所以，所以，雙曲線漸近線方程為：.故答案為：15．【分析】利用求解即可.【詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和，可得；時(shí)，，不滿足，則，故答案為：.16．【分析】結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)分類討論可得曲線的具體形狀，畫出圖形結(jié)合圖象性質(zhì)可得，求出的范圍即可得的范圍.【詳解】當(dāng)，可得曲線方程為，為圓的一部分；當(dāng)，可得曲線方程為，為雙曲線的一部分；當(dāng)，可得曲線方程為，為雙曲線的一部分；當(dāng)，曲線方程為，不存在這樣的曲線；作出曲線得圖象，如圖所示；直線與曲線C有兩個(gè)不同公共點(diǎn)為，所以兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，又點(diǎn)在直線上，所以，又，所以，而由直線與曲線C有兩個(gè)不同公共點(diǎn)可得，所以.故答案為：17．(1)(2)2022年我國高新技術(shù)專利數(shù)為4.01萬件.【分析】（1）結(jié)合表格數(shù)據(jù)，題干附錄公式即可求出回歸方程；（2）結(jié)合（1）中回歸方程，帶入2022年對(duì)應(yīng)的年份編號(hào)x即可.【詳解】（1）由已知可得，，于是，，所以回歸方程為.（2）由（1）知，又2022年對(duì)應(yīng)的是編號(hào)8，所以2022年我國高新技術(shù)專利申請(qǐng)數(shù)（萬件），即可以預(yù)測(cè)2022年我國高新技術(shù)專利數(shù)為4.01萬件.18．(1)(2)【分析】（1）首先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用焦點(diǎn)弦公式求出，即可得解；（2）由（1）可得，直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離求出半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）解：由已知得點(diǎn)，直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，設(shè)，，則，所以，解得，拋物線的方程為．（2）解：由（1）可得，直線的方程為，圓的半徑，圓的方程為．19．(1)(2).【分析】（1）利用兩圓內(nèi)外切的充要條件可求出動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離，再運(yùn)用橢圓的定義判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最后對(duì)軌跡上的特殊點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)，去除不符題意的點(diǎn)即得；（2）利用橢圓的中點(diǎn)弦問題運(yùn)用“點(diǎn)差法”即可求出弦的斜率即得直線方程.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，動(dòng)圓M與圓F1外切，與圓F2內(nèi)切，，且，于是，

動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，故，，橢圓方程為

又因當(dāng)M點(diǎn)為橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，動(dòng)圓M不存在，故不合題意舍去，故動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為；（2）設(shè)，由題意，顯然，則有，，兩式作差可得，即有，又Q為線段AB的中點(diǎn)，則有，代入即得直線l的斜率為，

直線l的方程為，整理可得直線l的方程為.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）由拋物線過點(diǎn)，且，得所以拋物線方程為；（2）由不過原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立得，所以，所以，所以因?yàn)椋?，則，，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去；所以實(shí)數(shù)的值為.21．(1)證明見解析(2)2或3【分析】（1）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，由題意及正弦定理可得，結(jié)合，可證明結(jié)論；（2）由（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面與平面的夾角的余弦值為【詳解】（1）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，由題知平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為矩形，所?因?yàn)?，，，所以，由正弦定理易知，，所以，又因?yàn)?，且，所以AE⊥平面ADP.因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫鍼CD，所以平面平面；（2）由（1）知，兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，易得：，所以…設(shè)平面的法向量，所以

，令，可得平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，所以，令，可得平面的一個(gè)法向量，…所以，解得，所以.22．(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)三角形的面積和點(diǎn)坐標(biāo)求解出的值，則的值可求，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直接分析即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出的方程并與橢圓方程聯(lián)立得到橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，將斜率關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，從而求解出直線方程中參數(shù)的關(guān)系，由此可求直線所過的定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為，所以且，所以，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）設(shè)，當(dāng)直