第2章 對稱圖形-圓 蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊單元基礎(chǔ)測試(含答案)

【單元測試】第2章對稱圖形——圓（夯實基礎(chǔ)）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若圓O的半徑為4，，則符合題意的圖形可能是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可判斷點A在圓外，進(jìn)而可作出選擇．【詳解】解：∵6＞4，∴點A在圓外，則選項A、B不符合題意，∵6－4=2＜4，∴點A與圓的距離小于半徑，∵選項C中的點A與圓的距離明顯小于半徑，且與2接近，而選項D中的點A與圓距離相比大于2且接近半徑4，∴符合題意的圖形可能是C，故選：C．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵是熟知點與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為r，點與圓心的距離為d，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＞r時，點在圓外．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB是⊙M的直徑，若，，則點B的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點B的坐標(biāo)為（x，y），利用M點為AB的中點得到1＝，0＝，然后求出x、y得到B點坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)點B的坐標(biāo)為（x，y），∵AB是⊙M的直徑，∴M點為AB的中點，∵A（a，b），M（1，0），，∴1＝，0＝，解得：x＝2?a，y＝?b，∴B點坐標(biāo)為（2?a，?b）．故選：A．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，靈活運(yùn)用線段的中點坐標(biāo)公式是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，的弦垂直于，為垂足，，，且，則圓心到的距離是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】連接，過點，分別作與，于，則四邊形是矩形，證明，可得，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)即可求解．【詳解】連接，過點，分別作于，于，則四邊形是矩形，，，，，，（HL），，則，，，，．故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，BC為直徑，BD平分，若，則的度數(shù)為（

）A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】B【分析】首先根據(jù)角平分線的定義及∠ABC的度數(shù)求得∠DBC，再根據(jù)圓周角定理推論得∠BDC=90°，然后求得∠C的度數(shù)，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得答案即可．【詳解】解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，∴∠DBC=20°，∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠C=90°-∠DBC=90°-20°=70°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A=180°-∠C=180°-70°=110°，故選：B．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形及圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．5．如圖，與正方形的兩邊，相切，且與相切于點．若的半徑為4，且，則的長度為（

）A．6 B．5 C． D．【答案】A【分析】作OH⊥AB于H，與正方形的邊AD切于點F，證明四邊形AHOF是正方形，求出DF＝6，然后根據(jù)切線長定理可得答案．【詳解】解：如圖，作OH⊥AB于H，與正方形的邊AD切于點F，則∠OFD＝∠OFA＝90°，∠OHA＝90°，∵∠A＝90°，OH＝OF，∴四邊形AHOF是正方形，∵的半徑為4，且，∴OF＝AF＝OH＝4，AD＝AB＝10，∴DF＝10－4＝6，∵與相切于點，∴DE＝DF＝6，故選：A．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，切線長定理，證明四邊形AHOF是正方形，求出DF是解題的關(guān)鍵．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，則BE的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】連接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，從而知點E在以AC為直徑的⊙Q上，繼而知點Q、E、B共線時BE最小，根據(jù)勾股定理求得QB的長，即可得答案．【詳解】解：如圖，連接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴點E在以AC為直徑的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，當(dāng)點Q、E、B共線時BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是確定E點運(yùn)動的規(guī)律，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題．7．如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【答案】B【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵餐盤看成圓形的半徑大于餐盤的圓心到筷子看成直線的距離為.∴dr，∴直線和圓相交．故選：B【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意：已知⊙O的半徑為r，如果圓心O到直線l的距離是d，當(dāng)d>r時，直線和圓相離，當(dāng)d=r時，直線和圓相切，當(dāng)d<r時，直線和圓相交．8．把邊長為2+的正方形沿過中心的一條直線折疊，兩旁重疊部分恰為正八邊形的一半，則這個正八邊形的邊EF的長為（）A．1 B．2 C． D．2【答案】C【分析】重疊部分為正八邊形的一半，則△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，設(shè)CG=x，則GF=x，B'F=x，從而BC=x+x+x=2+，即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵重疊部分為正八邊形的一半，∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，設(shè)CG=x，則GF=x，B'F=x，∴BG=B'G=x+x，∴BC=x+x+x=2+，∴x=1，∴GF=，故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正八邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)等知識，用參數(shù)x表示出BC的長是解題的關(guān)鍵．9．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2．扇形EAC（陰影部分）的面積為（）A．2π B．4π C．π D．π【答案】A【分析】由正六邊形ABCDEF的邊長為2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，進(jìn)而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，過B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH，得到AC＝2，根據(jù)扇形的面積公式即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長為2，∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，AB＝BC，∴∠BAC（180°﹣∠ABC）（180°﹣120°）＝30°，過B作BH⊥AC于H，∴AH＝CH，BHAB2＝1，在Rt△ABH中，AH，∴AC＝2，同理可證，∠EAF＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∴S扇形CAE2π，∴扇形EAC（陰影部分）的面積為2π，故選：A．【點睛】本題考查的是正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)和扇形面積的計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．10．蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個蒙古包的示意圖，底面圓半徑DE=2m，圓錐的高AC=1.5m，圓柱的高CD=2.5m，則下列說法錯誤的是（）A．圓柱的底面積為4πm2 B．圓柱的側(cè)面積為10πm2C．圓錐的母線AB長為2.25m D．圓錐的側(cè)面積為5πm2【答案】C【分析】由圓錐的側(cè)面積、圓柱側(cè)面積、圓的面積公式、分別求出答案，再進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵底面圓半徑DE=2m，∴圓柱的底面積為：；故A正確；圓柱的側(cè)面積為：；故B正確；圓錐的母線為：；故C錯誤；圓錐的側(cè)面積為：；故D正確；故選：C【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積、圓柱側(cè)面積、圓的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識，正確的進(jìn)行判斷．二、填空題（本大題共有8小題，每題3分，共24分）11．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在圓上，則以點A為一個端點的劣弧有_________，以點A為一個端點的優(yōu)弧有______．【答案】

【分析】根據(jù)小于半圓的弧為劣弧，大于半圓的弧為優(yōu)弧即可求解．【詳解】解：點C在圓上，則以點A為一個端點的劣弧有，以點A為一個端點的優(yōu)弧有，故答案為：，．【點睛】本題考查了圓的基本概念，掌握優(yōu)弧與劣弧的定義是解題的關(guān)鍵．12．把一個球放入長方體紙盒，球的一部分露出盒外，球與紙盒內(nèi)壁都剛好相切，其截面如圖所示，若露出部分的高度為6cm，AF=DE=3cm，則這個球的半徑是_____cm．【答案】15【分析】過作于，交于，連接，設(shè)半徑為，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：過作于，交于，連接，，，設(shè)半徑為，則，，，根據(jù)勾股定理得，，解得：或3（舍，答：這個球的半徑為．故答案為：15．【點睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形．13．如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C均在小正方形的頂點上，點C同時也在上，若點P是的一個動點，則面積的最大值是______．【答案】【分析】連接AC，確定弧AB所在圓的圓心O的位置，過點O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，先求出OA的長，從而求出EF的長，再推出當(dāng)點P運(yùn)動到點E的位置時，三角形APB的面積最大，據(jù)此求解即可．【詳解】解：連接AC，確定弧AB所在圓的圓心O的位置，過點O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，由圖可知，∴，∴，∵要使△APB的面積最大，即點P到AB的距離要最大，∴當(dāng)點P運(yùn)動到點E的位置時，三角形APB的面積最大，∴此時，故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，三角形面積，正確確定出圓心位置是解題的位置．14．如圖，AB是的直徑，C、D是⊙上的兩個動點（點C、D不與A、B重合），在運(yùn)動過程中弦CD的長度始終保持不變，F(xiàn)是弦CD的中點，過點C作于點E．若，，則EF的最大值為______，此時CE的長度為______．【答案】

5

4【分析】延長CE交⊙O于H，連接DH．由三角形的中位線定理可知DH=2EF，推出DH是直徑時，EF的值最大，求之即可．【詳解】解：如圖，延長CE交⊙O于H，連接DH．∵AB⊥CH，∴EC=EH，∵CF=FD，∴EF=DH，∴當(dāng)DH在直徑時，EF的值最大為=5，此時∠DCH=90°，∴CH=，∴CE=4，∴EF最大為5時，EC的長為4，故答案為：5，4．【點睛】本題考查圓周角定理，三角形的中位線定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問題，屬于中考常考題型．15．如圖，AB為⊙O直徑，矩形ACDE的邊DE與⊙O相切，點C在⊙O上，若，，則_____．【答案】【分析】利用直線與圓相切，矩形與梯形中位線的性質(zhì)得出，，則，即求出的值即可求出結(jié)果．將，，用代數(shù)式表示，利用勾股定理建立等式關(guān)系，求解即可．【詳解】如圖，過點作直線相交于點，于點，四邊形是矩形，且，且，．，為⊙直徑，，（梯形的中位線）．，．，，，．，即，整理得，解得（不符合題意）．．故答案為：．【點睛】本題考查直線與圓的相切性質(zhì)問題．涉及直線與圓相切的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、勾股定理等的理解與綜合應(yīng)用能力．涉及直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑；矩形對應(yīng)邊平行且相等，四個角都是直角；梯形中位線等于兩底和的一半；一個直角三角形中，兩個直角邊長的平方加起來等于斜邊長的平方．靈活運(yùn)用相關(guān)知識點建立等式關(guān)系求解是解本題的關(guān)鍵．16．如圖，由六塊相同的含30°角的直角三角尺拼成一個大的正六邊形，內(nèi)部留下一個小的正六邊形空隙，如果該直角三角尺的較短直角邊的長是1分米，那么這個小的正六邊形的面積是_____平方分米．【答案】【分析】求出內(nèi)部留的小正六邊形的邊長，再根據(jù)正六邊形的面積的計算方法進(jìn)行計算即可．【詳解】解：由含30°的直角三角形的性質(zhì)可知斜邊是短直角邊的2倍；根據(jù)拼圖可知，內(nèi)部留下一個小的正六邊形的邊長為1分米，所以它的面積為16（平方分米），故答案為：．【點睛】本題考查正多邊形與圓，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的邊角關(guān)系以及正多邊形與圓的有關(guān)計算方法是解決問題的前提．17．如圖，等腰中，，以A為圓心，以AB為半徑作﹔以BC為直徑作．則圖中陰影部分的面積是______．（結(jié)果保留）【答案】【分析】由圖可知：陰影部分的面積＝半圓CAB的面積-△ABC的面積+扇形ABC的面積-△ABC的面積，可根據(jù)各自的面積計算方法求出面積即可．【詳解】解：∵等腰中，∴BC=2∴S扇形ACB，S半圓CABπ×（1）2，S△ABC=1；所以陰影部分的面積＝S半圓CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC．故答案是：．【點睛】本題主要考查了扇形和三角形的面積計算方法．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．18．第十四屆全運(yùn)會在陜西西安開幕，九年級（2）班李明同學(xué)利用扇形彩色紙，制作了一個圓錐形火炬模型，如圖是火炬模型的側(cè)面展開圖（接痕忽略不計），已知扇形彩色紙的半徑為45cm，圓心角為40°，則這個圓錐的側(cè)面積_______．（結(jié)果保留）【答案】225π【分析】先根據(jù)扇形的面積公式計算出扇形的面積=225π，然后得到圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：∵扇形的面積=()．∴圓錐的側(cè)面積為225π，故答案為：225π．【點睛】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．三、解答題（本大題共有10小題，共66分；第19-24每小題5分，第25-26每小題6分，第27小題10分，第28小題14分）19．按要求作圖(1)如圖1，已知是的直徑，四邊形為平行四邊形，請你用無刻度的直尺作出的角平分線；(2)如圖2，已知是的直徑，點C是的中點，，請你用無刻度的直尺在射線上找一點P，使四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接AD，EC交于點F，作射線OF交于點P，OP即為所求；（2）連接DB，OC交于點E，作射線AE交DC于點P，四邊形即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，連接AD，EC交于點F，作射線OF交于點P，OP即為所求；四邊形ACDE為平行四邊形，，，是的角平分線；（2）如圖2，連接OD，連接DB，OC交于點E，作射線AE交射線DC于點P，四邊形即為所求；點C是的中點，,，，，，在與中，，，，，四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，三線合一，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．如圖，是直角三角形，．(1)利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）．①作的外接圓；②以線段為一邊，在的右側(cè)作等邊三角形；③連接，交于點，連接；(2)在（1）中所作的圖中，若，，則線段的長為______．【答案】(1)作圖見解析；(2)．【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜邊的中點，先做AB的垂直平分線，找出圓心O，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓即可，再分別以A，B為圓心，AB為半徑畫弧交于點D，連接AD，CD，即可做出等邊三角形；（2）證明∠BAD=90°，利用勾股定理求出，再利用等面積法即可求出線段AE的長．【詳解】（1）解：作圖如下：（2）解：∵AB=4，BC=2，△ACD是等邊三角形，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，∴，∴，∴，故線段AE的長為．【點睛】本題考查三角形的外接圓，垂直平分線的作法，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，（1）的關(guān)鍵是掌握直角三角形的外心是直角三角形斜邊的中點，（2）的關(guān)鍵是證明∠BAD=90°．21．對于平面內(nèi)⊙C和⊙C外一點P，若過點P的直線l與⊙C有兩個不同的公共點M，N，點Q為直線l上的另一點，且滿足（如圖1所示），則稱點Q是點P關(guān)于⊙O的密切點．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為2，點P（4，0）．(1)在點D（﹣2，1），E（1，0），F(xiàn)（3，）中，是點P關(guān)于⊙O的密切點的為．(2)設(shè)直線l方程為y＝kx＋b，如圖2所示，①k＝時，求出點P關(guān)于O的密切點Q的坐標(biāo)；②⊙T的圓心為T（t，0），半徑為2，若⊙T上存在點P關(guān)于⊙O的密切點，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)E(2)①Q(mào)（1，1）；②﹣1≤t＜0或2＜t≤3【分析】（1）用假設(shè)法通過特殊位置判斷；（1）①待定系數(shù)法求得直線l的解析式，作軸交A，軸交于B，由直線與圓的交點M和點N求出一元二次方程，求得點M和點N的橫坐標(biāo)，根據(jù)題目條件信息化簡計算即可；②作出點P關(guān)于⊙T的密切點的運(yùn)動軌跡，根據(jù)圖象即可得出取值范圍．【詳解】(1)當(dāng)圓心在坐標(biāo)原點時，直線l為y＝0時，∵⊙O的半徑為2，點P（4，0），∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，＝，∵，∴，設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，y），則QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，∴，∴|2+x|＝3|2﹣x|，∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，∴x＝1或x＝4，∴E（1，0）是點P關(guān)于⊙O的密切點．故答案為：E．(2)①依題意直線l：y＝kx+b過定點P（4，0），∵k＝，∴將P（4，0）代入y＝x+b得：0＝×4+b，∴b＝，∴y＝x+．如圖，作MA⊥x軸于點A，NB垂直x軸于點B，設(shè)M（x，x+），由OM＝2得：，∴5x2﹣4x﹣10＝0，則M，N兩點的橫坐標(biāo)，是方程5x2﹣4x﹣10＝0的兩根，解得，，∴AB＝，PA＝，PB＝，∵，∴，∴，∴HA＝，∴OH＝OA﹣HA＝，∴Q（1，1）．②點P關(guān)于⊙O的密切點的軌跡為切點弦ST（不含端點），如圖所示：∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．【點睛】本題考查屬于圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵在于讀懂題目信息，根據(jù)及其數(shù)形結(jié)合思想來求解．22．牂狗江“佘月郎山，西陵晚渡”的風(fēng)景描繪中有半個月亮掛在山上，月亮之上有個“齊天大圣”守護(hù)洞口的傳說．真實情況是老王山上有個月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來爬去，下圖是月亮洞的截面示意圖．(1)科考隊測量出月亮洞的洞寬約是28m，洞高約是12m，通過計算截面所在圓的半徑可以解釋月亮洞像半個月亮，求半徑的長（結(jié)果精確到0.1m）；(2)若，點在上，求的度數(shù)，并用數(shù)學(xué)知識解釋為什么“齊天大圣”點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．【答案】(1)(2)，因為CD在∠CMD的內(nèi)部，所以點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，勾股定理解，即可求解；（2）在優(yōu)弧上任取一點，連接根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可求解．根據(jù)因為CD在∠CMD的內(nèi)部，所以點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．【詳解】（1）解：，，，設(shè)半徑為，則在中，解得答：半徑的長約為（2）如圖，在優(yōu)弧上任取一點，連接，，，因為CD在∠CMD的內(nèi)部，所以點在洞頂上巡視時總能看清洞口的情況．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．23．如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，平分，點E在的延長線上，連接．(1)求直徑的長；(2)若，計算圖中陰影部分的面積．【答案】(1)4(2)6【分析】（1）設(shè)輔助線，利用直徑、角平分線的性質(zhì)得出的度數(shù)，利用圓周角與圓心角的關(guān)系得出的度數(shù)，根據(jù)半徑與直徑的關(guān)系，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論．（2）由（1）已知，得出的度數(shù)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)結(jié)合得出，再根據(jù)直徑、等腰直角三角形的性質(zhì)得出的值，進(jìn)而利用直角三角形面積公式求出，由陰影部分面積可知即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，為的直徑，平分，，，．．，，，即．．．（2）解：如圖所示，設(shè)其中小陰影面積為，大陰影面積為，弦與劣弧所形成的面積為，由（1）已知，，，，．，弦弦，劣弧劣弧．．為的直徑，，，．，．．．【點睛】本題考查圓的性質(zhì)的理解與綜合應(yīng)用能力．涉及對半徑與直徑的關(guān)系，直徑的性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，圓周角的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形，角平分線等知識點．半徑等于直徑的一半；直徑所對的圓周角是直角；在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓周角等于圓心角的一半；在同圓或等圓中，圓周角相等弧相等弦相等．一個直角三角中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方．恰當(dāng)借助輔助線，靈活運(yùn)用圓周角的性質(zhì)建立等式關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．24．已知：如圖，為的直徑，，交于，于．(1)請判斷與的位置關(guān)系，并證明．(2)連接，若的半徑為2.5，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接AD、OD，根據(jù)直徑所對圓周角是直角，等腰三角形的性質(zhì)，證明OD是△ABC的中位線，繼而可得DE⊥OD，即可得證；（2）由Rt△ADC中根據(jù)勾股定理求出DC，根據(jù)等面積法可以求出DE．【詳解】（1）DE與相切，證明：連接AD、OD，∵AB為O的直徑，∴∠BDA=90°，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴BD=DC，又∵OB=OA，∴OD是△ABC的中位線，∴ODAC，又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是的切線．（2）解：∵的半徑為2.5，則AB=AC=5，在中，AD=3，AC=5，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．25．如圖，，，，，點在對角線上運(yùn)動，以為圓心，為半徑作．(1)當(dāng)點在上時，______，此時與的位置關(guān)系是______；(2)當(dāng)與邊相切時，求的長；(3)直接寫出與的邊有公共點時的取值范圍．【答案】(1)2；相切(2)(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC，當(dāng)點在上時，AC為⊙P的直徑，可求出AP，再根據(jù)PC⊥CD，得出與的位置關(guān)系；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到PE⊥BC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出AP；（3）當(dāng)C在圓上時，與的邊有公共點，且此時最小，當(dāng)D在圓上時，與的邊有公共點，且此時最大，以此求出兩種情況下AP的取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABCD，BC＝AD＝5，∵AB⊥AC，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，∴AC＝＝4，當(dāng)點在上時，AC為⊙P的直徑，∴⊙P的半徑為2；即AP＝2此時C在圓上，PC⊥CD，故邊CD與相切；（2）如圖1，當(dāng)⊙P與邊BC相切時，設(shè)切點為E，連接PE，則PE⊥BC，∵AB⊥AC，點P在邊AC上，∴⊙P與AB相切．∵⊙P與BC相切于點E，∴BE＝AB＝3，EC＝2，設(shè)AP＝x，則PE＝x，PC＝4?x，在Rt△PCE中，由勾股定理得＋4＝，解得x＝，即AP＝；（3）當(dāng)C在圓上時，與的邊有公共點，且此時最小，即AP＝2當(dāng)D在圓上時，如圖2，與的邊有公共點，且此時最大，設(shè)PC＝x，則PD＝AP＝4－x，CD＝3在Rt△CDP中，，解得x＝，4－x＝，即AP＝，綜上所述：當(dāng)時，與的邊有公共點【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26．如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．(1)求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點A的三條對角線四等分∠BAF．(2)設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形AB