第7講　函數(shù)的單調(diào)性與最值（解析版）

函數(shù)的單調(diào)性與最值基礎(chǔ)知識1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,且I?D:①如果對任意x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時(shí),都有,則稱y=f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增);②如果對任意x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時(shí),都有,則稱y=f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減).

(2)函數(shù)的平均變化率的定義一般地,當(dāng)x1≠x2時(shí),稱ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2]((3)函數(shù)的單調(diào)性與平均變化率的聯(lián)系圖像描述自左向右看圖像是

自左向右看圖像是

單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間平均變化率與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系ΔfΔx=f(ΔfΔx=f(2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,且x0∈D條件對于任意x∈D,都有

對于任意x∈D,都有

結(jié)論f(x0)為最大值,x0稱為最大值點(diǎn)f(x0)為最小值,x0稱為最小值點(diǎn)1.(1)①f(x1)<f(x2)②f(x1)>f(x2)(3)上升的下降的2.f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)常用結(jié)論1.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論:(1)若f(x),g(x)均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù).(2)若k>0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相同;若k<0,則kf(x)與f(x)的單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),y=1f((4)函數(shù)y=f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y=f(x(5)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法:若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相同,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相反,則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).簡稱“同增異減”.2.單調(diào)性定義的等價(jià)形式:設(shè)x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或f(x1)-f(x2)x(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或f(x1)-f(x2)x13.函數(shù)最值的結(jié)論:(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)處取得.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值或最小值.分類訓(xùn)練探究點(diǎn)一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明例1(1)下列四個(gè)函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是 ()A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-1x+1 D.f(x(2)判斷函數(shù)f(x)=x-3x+2,x∈(-[總結(jié)反思](1)直接利用函數(shù)單調(diào)性可以判斷一些組合函數(shù)的單調(diào)性,如“增+增”為增,“增-減”為增,“減+減”為減,“減-增”為減.(2)定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:①任取x1,x2∈D,且x1≠x2;②作差求Δf=f(x1)-f(x2);③變形(通常是因式分解和配方);④定號(即判斷ΔfΔx的正負(fù));⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間例1[思路點(diǎn)撥](1)直接運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷;(2)直接判斷單調(diào)性即可,再利用單調(diào)性的定義證明單調(diào)性.(1)C[解析]對于A,f(x)=3-x在R上是減函數(shù),不符合題意;對于B,f(x)=x2-3x在-∞,32上是減函數(shù),在32,+∞上是增函數(shù),不符合題意;對于C,f(x)=-1x+1在(-1,+∞)上是增函數(shù),符合題意;對于D,f(x)=-|x|的圖像關(guān)于y軸對稱,且f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù),不符合題意.故選C.(2)解:函數(shù)f(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.證明如下:由f(x)=x-3x+2=x+2-5x+2=1-5x+2,任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1≠x2,則Δf=1-5x1+2∴ΔfΔx=5(∵x1,x2∈(-2,+∞),∴x1+2>0,x2+2>0,即(x1+2)(x2+2)>0,∴ΔfΔx=5(x1+2)(x2+2)>0,故函數(shù)f(x變式題(1)(多選題)下列函數(shù)中,值域?yàn)镽且在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是 ()A.y=2x3 B.y=x|x|C.y=x-1 D.y=x(2)(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對于任意的x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)≤f(x2),且存在y1,y2∈D,當(dāng)y1≠y2時(shí),使得f(y1)=f(y2),那么就稱f(x)為定義域上的“不嚴(yán)格增函數(shù)”.下列所給的四個(gè)函數(shù)中,為“不嚴(yán)格增函數(shù)”的是 ()A.f(x)=xB.f(x)=1C.f(x)=1D.f(x)=x變式題(1)AB(2)AC[解析](1)對于A選項(xiàng),函數(shù)y=2x3的值域?yàn)镽,且函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.對于B選項(xiàng),y=x|x|=-x2,x≤0,x2,x>0.當(dāng)x>0時(shí),y=x2>0;當(dāng)x≤0時(shí),y=-x2≤0.所以函數(shù)y=x|x|的值域?yàn)镽,且函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.對于C選項(xiàng),函數(shù)y=x-1的值域?yàn)閧x|x≠0},且函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.對于D選項(xiàng),函數(shù)y=x的值域?yàn)閇0,+∞),(2)對于A,易知f(x)=x,x≥1,0,-1<x<1,x,x≤-1為定義在R上的“不嚴(yán)格增函數(shù)”;對于B,f(x)=1,x=-π2,sinx,-π2<x≤π2,當(dāng)x1=-π2,x2∈-π2,π2時(shí),f(x1)>f(x2),故不是“不嚴(yán)格增函數(shù)”;對于C,易知f(x)=1,x≥1,0,-1<x<1,-1,x≤-1探究點(diǎn)二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2(1)函數(shù)f(x)=log13(-x2+x+6)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (A.-2,12 B.-∞,12C.12,+∞ D.12,3(2)設(shè)函數(shù)f(x)=1,x>1,0,x=1,-1,x<1,g[總結(jié)反思](1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常見方法:①定義法;②圖像法;③導(dǎo)數(shù)法.(2)求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①確定函數(shù)的定義域;②求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;③求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其依據(jù)是“同增異減”.(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示,有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫,不能用并集符號“∪”連接.例2[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)真數(shù)大于零,可得函數(shù)的定義域,結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則,可確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)作出函數(shù)g(x)的圖像,由圖像可得g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.(1)A(2)[0,2)[解析](1)由-x2+x+6>0得x∈(-2,3),所以函數(shù)f(x)=log13(-x2+x+6)的定義域?yàn)?-2,3).令t=-x2+x+6,因?yàn)閥=log13t是減函數(shù),且t=-x2+x+6在-2,12上單調(diào)遞增,在12,3上單調(diào)遞減,所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f(x)=log13(-x2+x+6)的單調(diào)遞減區(qū)間為-2,12.(2)由題意知g(x)=x2f(x-1)=x2,x>2,0,x=2,-x2,x<2,作出函數(shù)g(x)的圖像,如圖所示,變式題(1)已知函數(shù)f(x)的圖像如圖2-7-1所示,則函數(shù)g(x)=12f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ()圖2-7-1A.(-∞,-3],[0,3]B.[-3,0],[3,+∞)C.(-∞,-5],[0,1]D.[-1,0],[5,+∞)(2)函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則函數(shù)y=f(|x-2|)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ()A.(-∞,-2) B.(-∞,2)C.(2,+∞) D.R變式題(1)A(2)B[解析](1)因?yàn)閥=12x在R上為減函數(shù),所以只需求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.由圖可知,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-3],[0,3],因此函數(shù)g(x)=12f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-3],[0,3].故選A.(2)令t=|x-2|,則t在區(qū)間(-∞,2)上為減函數(shù),在區(qū)間(2,+∞)上為增函數(shù).因?yàn)閥=f(x)是定義在R上的增函數(shù),所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)知,y=f(|x-2|)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,2).故選B.探究點(diǎn)三利用函數(shù)單調(diào)性解決問題 微點(diǎn)1利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小例3已知α,β∈R,且α>β>0,則 ()A.tanα-tanβ>0 B.lnα-lnβ>0C.tanα+tanβ>0 D.lnα+lnβ>0[總結(jié)反思]比較函數(shù)值的大小時(shí),若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),則要利用其函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較,對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖像法求解.例3[思路點(diǎn)撥]因?yàn)檎泻瘮?shù)在R上不是單調(diào)函數(shù),所以當(dāng)α>β>0時(shí),無法比較tanα,tanβ的大小,而y=lnx在(0,+∞)上是增函數(shù),所以可以比較lnα,lnβ的大小.B[解析]∵y=lnx在(0,+∞)上是增函數(shù),α>β>0,∴l(xiāng)nα>lnβ.故選B.微點(diǎn)2利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題例4(1)已知函數(shù)f(x)=3e-x,x≤0,-4x+3,x>0,若fA.(-∞,1]B.(-∞,-3]∪[1,+∞)C.(-∞,1]∪[3,+∞)D.[-3,1](2)函數(shù)f(x)=ex+x-e,若實(shí)數(shù)a(a>0且a≠1)滿足floga34<1,則a的取值范圍為.

[總結(jié)反思]利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的具體步驟:(1)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(3)根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性去掉法則“f”,轉(zhuǎn)化為形如“x1>x2”或“x1<x2”的常規(guī)不等式,從而得解.例4[思路點(diǎn)撥](1)分析可知函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù),再由f(a2-3)≥f(-2a)得出a2-3≤-2a,解此不等式即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)不等式floga34<1可化為floga34<f(1),利用單調(diào)性得出loga34<1,分0<a<1和a>1兩種情況討論,解不等式即可.(1)D(2)0,34∪(1,+∞)[解析](1)當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=3e-x是減函數(shù);當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-4x+3是減函數(shù).因?yàn)?e0=-4×0+3,所以函數(shù)y=f(x)在R上連續(xù),且函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞減.由f(a2-3)≥f(-2a),可得a2-3≤-2a,即a2+2a-3≤0,解得-3≤a≤1,因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,1].故選D.(2)由題知函數(shù)f(x)=ex+x-e在R上為增函數(shù),且f(1)=1,由floga34<1,可得floga34<f(1),∴l(xiāng)oga34<1=logaa.①當(dāng)0<a<1時(shí),由loga34<logaa,得a<34,∴0<a<34;②當(dāng)a>1時(shí),由loga34<logaa,得a>34,∴a>1.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,34∪(1,微點(diǎn)3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值問題例5(1)已知a>0,設(shè)函數(shù)f(x)=2020x+1+20192020x+1+2019x3(x∈[-a,a])的最大值為MA.2019 B.2020C.4039 D.4038(2)已知x>0,則x+9x-3·x+25x+5的最小值為 ()A.1215 B.48C.79316 D.[總結(jié)反思]若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào),則必在區(qū)間的端點(diǎn)處取得最值;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上不單調(diào),則最小值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極小值和區(qū)間端點(diǎn)值中最小的值,最大值為函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值和區(qū)間端點(diǎn)值中最大的值.例5[思路點(diǎn)撥](1)對原函數(shù)的解析式化簡變形,利用常見函數(shù)的單調(diào)性確定f(x)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)的最大值和最小值;(2)整理得x+9x-3·x+25x+5=x-15x+12+48,令f(x)=x-15x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定x-15x的取值范圍后即可得解.(1)C(2)B[解析](1)f(x)=2020x+1+20192020x+1+2019x3=2020(2020x+1)-1因?yàn)閥=-12020x+1,y=2019所以f(x)在[-a,a]上單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)的最大值為f(a),最小值為f(-a),所以M+N=f(a)+f(-a)=2020-12020a+1+2019a3+2020-12020-a+1+2019(-a(2)x+9x-3·x+25x+5=x2+225x2+2x-30x+19=x-15x2+2x-15x+49=x-15x+12+48,令f(x)=x-15x,x>0,則由函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)∈(-∞,+∞),所以當(dāng)x-15x=-1時(shí),x+9x-3·x+25x+5取得最小值48.故選B.微點(diǎn)4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)例6(1)已知函數(shù)f(x)=ax2-x-a+2,若y=ln[f(x)]在12,+∞上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A.[1,+∞) B.[1,2)C.[1,2] D.(-∞,2](2)若函數(shù)f(x)=(x-1)|x+a|在區(qū)間(1,2)上為增函數(shù),則滿足條件的實(shí)數(shù)a的值為.(寫出一個(gè)即可)

[總結(jié)反思]利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的注意點(diǎn):(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性的定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);(2)若分段函數(shù)是單調(diào)函數(shù),則不僅要保證在各區(qū)間上單調(diào)性一致,還要確保在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)的.例6[思路點(diǎn)撥](1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)在12,+∞上為增函數(shù),且f(x)>0,從而列出不等式組,即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)將f(x)寫成分段函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的圖像,結(jié)合對稱軸分類討論,即可求解.(1)C(2)0(答案不唯一)[解析](1)∵y=ln[f(x)]在12,+∞上為增函數(shù),且函數(shù)y=lnx在(0,+∞)上為增函數(shù),∴f(x)=ax2-x-a+2在12,+∞上為增函數(shù),且f(x)>0.當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-x+2在12,+∞上為減函數(shù),不符合題意,故a≠0.當(dāng)a≠0時(shí),可得a>0,--12a≤12,f(12(2)根據(jù)題意可知f(x)=x2+(a-1)x-a,x≥-a,-x2-(a-1)x+a,x<-a.對y=x2+(a-1)x-a來說,其圖像的對稱軸方程為由圖可知,此時(shí)要滿足題意,只需-a≥2或1-a2≤1,解得a≤-2(舍去)或a≥-1.當(dāng)1-a2<-a,即a<-1時(shí),f(x)的大致圖像如圖所示(由圖可知,此時(shí)要滿足題意,只需-a≤1或1-a2≥2,解得a≥-1(舍去)或a≤-3.綜上所述,a≥-1或a≤-3?應(yīng)用演練1.【微點(diǎn)1】已知函數(shù)f(x)=1x-x,且a=fln32,b=flog213,c=f(20.3),則 ()A.c>a>b B.a>c>bC.a>b>c D.b>a>c1.D[解析]易知f(x)=1x-x是減函數(shù),因?yàn)閘og213<0,0<ln32<lne=1,1<20.3<2,即log213<ln32<20.3,所以flog213>fln32>f(20.3),2.【微點(diǎn)2】若f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),則不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是 ()A.(0,+∞) B.(0,2)C.(2,+∞) D.2,1672.D[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),且f(x)>f[8(x-2)],所以x>0,8(x-2)>0,x>8(x-2),解得2<x<167,因此,不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是3.【微點(diǎn)1】函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意兩個(gè)正數(shù)x1,x2(x1<x2),都有f(x1)x1>f(x2)x2.記a=25f(0.22),b=f(1),c=-log53·A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.a>c>b3.C[解析]構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)x,則函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.a=25f(0.22)=f(0.22)0.22=g(0.22),b=f(1)=f(1)1=g(1),c=-log53f(log135)=f(log35)log35=g4.【微點(diǎn)3】已知函數(shù)f(x)=2x+1+2m,x∈[A.-2 B.-4C.-8 D.-164.D[解析]由題意得,當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)y=f(x)為增函數(shù),f(x)≥f(0)=2+2m>2m,故函數(shù)y=f(x)在(-∞,0)上取得最小值2m,所以m4<0,f(m4)=25.【微點(diǎn)4】函數(shù)f(x)=-x2-2ax+4在[2,5]上單調(diào),則a的取值范圍是.

5.a≥-2或a≤-5[解析]因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)=-x2-2ax+4的圖像的對稱軸方程為x=-a,且f(x)在[2,5]上單調(diào),所以-a≤2或-a≥5,即a≥-2或a≤-5.同步作業(yè)1.在區(qū)間(0,+∞)上,下列函數(shù)與函數(shù)f(x)=1x的單調(diào)性相同的是 (A.y=4x B.y=x2-3xC.y=3x D.y=1-x1.D[解析]易知f(x)=1x在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù).函數(shù)y=4x在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù);函數(shù)y=x2-3x在區(qū)間0,32上為減函數(shù),在區(qū)間32,+∞上為增函數(shù);函數(shù)y=3x在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù);函數(shù)y=1-x在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù).故選D.2.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-2,3),則y=f(x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.(3,8) B.(-7,-2)C.(-2,8) D.(-2,3)2.B[解析]由-2<x+5<3可得-7<x<-2,∴y=f(x+5)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-7,-2).故選B.3.函數(shù)y=log12(x2-3x+2)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (A.(-∞,1) B.(2,+∞)C.-∞,32 D.32,+∞3.A[解析]由題意可得x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得,函數(shù)y=log12(x2-3x+2)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1),故選4.已知函數(shù)f(x)=e-x-x,則不等式f(x-1)-f(2)<0的解集為 ()A.(-1,3) B.(-∞,3)C.(3,+∞) D.(-1,1)∪(1,3)4.C[解析]易知函數(shù)f(x)=e-x-x在R上單調(diào)遞減.由f(x-1)-f(2)<0可得f(x-1)<f(2),∴x-1>2,解得x>3,故原不等式的解集為(3,+∞),故選C.5.已知函數(shù)f(x)=-x|x|+2x,則下列說法正確的是 ()A.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞) B.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1)C.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1) D.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1)5.D[解析]f(x)=-x|x|+2x=-x2+2x,x≥0,x2+2x,x<0.當(dāng)x≥0時(shí),f(x)的圖像開口向下,對稱軸方程為x=1,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞);當(dāng)x<0時(shí),f(x)的圖像開口向上,對稱軸方程為x=-1,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1).又f(0)=0,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(6.若函數(shù)f(x)=ax2+2x+5在(4,+∞)上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6.[0,+∞)[解析]當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=2x+5在(4,+∞)上單調(diào)遞增,滿足題意;當(dāng)a≠0時(shí),由題意得a>0,-1a≤4,解得a>0.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是7.已知函數(shù)f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),且f(2)=-1,則滿足f(2x-4)>-1的實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

7.2≤x<3[解析]∵f(2)=-1,∴f(2x-4)>-1即為f(2x-4)>f(2),又f(x)是定義在[0,+∞)上的減函數(shù),∴0≤2x-4<2,解得2≤x<3.8.函數(shù)y=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值為0,則m的取值范圍是A.(1,2) B.(-1,2) C.[1,2) D.[-1,2)8.D[解析]易知函數(shù)y=2-xx+1=3-(x+1)x+1=3x+1-1在區(qū)間(-1,+∞)上是減函數(shù),當(dāng)x=2時(shí),y=0.根據(jù)題意可得,當(dāng)x∈(m,n]時(shí),ymin=0,所以n=29.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且對任意的x1,x2∈R,x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立.若f(x2+1)>f(m2-m-1)對x∈R恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.(-1,2) B.[-1,2]C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)9.A[解析]由[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,可知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),由f(x2+1)>f(m2-m-1)對x∈R恒成立,可得m2-m-1<(x2+1)min,即m2-m-1<1,解得-1<m<2,故選A.10.若函數(shù)f(x)=2|x-2|,x≤2,log2(xA.a<0 B.a>0C.a≤0 D.a≥010.D[解析]當(dāng)x≤2時(shí),f(x)=2|x-2|=22-x為減函數(shù),且f(2)=1;當(dāng)x>2時(shí),f(x)=log2(x+a)為增函數(shù).若f(x)的最小值為f(2),則只需log2(x+a)≥1在(2,+∞)上恒成立,可得2+a≥211.(多選題)已知a>b>0,函數(shù)f(x)=2x-4x,則 ()A.f(a2)<f(ab)B.f(b2)<f(ab)C.f(ab)<f(a2)D.f(ab)<f(b2)11.AD[解析]易知f(x)=-2x-122+14在(0,+∞)上單調(diào)遞減,因?yàn)閍>b>0,所以a2>ab>b2>0,所以f(a2)<f(ab)<f(b2).故選AD.12.(多選題)設(shè)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽且周期為2的偶函數(shù),在區(qū)間[0,1]上,f(x)=x2,x∈M,x,x?M,其中集合M=xx=mmA.f43=49B.f(x)在[2m,2m+1](m∈N)上單調(diào)遞增C.f(x)在mm+1,m+1m+2(m∈D.f(x)的值域?yàn)閇0,1]12.AC[解析]對于A,f43=f43-2=f-23=f23,因?yàn)?3∈M,所以f23=49,A正確.對于B,當(dāng)m=0時(shí),[2m,2m+1]=[0,1],當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x2,x∈M,x,x?M,取x1=13?M,x2=12∈M,則f13=13,f12=14,得f13>f12,B錯(cuò)誤.對于C,因?yàn)?≤mm+1<m+1m+2<1,且mm+1∈M,m+1m+2∈M,所以當(dāng)x∈mm+1,m+1m+2時(shí),x?M,所以f(x)=x,所以f(x)在mm+1,m+1m+2(m∈N)上單調(diào)遞增,C正確.對于D,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),若f(x)=13.已知函數(shù)f(x)=x+1|x|+1,則f(x2-2x)<f(2-x13.{x|0<x<2}[解析]由已知得f(x)=1,x≥0,1+x1-x,x<0,即f(x)=1,x≥0,-1-2x-1,x<0,所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,在[0,+∞)上為常數(shù)函數(shù).由f(x2-2x)<f14.已知函數(shù)f(x)=x-a2x+a3在(1,3)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a14.(-∞,-18][解析]方法一:任取1<x1<x2<3,則f(x1)-f(x2)=x1-a2x1+a3-x2-a2x2+a3=(x1-x2)+a2x2-a2x1=(x1-x2)+a(x1-x2)2x1x2=(x1-x2)(2x1x2+a)2x1x2,∵1<x1<x2<3,∴x1-x2<0,1<x1x2<9,∵函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減,∴f(x1)-f(x2)>0,∴2x1x2+a<0,得a<-2x方法二:∵函數(shù)f(x)=x-a2x+a3在(1,3)上是減函數(shù),∴f'(x)=1+a2x2≤0在(1,3)上恒成立,即a≤-2x2在(1,3)上恒成立15.若對任意x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,則a的取值范圍是.

15.(-∞,-1][解析]由題可得(3x+a)3≤(2x)3在x∈[a,a+2]時(shí)恒成立,因?yàn)閥=x3在R上單調(diào)遞增,所以3x+a≤2x在x∈[a,a+2]時(shí)恒成立,即x+a≤0在x∈[a,a+2]時(shí)恒成立,可得a≤-1.16.已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2)證明:f(x)為增函數(shù);(3)若f15=-1,求f(x)在125,125上的最值.16.解:(1)函數(shù)f(x)滿足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x2=1,則f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)證明:設(shè)x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,則x1x2∴fx1x2>0∴f(x1)-f(x2)=fx2·x1x2-f(x2)=f(x2)+fx1x2-f(x2)=fx1x2即f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).(3)∵f15=-1,∴f15+f15=f125=-2,f15×5=f(1)=f15+f(5)=0,即f(5)=1,則f(5)+f(5)=f(25)=2,f(5)+f(25)=f(125)=3,∵f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴f(x)在125,125上的最小值為-2,最大值為3.17.已知函數(shù)f(x)=12x,g(x)=ax2+2x-3,a∈(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)遞增區(qū)間和值域;(2)求函數(shù)y=g[f(x)]在區(qū)間[-2,+∞)上的最大值h(a).17.解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=12x為R上的