微積分-多元函數(shù)與二重積分知識(shí)點(diǎn)匯總

./第四章矢量代數(shù)與空間解析幾何微積分二大綱要求了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件,曲面方程和空間曲線方程的概念,常用二次曲面的方程與其圖形,空間曲線的參數(shù)方程和一般方程.空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影.會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角,利用平面、直線的相互絭〔平行、垂直、相交等〕解決有關(guān)問(wèn)題,點(diǎn)到直線以與點(diǎn)到平面的距離,求簡(jiǎn)單的柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程,求空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影方程.理解空間直角坐標(biāo)系,向量的概念與其表示,單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式掌握向量的運(yùn)算〔線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積〕,用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法,平面方程和直線方程與其求法.第一節(jié)矢量代數(shù)一、內(nèi)容精要〔一〕基本概念1.矢量的概念定義4.1一個(gè)既有大小又有方向的量稱為矢量,長(zhǎng)度為0的矢量稱為零矢量,用0表示,方向可任意確定。長(zhǎng)度為1的矢量稱為單位矢量。定義4.2兩個(gè)矢量與,若它們的方向一致,大小相等,則稱這兩個(gè)矢量相等,記作.換句話說(shuō)一個(gè)矢量可按照我們的意愿把它平移到任何一個(gè)地方〔因?yàn)榧葲](méi)有改變大小,也沒(méi)改變方向〕,這種矢稱為自由矢量,這樣在解問(wèn)題時(shí)將更加靈活與方便。稱為按照的坐標(biāo)分解式,稱為坐標(biāo)式。若記。知是單位矢量且與的方向一致,且。因此,告訴我們求矢量的一種方法,即只要求出的大小和與方向一致的單位矢量,則若,知其中是分別與Ox軸,Oy軸,Oz軸正向的夾角,而且2.矢量間的運(yùn)算設(shè)的確定〔1〕〔2〕與所確定的平面,方向可任意確定〕垂直,且構(gòu)成右手系若用坐標(biāo)式給出,則圖4-1圖4-1由行列式的性質(zhì)可知的幾何意義：表示以為鄰邊的平行四邊形的面積,即容易知道以為鄰邊的三角形面積為h圖4-2.h圖4-2容易驗(yàn)證的性質(zhì)可用行列式的性質(zhì)來(lái)記,其余沒(méi)有提到的性質(zhì)與以前代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)完全相同。的幾何意義表示以為鄰邊的平行六面體的體積,即圖4-3圖4-4圖4-3圖4-4容易知道以為鄰邊的四面體的體積為的應(yīng)用特別重要,既若直線L既垂直矢量,也垂直矢量不平行,則L與確定的平面垂直,又也與確定的平面垂直,由兩直線與同一平面垂面,則兩直線平行.知L與平行,換句話說(shuō)是直線L的方向向量,是確定平面的法矢量,這對(duì)于求直線方程與平面方程顯得非常重要。3.矢量間的關(guān)系1..2.的分量對(duì)應(yīng)成比例,總存在唯一的常數(shù),使。以上是我們?cè)趯?shí)際中判斷兩矢量垂直與平行的常用方法,請(qǐng)記住.3.共面不共線總存在唯一的兩個(gè)實(shí)數(shù)m,n,使.Oθ圖4-54.設(shè)三個(gè)矢量不共面,則對(duì)空間任一矢量,總存在唯一的三個(gè)常m,n,使Oθ圖4-55.設(shè),上的投影指的是把的起點(diǎn)平移到的起點(diǎn)O,過(guò)的終點(diǎn)作的垂線交上一點(diǎn)P,OP稱為在的投影,記作,即這個(gè)公式對(duì)我們?cè)诤竺媲簏c(diǎn)到直線上距離,點(diǎn)到平面距離,兩異面直線公垂線的長(zhǎng)都有幫助。二、考題類型、解題策略與典型例題類型1.1求矢量的模解題策略1.,2.,例4.1.1已知互相垂直,且,求的模。分析利用與,下一題類似.解由兩兩垂直,知,知.例設(shè),若以為鄰邊的平行四邊行的面積為6,求常數(shù)k。解由公式得例已知都是單位矢量且,求分析利用與.解由又,故例設(shè),向量共面且解法一設(shè)共面,知〔1〕由條件,有即〔2〕由條件即〔3〕〔1〕、〔2〕〔3〕三式聯(lián)立,解得,所以解法二因共面,且不共線,故可設(shè)得〔4〕得〔5〕〔4〕〔5〕聯(lián)立,解得于是解法三由在上的投影相等且為正,知在的夾角相等且為銳角,又因與共面,知的方向即是〈AOB的角平分線方向,而的方向即是平分線方向,因此AB圖4-6平行,可設(shè),AB圖4-6由,故解法四由,按例4.1.5設(shè)分析利用點(diǎn)積、叉積、混合積的性質(zhì).解原式第二節(jié)直線與平面一、內(nèi)容精要〔一〕定理與公式直線方程直線方程點(diǎn)向式〔對(duì)稱式〕：參數(shù)式：兩點(diǎn)式：一般式：平面方程點(diǎn)法式一般式三點(diǎn)式截距式〔〕平面束兩直線L1、L2位置關(guān)系垂直平行兩平面π1、π2位置關(guān)系垂直平行直線L與平面π的位置關(guān)系垂直平行直線與平面其中P0QLP12R圖4-71．設(shè)直線L方程為,其中是直線L上一點(diǎn),是L的方向向量,P1〔x1,y1,z1〕是直線L外一點(diǎn),則P1到L的距離為.

證連接P0P1,過(guò)P1作L的垂線,垂足為Q,以分鄰邊作平行四邊形,由在直線L上,知P0QLP12R圖4-7注：在證明過(guò)程中假設(shè)P0不是P1的垂足,若P0是垂足,則,實(shí)際上時(shí),上式依然成立。

2。設(shè)平面π的方程為Ax+By+Cz+D=0,是平面的法矢量,P1〔x1,y1,z1〕是平面π外一點(diǎn),則P1到平面π的距離為.P1QP0π圖4-8證過(guò)作平面的垂線,垂足為Q,在平面π內(nèi)選一點(diǎn),連接P1P0,得矢量,由,知P1QP0π圖4-8而從而

又P0點(diǎn)在平面π上,有,故

3.設(shè)有兩異面直線

則兩直線之間的距離.證端點(diǎn)分別在兩異面直線上的公垂線的長(zhǎng)度稱為兩異面直線之間的距離〔圖7-9〕.過(guò)直線L1作平面π平行于直線L2,

在L2上取一點(diǎn)M2,在L1上取一點(diǎn)M1,從M2引平面π的垂線M2M〔M為垂足〕,于是即為L(zhǎng)1與L2的距離.設(shè)平面π的法矢量為n,則在n上的投影的絕對(duì)值即為所求的距離.即

而,所以4.設(shè)L1與公垂線O1O2確定的平面為π1,由π1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M1〔x1,y1,z1〕設(shè)π1的法矢量為,由O1O2的方向向量為,而知從而可用點(diǎn)法式寫出平面π1的方程。

設(shè)L2與公垂線O1O2確定的平面為π2,由π2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M2〔x1,y1,z1〕設(shè)π2的法矢量為,同理可得,從而可用點(diǎn)法式寫出平面π2的方程,因此

公垂線O1O2的方程：π1方程,

π2方程.

O1O2與L1的垂足O1：L1方程,

π2方程.

O1O2與L2的垂足O2：L2方程,

π1方程

5.直線方程的點(diǎn)向式與一般式的相互轉(zhuǎn)化.

點(diǎn)向式轉(zhuǎn)化為一般式為

一般式〔1〕消元法：例如消去x,得y,z的一次方程,解出.消去y,得x,z的一次方程。解得,于是直線的點(diǎn)向式為〔2〕由直線是兩個(gè)平面的交線,知三元一次方程組有無(wú)數(shù)組解。例如令z=0,解得x=x0,y=y0,且直線既在π1內(nèi)又在π2內(nèi),知直線既垂直于,又垂直于,所以直線的方向向量為,從而直線可用點(diǎn)向式表示若從直線的一般式求直線的方向向量,則6．判斷兩直線的位置關(guān)系設(shè)〔i〕若在同一平面內(nèi)且平行〔ii〕若且〔iii〕若為異面直線。7．靈活地利用所給條件,用平面的一般式求平面方程〔i〕若平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn),則平面方程為Ax+By+Cz=0,再給兩個(gè)條件,即可求出平面方程〔ii〕若平面平行z軸,則平面方程為Ax+By+D=0,再給兩個(gè)條件,即可求出平面方程〔iii〕若平面經(jīng)過(guò)z軸,則平面方程為Ax+By=0,再給一個(gè)條件,即可求出平面方程其它情況類似。二、考題類型、解題策略與典型例題類型1.1求直線方程解題策略首先考慮直線方程的點(diǎn)向式與一般式,否則再用其它形式.例求過(guò)點(diǎn)〔-1,2,3〕且垂直于直線且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直線方程.解設(shè)所求直線的方向向量為,由條件知,,因此,,故所求直線方程為類型1.2求平面方程解題策略平面方程的點(diǎn)法式、一般式、平面束.例已知兩條直線方程是,求過(guò)L1且平行L2的平面π的方程.解由π經(jīng)過(guò)L1,且點(diǎn)〔1,2,3〕,知π經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔1,2,3〕.又π的法矢量,有,故所求平面方程為〔x-1〕-3<y-2>+<z-3>=0,即x-3y+z+2=0。例求過(guò)直線且與已知平面4x-2y+3z+5=0垂直的平面方程.解設(shè)過(guò)直線L的平面束方程為,其法矢量已知平面的法矢量由題意知,,即,解得。代入方程得所求平面方程為注：對(duì)于平面束方程當(dāng)時(shí),可令,則有以上式子在計(jì)算時(shí)常帶來(lái)方便.但上式漏了的情形,即平面無(wú)法表示,計(jì)算時(shí)應(yīng)注意.例4.2.4求經(jīng)過(guò)x軸且垂直于平面5x+4y-2z+3=0的平面方程。解由所求平面經(jīng)過(guò)x軸,故可設(shè)平面的方程為又平面垂直已知平面,知平面的法矢量,得4B-2C=0,解得C=2B,代入平面方程得By+2Bz=0,即y+2z=0.例試求通過(guò)直線的交角為的平面方程.解設(shè)過(guò)直線L的平面束方程為.即,其法矢量平面的法矢量由題意知兩邊平方得,即有所對(duì)應(yīng)平面分別為,注意：如果設(shè)平面束方程為,則會(huì)遺漏一平面.三、綜合雜題例證明直線是異面直線,并求它們之間的最短距離與公垂線方程.解在L1、L2上各取一點(diǎn)M1〔5,1,2〕,M2〔0,0,8〕,由于,知L1、L2是異面直線,且.則過(guò)直線L1與公垂線的平面π1的法矢量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔5,1,2〕,故π1的方程為.過(guò)直線L2與公垂線的平面π2的法矢量且過(guò)點(diǎn)〔0,0,8〕,故π2的方程為故公垂線方程為例4.2.7將L：化為點(diǎn)向式與參數(shù)式.解法一設(shè)直線的方向向量為,由得,知.再求直線L上一點(diǎn),為此令z=0,得解得故直線方程的點(diǎn)向式為.寫成參數(shù)式為解法二〔1〕—〔2〕×2得-5y-z+14=0,得〔1〕×2+<1>得5x-7z-2=0,得故直線的點(diǎn)向式方程為,參數(shù)方程與解法一相同。例4.2.8設(shè)有直線L：與平面：4x-2y+Z-2=0,判斷直線L與平面的位置關(guān)系.解,設(shè)直線L的方向向量為,知,而平面的法矢量,由于知‖,故直線L與平面垂直.例4.2.9設(shè)有直線L1:與,求L1與L2的夾角,解,故兩直線的夾角為.例求點(diǎn)P1〔1,-4,5〕到直線的距離.解法一直線L的方向向量是直線上一點(diǎn),,解法二過(guò)P1點(diǎn)且與L垂直的平面方程是2〔x-1〕-<y+4>-<z-5>=0與直線方程,聯(lián)立,得,解得x=0,y=-1,z=0,由兩點(diǎn)間距離公式,得第三節(jié)曲線與曲面一、內(nèi)容精要〔一〕定理與公式曲線與曲面曲線與曲面曲面方程一般式：參數(shù)式：曲線方程參數(shù)式：一般式：特殊的曲面柱面：準(zhǔn)線為母線平行z軸錐面：過(guò)空間一定點(diǎn)Q的動(dòng)直線,沿曲線P〔不過(guò)原點(diǎn)Q〕移動(dòng)所生成曲面旋轉(zhuǎn)曲面：繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面二次曲面橢球面：〔圖1〕橢圓拋物面：〔圖2〕單葉雙曲面：〔圖3〕雙葉雙曲面：〔圖4〕二次錐面：〔圖5〕雙曲拋物面：〔圖6〕圖1圖2圖3圖4圖5圖61．用定義求曲面方程的方法〔1〕設(shè)M〔x,y,z〕是曲面上任意一點(diǎn),根據(jù)題意,列出點(diǎn)M所滿足的條件,得到含有x,y,z的等式,化簡(jiǎn)得F〔x,y,z〕=0,〔2〕說(shuō)明坐標(biāo)滿足方程F〔x,y,z〕=0的點(diǎn)一定在曲面上,則曲面的方程為F〔x,y,z〕=0.一般來(lái)說(shuō),都是可逆的,故一般情況下,只需〔1〕就可以了,2．曲線：繞0z軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的方程是圖4-10證設(shè)M〔x,y,z〕是曲面上任意一點(diǎn),面M是曲線圖4-10某點(diǎn)M,〔x1,y1,z1,〕繞Oz軸旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所取到,因此有z=z1,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為.這個(gè)結(jié)果可作為一個(gè)規(guī)律記住,即坐標(biāo)平面上的曲線繞該坐標(biāo)平面上某個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的曲面方程是：把平面曲線方程中繞相應(yīng)軸的變量不變,另外一個(gè)變量化成正負(fù)根號(hào)下方程中另外一個(gè)變量與該平面垂直軸對(duì)應(yīng)的變量的平方和即為所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程。3.一般參數(shù)方程繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的方程是圖4-11證設(shè)是曲面上任意一點(diǎn),而是由曲線上某點(diǎn)〔對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1〕繞Oz軸旋轉(zhuǎn)所得到。因此有圖4-11,故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為特別地,若繞Oz軸旋轉(zhuǎn)時(shí),且參數(shù)方程表示為則事實(shí)上,由前面的證明過(guò)程可知,故圖4-12這個(gè)結(jié)果可作為一個(gè)規(guī)律記住,一個(gè)用參數(shù)方程表示的曲線繞某個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成曲面的方程是：若把該曲線表示成該坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的變量作為參數(shù)的參數(shù)方程,則旋轉(zhuǎn)曲面的方程是由參數(shù)方程兩個(gè)等式兩邊平方再相加得到等圖4-124.求曲線在坐標(biāo)平面Oxy上的投影曲線方法由方程組消去z得到不含z的一個(gè)方程而=0是一個(gè)母線平行于z軸的柱面,且曲線也在該柱面上.在Oxy平面上的投影曲線與柱面與z=0的交線是同一條曲線,故曲線在Oxy平面上的投影的方程為,在其它坐標(biāo)平面上投影曲線的求法完全類似二、考題類型、解題策略與典型例題類型1.1求曲線與曲面方程解題對(duì)策一般用定義求曲線與曲面方程例求以O(shè)xy平面上的曲線為準(zhǔn)線,母線的柱面方程。圖4-13解設(shè)是曲線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的母線交準(zhǔn)線于點(diǎn)圖4-13得曲面方程為圖4-14圖4-14解設(shè)是錐面上的任意一點(diǎn),且過(guò)的母線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)由于共線,所以對(duì)應(yīng)分量成比例,即,故所求錐面方程為.例4.3.3求與Oxy平面成角,且過(guò)點(diǎn)〔1,0,0〕的一切直線所成的軌跡方程.解設(shè)所求軌跡上任意一點(diǎn)為P〔x,y,z〕,點(diǎn)A〔1,0,0〕,則直線AP的方向矢量.由于直線AP與Oxy平面成角。取Oxy平面法矢量為,故的夾角為有為旋轉(zhuǎn)錐面.例求直線在平面上的投影直線L0,并求L0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程解法一設(shè)經(jīng)過(guò)L且垂直于的平面方程為經(jīng)過(guò)L,則經(jīng)過(guò)L上的點(diǎn)〔1,0,1〕,設(shè)的法矢量為由題意知故所以的方程為,所以投影直線L0方程為,于是L0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程為即解法二由直線L的方程可寫為所以過(guò)L的平面方程可設(shè)為,由于它與平面垂直,得得,故方程為,于是L0的方程為〔下同解法一〕多元函數(shù)的微分學(xué)微積分二大綱要求了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念,以與有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),全微分存在的必要條件和充分條件,全微分形式的不變性,隱函數(shù)存在定理,空間曲線的切線和法平面與曲面的切平面和法線的概念〔僅適合數(shù)學(xué)一〕,二元函數(shù)的二階泰勒公式,二元函數(shù)極值存在的充分條件。會(huì)求全微分,求空間曲線的切線和法平面與曲面的切平面和法線的方程〔僅適合數(shù)學(xué)一〕,求二元函數(shù)的極值,用拉格朗日數(shù)法求條件極值,求簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值,解決些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.理解多元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的幾何意義,多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念,方向?qū)?shù)與梯度的概念〔僅適合數(shù)學(xué)一〕,多元函數(shù)極值和條件極值的概念,掌握多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法,多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),多元函數(shù)極值存在的必要條件,一、內(nèi)容精要〔一〕基本概念定義5.1設(shè)在內(nèi)有定義,且存在,則該極限值稱為在點(diǎn)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記作或同理可給出的定義。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),本質(zhì)就是求導(dǎo)數(shù),例如,求時(shí),視自變量為常數(shù),本質(zhì)上看成u是x的函數(shù),這時(shí)一元函數(shù)的求導(dǎo)公式,四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)都可以使用,但形式上要比求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)雜。定義5.2若二元函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可表示為其中A,B是與無(wú)關(guān),而僅與x,y有關(guān),則稱在處可微,線性主部稱為在處的全微分,記作,即設(shè),不論u,v是自變量,還是中間變量,若可微,則換句話說(shuō),若可微,且則上式在求復(fù)雜多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微時(shí)顯得非常重要。當(dāng)然多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與多元函數(shù)的全微分也有四則運(yùn)算和一元情形完全類似,在這里就不再敘述了。定義5.3設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某區(qū)域內(nèi)有定義,為從點(diǎn)出發(fā)的射線,為上且含于內(nèi)任一點(diǎn),表示與兩點(diǎn)間的距離,若極限存在,則稱此極限為函數(shù)u在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù),記作,由定義知方向?qū)?shù)是一個(gè)數(shù)量。容易證明,若存在,則u在點(diǎn)沿x軸正方向的方向?qū)?shù)是,u在點(diǎn)沿x軸負(fù)各時(shí)的方向?qū)?shù)為定義5.4設(shè)偏導(dǎo)數(shù)均存在,稱為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度,記作gradu,即由定義知gradu是一個(gè)矢量。定義5.5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某區(qū)域內(nèi)有定義,,當(dāng)時(shí),都有〔或〕,則稱為極大〔或極小〕值。點(diǎn)稱為f的極大〔或極小〕值點(diǎn),極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。極值點(diǎn)一定包含在多元函數(shù)的駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)之中〔若,稱為駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)〕。多元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在,可微,方向?qū)?shù)存在,偏導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),這些概念有下面的關(guān)系,我們以在點(diǎn)處為例。在點(diǎn)連續(xù)可微存在在點(diǎn)連續(xù)可微存在連續(xù)注：這里""表求推出,""表示推不出,能推出的,都是定理,推不出的,我們?cè)谙旅娑寂e了反例?！捕持匾ɡ砼c公式定理5.1若累次極限和二重極限都存在,則三者相等。推論5.1.1若存在且不相等,則不存在。定理5.2〔復(fù)合多元函數(shù)的求偏導(dǎo)定理〕,若在處可微,在處的偏導(dǎo)數(shù)均存在,則復(fù)合函數(shù)在處的偏導(dǎo)數(shù)均存在且可用下面結(jié)構(gòu)圖表示：zzuvxyzuvxywt即就是uzuvxywt例如知例如zzuvxw上式稱為全導(dǎo)數(shù)。求復(fù)合多元函數(shù)偏導(dǎo)的思想一定要真正搞懂,否則在求復(fù)雜形式下的多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)就容易出錯(cuò)。定理5.3若函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)都在點(diǎn)處連續(xù),則定理5.4若在點(diǎn)處可微,則在點(diǎn)處連續(xù),反之不成立。定理5.5〔可微的充分條件〕若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),則函數(shù)在點(diǎn)處可微,反之不成立。定理5.6〔可微的必要條件〕若在點(diǎn)處可微,則在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均存在,反之不成立。定理5.7若函數(shù)在點(diǎn)處可微,則u在處任意方向的方向?qū)?shù)都存在且〔其中的單位矢量〕反之不成立。1.方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系其中是矢量與的夾角。由此得出下面結(jié)論?！?〕u在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù),等于梯度在方向的投影,即〔2〕當(dāng),即的方向梯度方向一致時(shí),即函數(shù)在處沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大,且這就是,當(dāng)u在點(diǎn)可微時(shí),u在點(diǎn)的梯度方向是u值增長(zhǎng)得最快的方向,當(dāng),即的方向與梯度方向相反時(shí),即在點(diǎn)處沿方向時(shí)的方向?qū)?shù)最小,最小值當(dāng)時(shí),即在點(diǎn)沿著與梯度垂直的方向的方向?qū)?shù)為零。定理5.8〔極值的充分條件〕設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某區(qū)域存在連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。如果,設(shè),則〔1〕當(dāng)時(shí),一定為極值,并且當(dāng)A〔或C〕>0時(shí),為極小值；當(dāng)A〔或C〕<0時(shí),為極大值?！?〕當(dāng)時(shí),不是極值?！?〕當(dāng)時(shí),還不能斷點(diǎn)是否為極值,需進(jìn)一步研究。對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),只有根據(jù)定義判斷是否為極值點(diǎn)。2．求帶有條件限制的最大〔小〕值問(wèn)題,統(tǒng)稱為條件極值,可用拉格朗日乘數(shù)法去解決。即求在約束條件限制下的最大值或最小值方法是〔1〕作拉格朗日函數(shù)其中稱為拉格朗日乘數(shù)?！?〕若是函數(shù)的最大〔小〕值點(diǎn),則一定存在m個(gè)常數(shù),使是函數(shù)L的穩(wěn)定點(diǎn),因此函數(shù)f的最大〔小〕值點(diǎn)一定包含在拉格朗日函數(shù)L的穩(wěn)定點(diǎn)前幾個(gè)坐標(biāo)所構(gòu)成的點(diǎn)之中,在具體應(yīng)用時(shí),往往可借助于物理意義或?qū)嶋H經(jīng)驗(yàn)判斷所得點(diǎn)是否為所求的最大〔小〕值點(diǎn)。定理5.9有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定能取到最大值與最小值,且最大值與最小值點(diǎn)一定包含在區(qū)域內(nèi)部的穩(wěn)定點(diǎn)或內(nèi)部偏導(dǎo)不存在點(diǎn)或邊界函數(shù)值最大與最小點(diǎn)之中.把這些懷疑點(diǎn)求出來(lái),其中函數(shù)值的最大值就是區(qū)域上的最大值、最小值就是區(qū)域上的最小值,而邊界上的最大與最小值點(diǎn)可用拉格朗日乘數(shù)法去求。泰勒定理5.10若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)偏導(dǎo),則對(duì)內(nèi)任一點(diǎn),存在,使上式稱為二元函數(shù)f在點(diǎn)處的n階泰勒公式。注：,推論5.10.1設(shè)在區(qū)域G上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),〔1〕若則在G上僅是y的函數(shù)；〔2〕若則在G上僅是x的函數(shù)；〔3〕若則在G是常值函數(shù)。1．設(shè)在點(diǎn)處具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)且不同時(shí)為零,則曲其中或是曲面在點(diǎn)處的法矢量。曲面在點(diǎn)處的法線方程為設(shè)在處具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則曲面即在曲面上點(diǎn)的切平面方程為在處的法線方程為2．設(shè)在處連續(xù),且不同時(shí)為零。則曲線在對(duì)應(yīng)曲線上點(diǎn)處的切線方程為其中或?yàn)榍€在點(diǎn)切線的方向向量,而曲線在點(diǎn)處的法平面方程為設(shè)在處具有連續(xù)的一階偏導(dǎo),且,則曲線在曲線上點(diǎn)處的切線方程為事實(shí)上,曲線的切線既在曲面在的切平面上又在曲面在的切平面上,故該切線為兩切平面的交線,故切線方程為兩切平面方程的聯(lián)立。由切線的方向向量為,而曲線在點(diǎn)的法平面的法矢量為,用點(diǎn)法式可寫出曲線在點(diǎn)的法平面方程。二、考題類型、解題策略與典型例題類型1.1求多元函數(shù)的極限解題策略1．利用初等多元函數(shù)的連續(xù)性,即若是初等函數(shù),在的定義域中,則注：所謂的初等多元函數(shù)就是用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式給出的解析式.2．利用多元函數(shù)極限的四則運(yùn)算。3．轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限,利用一元函數(shù)的極限來(lái)計(jì)算.4．對(duì)于證明或求時(shí),感覺(jué)極限可能時(shí)零,而直接又不容易證明或計(jì)算,這時(shí)可用夾逼定理,即而由夾逼定理知從而例5.1求分析轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限.解由〔k常數(shù)〕,原式=0.例5.2求分析用夾逼定理.解由于而由夾逼定理知原式=0.例5.3分析利用〔常數(shù)〕,則.解原式=例5.4求分析由夾逼定理推出從而.解由于而而根據(jù)夾逼定理知故原式=類型1.2判斷多元函數(shù)的極限不存在解題策略1．利用初等1．選取兩條特殊的路徑,而函數(shù)值的極限存在,但不相等,則不存在。2.存在,但不相等例5.5求分析存在,但不相等.解由于知不存在。類型1.3討論多元函數(shù)的連續(xù)性解題策略用多元函數(shù)的連續(xù)定義例5.6討論的連續(xù)性。解〔i〕當(dāng)時(shí),由于是初等多元函數(shù),在點(diǎn)有意義,知在點(diǎn)連續(xù)?！瞚i〕當(dāng)時(shí),由于知在點(diǎn)〔0,0〕處不連續(xù),因此在時(shí)連續(xù)。例5.7討論的連續(xù)性。解〔i〕當(dāng)時(shí),由于是初等多元函數(shù),在點(diǎn)有意義,知在點(diǎn)連續(xù)。〔ii〕當(dāng)時(shí),由于且,根據(jù)夾逼定理知。知在點(diǎn)〔0,0〕處連續(xù),故在全平面上連續(xù)。類型1.4求多元函數(shù)在一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)解題策略求有三種方法：〔1〕按定義；〔2〕求導(dǎo)函數(shù),然后把代入；〔3〕求偏導(dǎo)函數(shù),然后把代入。求同樣也有三種方法：〔1〕按定義；〔2〕求導(dǎo)函數(shù),然后把；〔3〕求偏導(dǎo)函數(shù),然后把代入。例5.8證明函數(shù)在點(diǎn)〔0,0〕處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,但在點(diǎn)〔0,0〕處不連續(xù)。分析研究多元分片函數(shù)在孤立點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)用偏導(dǎo)數(shù)的定義.解由同理可求即在點(diǎn)〔0,0〕處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在。由當(dāng)k取不同實(shí)數(shù)值時(shí),極限不相同,所以在點(diǎn)〔0,0〕處極限不存在,當(dāng)然也不連續(xù)。例5.9設(shè)函數(shù)求解由于從而同理可求,因此從這里可以看出注：此例說(shuō)明一般情況下類型1.5判斷多元函數(shù)在一點(diǎn)的可微性。解題策略1.偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)必可微.2.用可微定義例5.10討論在原點(diǎn)的可微性。分析研究多元分片函數(shù)在孤立點(diǎn)的可微性,用可微的定義.解由由的對(duì)稱性知要驗(yàn)證函數(shù)在原點(diǎn)是否可微,只需看是否為零,由于由例1知此極限不存在,所以在點(diǎn)〔0,0〕處不可微。此例說(shuō)明偏導(dǎo)數(shù)存在,不一定可微。例5.11證明函數(shù)于點(diǎn)〔0,0〕的領(lǐng)域中有偏導(dǎo)函數(shù)。這些偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)于點(diǎn)〔0,0〕處是不連續(xù)的且在此點(diǎn)的任何領(lǐng)域中是無(wú)界的；然而此函數(shù)于點(diǎn)〔0,0〕處可微。解由于當(dāng)時(shí),令,于是由于當(dāng)時(shí),無(wú)界,故上述在點(diǎn)〔0,0〕處極限不存在,當(dāng)然在〔0,0〕處不連續(xù),且在此點(diǎn)的任何領(lǐng)域中是無(wú)界的.同理在點(diǎn)〔0,0〕處不連續(xù),且在此點(diǎn)的任何領(lǐng)域中是無(wú)界的。其中,再考慮在點(diǎn)〔0,0〕的可微性。其中于是即,知在點(diǎn)〔0,0〕處可微。例5.12證明函數(shù)在點(diǎn)〔0,0〕的沿任意方向的導(dǎo)數(shù)都存在。但在點(diǎn)〔0,0〕的全微分不存在。分析偏導(dǎo)函數(shù)在〔0,0〕點(diǎn)不連續(xù),只能用可微的定義解設(shè)由同理而極限不存在當(dāng)然不為0,因此在點(diǎn)〔0,0〕處不可微。類型1.6求具體多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解題策略本質(zhì)上就是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例5.13設(shè),求解由x,y地位對(duì)稱,知而于是類型1.7求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解題策略用多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式。關(guān)鍵是搞清復(fù)合結(jié)構(gòu)例5.14設(shè),其中函數(shù)二階可導(dǎo),具有連續(xù)二階偏導(dǎo),求解例5.15設(shè),且f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解注意：這里例5.16設(shè)函數(shù)在點(diǎn)〔1,1〕處可微,且,求分析搞清復(fù)合結(jié)構(gòu).解由于是例5.17設(shè)且f具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)?！?〕如果則u僅是和的函數(shù)；〔2〕如果則u僅是r的函數(shù)。分析只要證,即u僅是和的函數(shù)證〔1〕故u僅是和的函數(shù)。分析只要證即u僅是r的函數(shù).證〔2〕由得代入上式有故u僅是r的函數(shù)。類型1.8求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)解題策略1.用多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)公式.2.用多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法.3.用全微分一階不變性.例5.18設(shè),其中為可微函數(shù),求解由題意知方程確定方程兩邊對(duì)y求偏導(dǎo),得解得例5.19設(shè)是由方程所確定的二元函數(shù),求解將方程兩端取微分得整理后得所以例5.20由方程確定求解法一由條件知方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)得〔1〕把代入〔1〕得即方程兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得〔2〕把代入〔2〕得,即故解法二方程兩邊取微分得將代入上式得即例5.21設(shè),其中F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且求證分析用全微分一階不變性.解由題意知方程確定方程兩邊取微分,得有根據(jù)微分運(yùn)算,有合并同類項(xiàng)兩邊同除以得于是例5.22設(shè)其中具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且,求解法一由題意知,,因此〔1〕 〔2〕方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),有解得〔3〕把〔2〕、〔3〕代入〔1〕,有分析如果我們利用多元函數(shù)的一階微分形式不變性與四則運(yùn)算則更方便,只要求出du=式子·dx,這個(gè)式子就是解法二〔4〕由題意知〔5〕而或得即解得〔6〕把〔5〕、〔6〕代入〔4〕,有因此類型1.9求多元隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)解題策略1.用多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法.2.用全微分一階不變性.例5.23設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求分析用多元隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法.解分別在和的兩端對(duì)x求導(dǎo),得整理后得由克拉默法則解得例5.24設(shè)求分析用全微分一階不變性.解由題意知方程組確定隱函數(shù)方程組兩邊取微分,有把看成未知的,解得有同理,我們還可以求出,從而得到類型1.10求多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度解題策略.用方向?qū)?shù)的公式.2.用方向?qū)?shù)的定義.3用梯度定義例5.25求函數(shù)在點(diǎn)沿與Ox軸的正向組成解的方向的方向?qū)?shù)。解,于是例5.26求函數(shù)在點(diǎn)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大、最小、為零,并求出相應(yīng)的方向?qū)?shù)值。解于是從而所以u(píng)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)最大,最大值為,u在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)最小,最小值為,u在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)為零。例5.27設(shè)是曲面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。解由于曲面在點(diǎn)的法向量為或?yàn)橛谑窃谔幍姆ㄏ蛄繛?單位法向量為,由在第一卦限且在點(diǎn)的法方向指向外側(cè),即法方向與Oz軸正向夾角為銳角,故取,而于是例5.28求在點(diǎn)處沿在點(diǎn)梯度方向的方向?qū)?shù)。在什么情況下,此方向?qū)?shù)為零。解由于是要,只要,即時(shí),方向?qū)?shù)為零。類型1.11求多元函數(shù)的最值解題策略.建立二元函數(shù),指出定義域,用最大值最小值定理.2.用取到唯一的極值.例5.29求二元函數(shù)在由直線,x軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的極值,最大值與最小值。解由方程組得與點(diǎn)〔4,0〕,〔2,1〕。點(diǎn)〔4,0〕與線段在D的邊界上,只有點(diǎn)〔2,1〕在D內(nèi)部,可能是極值點(diǎn)。在點(diǎn)〔2,1〕處,且A<0,因此點(diǎn)〔2,1〕是的極大值點(diǎn),極大值在D的邊界與上,在邊界上,,代入中得由得在邊界上對(duì)應(yīng)處值分別為：因此知在邊界上最大值為0,最小值為,將邊界上最大值和最小值與駐點(diǎn)處的值比較得,在閉區(qū)域D上的最大值為最小值為例5.30求函數(shù)在區(qū)域上的最大值與最小值。解由于是有界閉區(qū)域,在該區(qū)域上連續(xù),因此一定能取到最大值與最小值?！?〕解方程組得由于即不在區(qū)域D內(nèi),舍去?！?〕函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部無(wú)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。〔3〕再求函數(shù)在邊界上的最大值與最小值點(diǎn),即求在滿足約束條件的條件極值點(diǎn)。此時(shí),用格拉朗日乘數(shù)法,作拉格朗日函數(shù)解方程組由〔1〕,〔2〕解得把它們代入〔3〕,有,解得或代入〔1〕,〔2〕得或所有三類最值懷疑點(diǎn)僅有兩個(gè),由于,所以最小值,最大值類型1.12求多元函數(shù)的條件極值解題策略用拉格朗日乘數(shù)法.例5.31求內(nèi)接于橢球面的體積最大的長(zhǎng)方體。解設(shè)該內(nèi)接長(zhǎng)方體為v,是長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn),且位于橢球面上,由于橢球面關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)平面對(duì)稱,所以且滿足條件。因此,需要求出在約束條件下的極值?，F(xiàn)用拉格朗日乘數(shù)法解,設(shè)求出L的所有偏導(dǎo)數(shù),并令它們都等于0,有〔1〕,〔2〕,〔3〕分別乘以,有得于是或〔時(shí),,不合題意,舍去〕,把代入〔4〕,有解得,從而由題意知,內(nèi)接于橢球面的長(zhǎng)方體的體積沒(méi)有最小值,而存在最大值,因而以點(diǎn)為頂點(diǎn)所作對(duì)稱于坐標(biāo)平面的長(zhǎng)方體即為所求的最大長(zhǎng)方體,體積為注：是輔助參數(shù),如果不用求出,就能求出可疑極值點(diǎn),當(dāng)然最好,否則就要求出,才能求出。例5.32證明不等式其中是任意的非負(fù)實(shí)數(shù)。證考查目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最大值,其中M是正常數(shù)。作拉格朗日函數(shù)解方程組得由于,顯然無(wú)最小值,函數(shù)在點(diǎn)取到最大值于是即取有類型1.12曲面的切平面與曲線的切線〔僅適合數(shù)學(xué)一〕解題策略用曲面的切平面與曲線的切線的公式例5.33求曲面的平行于平面的各切平面,解,由題意知,解得代入方程,得,切點(diǎn)為,,切平面方程為與即與例5.34設(shè)直線在平面上,而平面與曲面：相切于點(diǎn)〔1,-2,5〕,求常數(shù)a,b之值。解法一在點(diǎn)〔1,-2,5〕處曲面的法矢量,故切平面即平面的方程為即,再由,可得代入平面方程,得有,因而有,由此得解法二過(guò)l的平面方程為,即曲面在點(diǎn)〔1,-2,5〕處的法矢量,故由題設(shè)知解得,又點(diǎn)〔1,-2,5〕在平面上,故,將代入,解得.例5.35過(guò)直線作曲面的切平面,求此切平面方程。解因所求的切平面過(guò)平面與的交線,故可設(shè)切平面方程是,即〔1〕設(shè)所求平面的切點(diǎn)為,則點(diǎn)即在曲面又在切平面上,故〔2〕〔3〕切平面的法矢量,故〔4〕將〔2〕,〔3〕,〔4〕聯(lián)立,求得代入〔1〕式,得切平面方程為與例5.36證明：錐面的切平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。證于是,錐面在任一點(diǎn)的切平面方程為把〔0,0,0〕代入切平面方程左邊,有因此,錐面的任一切平面過(guò)其頂點(diǎn)。例5.37證明：曲面的切平面與坐標(biāo)面形成體積為一定值的四面體。證在曲面上任一點(diǎn),則曲面在該點(diǎn)的切平面方程為它與各坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為,注意到各坐標(biāo)軸的垂直關(guān)系,即知以A、B、C、O諸點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的體積為知體積為一定值例5.38設(shè)曲面：,平面,〔1〕在曲面S上求平行于的切平面方程；〔2〕在曲面S上與平面之間的最短距離。解〔1〕令為曲面S的方程,則曲面上一點(diǎn)的切平面法矢量為,由于切平面與平面平行,應(yīng)有,有代入曲面方程,有解得,從而切點(diǎn)為,其相應(yīng)的切平面方程為即即〔2〕由于所給曲面S為一個(gè)橢球面,從幾何上看,這個(gè)橢球面S總是夾在平行于已知平面的兩個(gè)切平面之間,由已知平面與橢球面不相交,所以切點(diǎn)中距離平面最小距離就是曲面S與平面之間的最短距離。因此M1,M2到平面的距離：即是曲面S到平面的最短距離。例5.39在橢球面上怎樣的點(diǎn),橢球面的法線與坐標(biāo)軸成等角。解,按題意知,設(shè)代入橢球面方程有,即于是所求的點(diǎn)為其中例5.40求曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線與法平面方程。解于是切線方程為法平面方程為即例5.41求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法平面方程。解故切線方程為即而切線的方向向量故法平面方程為即注：從解題過(guò)程可看出平面在平面上一點(diǎn)的切平面方程就是該平面.三、綜合雜題例5.42設(shè)二元函數(shù)F的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)不同時(shí)為零,又設(shè)另一個(gè)二元函數(shù)滿足方程,u具有連續(xù)的二階偏導(dǎo),證明.分析由題意要證成立,由條件,不同時(shí)為零,因而啟發(fā)我們對(duì)方程兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo),然后從中找出相應(yīng)的關(guān)系式。證方程兩邊分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)得這是關(guān)于和的齊次代數(shù)方程組,同于和不同時(shí)為零,故,又,故例5.43設(shè),證明：對(duì)任何定數(shù)〔稱為n次齊次函數(shù)〕的充要條件是：當(dāng)f可微時(shí),證必要性.若,方程兩邊同時(shí)對(duì)t求導(dǎo)〔這時(shí)把x,y,z看成常數(shù)〕,則有.令t=1,有充分性任意固定區(qū)域中一點(diǎn)考查函數(shù)當(dāng)t>0時(shí),F<t>可微,且由條件,得所以,從而時(shí),為常數(shù)。令,有于是有由的任意性知例5.44設(shè)變換可把方程簡(jiǎn)化為,求常數(shù)a.分析把看成復(fù)合函數(shù)利用多元復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)公式可直接把原來(lái)的二階偏導(dǎo)數(shù)用新的二階編導(dǎo)數(shù)表示.解把看成復(fù)合函數(shù)于是,有把上述結(jié)果代入原方程,經(jīng)整理后得由題意知,a應(yīng)滿足由此解得多元函數(shù)積分學(xué)微積分二大綱要求了解重積分的性質(zhì),二重積分的中值定理。會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量〔平面圖形的面積、體積與質(zhì)量等〕.理解二重積分、三重積分的概念,兩類曲線積分的概念.掌握二重積分的計(jì)算方法〔直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)〕。第一節(jié)二重積分一、內(nèi)容精要〔一〕重要定理與公式.1.在直角坐標(biāo)系中計(jì)算定義6.1若任意一條垂直x軸的直線至多與區(qū)域D的邊界交于兩點(diǎn)〔垂直x的邊界除處〕,則稱D為x一型區(qū)域,且x一型區(qū)域D一定可表示為平面點(diǎn)集:即曲線〔下曲線〕,〔上曲線〕與直線所圍成的區(qū)域,如圖所求〔特殊情況下,直線段可能為一點(diǎn)即〕,此時(shí)圖9-1圖9-2定義6.2若任意一條垂直y軸的直線至多與區(qū)域的邊界交于兩點(diǎn)〔垂直于y軸的邊界除處〕,則稱D為y一型區(qū)域,且y型區(qū)域一定可表示為平面點(diǎn)集：即由線〔左曲線〕,〔右曲線〕與直線所圍成,如圖所求〔特殊情況下,直線可能為一點(diǎn)〕,此時(shí)許多常見(jiàn)的區(qū)域都可分割成有限個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的x一型區(qū)域或y型區(qū)域,利用二重積分的可加性知,即,且或者為x一型區(qū)域或者為y型區(qū)域,則2.在極坐標(biāo)系下的計(jì)算設(shè)則當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域一部分時(shí),可用極坐標(biāo)變換,若被積函數(shù)中含有,更要用極坐標(biāo)變換。定義6.3若任意射線與區(qū)域D的邊界至多交于兩點(diǎn)〔邊界是射線段除外〕,則稱D為一型區(qū)域,且一型區(qū)域D可表示為平面點(diǎn)集,即由曲線〔下曲線〕,〔上曲線〕,與射線,圍成的區(qū)域如圖6-3所示。〔特殊情況下,可能為一點(diǎn)〕。此時(shí)圖6-3 圖6-4 圖6-5〔1〕若極點(diǎn)O在區(qū)域外部,此時(shí)區(qū)域D可表求為,如圖6-3所示,則有〔2〕若極點(diǎn)O在區(qū)域D邊界上,且邊界曲線向外凸,<此時(shí)區(qū)域D可表求為,其中為邊界曲線的定義域,如圖6-4所示,則有〔3〕若極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部,此時(shí)區(qū)域D可表示為如圖6-5所示,則有注：在區(qū)域的變化區(qū)間內(nèi),過(guò)極點(diǎn)作射線,此射線穿過(guò)區(qū)域D,穿入點(diǎn)所在的曲線為下限〔下曲線〕,穿出點(diǎn)所在的曲線為上限〔上曲線〕。有時(shí)也可以把D表示r一型區(qū)域：,即由曲線與圓所圍成的區(qū)域。在r的變化區(qū)間,以O(shè)為心,以r為半徑作圓,曲線按逆時(shí)針?lè)较虼┻^(guò)區(qū)域D〔圖6-6〕,穿入點(diǎn)的極角為下限〔稱為小角曲線〕,穿出點(diǎn)的極角為上限〔稱為大角曲線〕,有特別地,若區(qū)域D為：,其中均為常數(shù),則圖6-6 圖6-7〔1〕若D是由曲線所圍成的區(qū)域〔圖6-7〕。經(jīng)極坐標(biāo)變換,方程為：,屬于1〔3〕的情形,有〔2〕若D是曲線所圍成的區(qū)域〔圖6-8〕。經(jīng)極坐標(biāo)變換,方程為：,屬于1〔2〕情形,由,知圖6-8 圖6-9〔3〕若D是曲線所圍成的區(qū)域〔圖6-9〕。經(jīng)極坐標(biāo)變換,曲線方程為：,屬于1〔2〕情形,由,知3.對(duì)稱區(qū)域上二重積分的性質(zhì)設(shè)D為平面區(qū)域,若〔i〕若,且關(guān)于x軸對(duì)稱,則〔ii〕若,且關(guān)于y軸對(duì)稱,則〔?！橙?且關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱,則二、考題類型、解題策略與典型例題類型1.1計(jì)算二重積分解題策略畫出積分區(qū)域,選擇x-區(qū)域、y-區(qū)域或用極坐標(biāo)變換例6.1.1計(jì)算二重積分其中D是由x軸、y軸與曲線所圍成的區(qū)域；分析畫出積分區(qū)域,選擇x-區(qū)域計(jì)算方便.解區(qū)域D如圖中陰影部分所示,由,得因此,作換元,令,有,則圖6-10 圖6-11例6.1.2設(shè)D是以點(diǎn)和為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,求分析畫出積分區(qū)域,用區(qū)域的可加性,選擇x-區(qū)域計(jì)算方便.解如圖6-11,直線OA,OB和AB的方程分別為：和-1-1-111xyODy=x圖6-12求二重積分的值,其中D是由直線與,圍成的平面區(qū)域。分析畫出積分區(qū)域,用線性運(yùn)算法則,選擇y-區(qū)域計(jì)算方便.解積分區(qū)域D如圖6-12。其中于是例6.1.4計(jì)算二重積分,其中D是由雙曲線與直線所圍成的平面區(qū)域。分析畫出積分區(qū)域,選擇y-區(qū)域計(jì)算方便.解注：一般情況下,應(yīng)先畫圖,再確定積分限,如果不畫圖也很清楚,此時(shí)也可以不畫圖。例6.1.5設(shè),求解法一,所以